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Theorem hashf1 12410
Description: The permutation number  |  A  |  !  x.  (  |  B  |  _C  |  A  |  )  =  |  B  |  !  /  (  |  B  |  -  |  A  | 
) ! counts the number of injections from  A to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashf1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem hashf1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f : (/) -1-1->
B ) )
2 f1fn 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : (/) -1-1-> B  ->  f  Fn  (/) )
3 fn0 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  (/)  <->  f  =  (/) )
42, 3sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : (/) -1-1-> B  ->  f  =  (/) )
5 f10 5755 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/) : (/) -1-1-> B
6 f1eq1 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f : (/) -1-1-> B  <->  (/) : (/) -1-1-> B ) )
75, 6mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (/)  ->  f :
(/) -1-1-> B )
84, 7impbii 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : (/) -1-1-> B  <->  f  =  (/) )
9 elsn 3958 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  { (/) }  <->  f  =  (/) )
108, 9bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( f : (/) -1-1-> B  <->  f  e.  { (/)
} )
111, 10syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f  e.  {
(/) } ) )
1211abbi1dv 2520 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  { (/)
} )
1312fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  ( # `  { (/) } ) )
14 0ex 4497 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
15 hashsng 12341 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( # `  { (/)
} )  =  1 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( # `  { (/) } )  =  1
1713, 16syl6eq 2439 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  1 )
18 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
19 hash0 12340 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  (/) )  =  0
2018, 19syl6eq 2439 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
2120fveq2d 5778 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ! `
 ( # `  x
) )  =  ( ! `  0 ) )
22 fac0 12258 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2321, 22syl6eq 2439 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ! `
 ( # `  x
) )  =  1 )
2420oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  0 ) )
2523, 24oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  x ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( # `  B
)  _C  0 ) ) )
2617, 25eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  1  =  ( 1  x.  (
( # `  B )  _C  0 ) ) ) )
2726imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
# `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  1  =  ( 1  x.  ( ( # `  B )  _C  0
) ) ) ) )
28 f1eq2 5685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
f : x -1-1-> B  <->  f : y -1-1-> B ) )
2928abbidv 2518 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  {
f  |  f : y -1-1-> B } )
3029fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  (
# `  { f  |  f : y
-1-1-> B } ) )
31 fveq2 5774 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
3231fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  ( # `  x
) )  =  ( ! `  ( # `  y ) ) )
3331oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  y ) ) )
3432, 33oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  y ) ) ) )
3530, 34eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
3635imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) ) )
37 f1eq2 5685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
3837abbidv 2518 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  { f  |  f : x -1-1-> B }  =  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)
3938fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } ) )
40 fveq2 5774 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
4140fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ! `  ( # `  x ) )  =  ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
4240oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) )  =  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
4341, 42oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) )
4439, 43eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  x ) ) )  <-> 
( # `  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
4544imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) ) )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) ) )
46 f1eq2 5685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> B  <->  f : A -1-1-> B ) )
4746abbidv 2518 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  {
f  |  f : A -1-1-> B } )
4847fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  (
# `  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
49 fveq2 5774 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
5049fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( ! `  ( # `  x
) )  =  ( ! `  ( # `  A ) ) )
5149oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  A ) ) )
5250, 51oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  A ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  A ) ) ) )
5348, 52eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) ) )
5453imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) ) ) )
55 hashcl 12330 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
56 bcn0 12290 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 B )  _C  0 )  =  1 )
5755, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  _C  0 )  =  1 )
5857oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( (
# `  B )  _C  0 ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
59 1t1e1 10600 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6058, 59syl6req 2440 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  1  =  ( 1  x.  ( ( # `  B
)  _C  0 ) ) )
61 abn0 3731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B }  =/=  (/)  <->  E. f  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
62 f1domg 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
6362adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
64 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
65 hashunsng 12363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6766adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (
# `  y )  +  1 ) )
6867breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `
 B )  <->  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) ) )
69 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  y  e.  Fin )
70 snfi 7515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  e.  Fin
71 unfi 7702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
7269, 70, 71sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
73 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  B  e.  Fin )
74 hashdom 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( y  u. 
{ z } )  ~<_  B ) )
7572, 73, 74syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `
 B )  <->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
76 hashcl 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
7776ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
78 nn0p1nn 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  y )  +  1 )  e.  NN )
8079nnred 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  y )  +  1 )  e.  RR )
8155adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
8281nn0red 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 B )  e.  RR )
8380, 82lenltd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
)  <->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8468, 75, 833bitr3d 283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( y  u.  {
z } )  ~<_  B  <->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8563, 84sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  -.  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
8685exlimdv 1732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( E. f  f :
( y  u.  {
z } ) -1-1-> B  ->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8761, 86syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( { f  |  f : ( y  u. 
{ z } )
-1-1-> B }  =/=  (/)  ->  -.  ( # `  B )  <  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )
8887necon4ad 2602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  B )  <  ( ( # `  y )  +  1 )  ->  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }  =  (/) ) )
8988imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }  =  (/) )
9089fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  (
# `  (/) ) )
91 hashcl 12330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  e. 
NN0 )
9272, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN0 )
93 faccl 12265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( y  u.  { z } ) )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  NN )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  NN )
9594nncnd 10468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  CC )
9695adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  CC )
9796mul01d 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  0 )  =  0 )
9819, 90, 973eqtr4a 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  0 ) )
9967adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
10099oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  B )  _C  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
10181adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
10279adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN )
103102nnzd 10883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  ZZ )
104 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) )
105104olcd 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  <  0  \/  ( # `  B )  <  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
106 bcval4 12287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  B
)  e.  NN0  /\  ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
( ( # `  y
)  +  1 )  <  0  \/  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) ) )  ->  (
( # `  B )  _C  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  0 )
107101, 103, 105, 106syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =  0 )
108100, 107eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  0 )
109108oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  { z } ) ) )  x.  0 ) )
11098, 109eqtr4d 2426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) )
111110a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
112 oveq2 6204 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { f  |  f : y
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
11369adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  y  e.  Fin )
11473adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  B  e.  Fin )
115 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  -.  z  e.  y )
116 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) )
117113, 114, 115, 116hashf1lem2 12409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } ) ) )
11881adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
119 faccl 12265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  NN )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  NN )
121120nncnd 10468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  CC )
12277adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  NN0 )
123 peano2nn0 10753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN0 )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN0 )
125 nn0sub2 10841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) )  e.  NN0 )
126124, 118, 116, 125syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  NN0 )
127 faccl 12265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  e.  NN )
128126, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  e.  NN )
129128nncnd 10468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  e.  CC )
130128nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
131121, 129, 130divcld 10237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
132 faccl 12265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) )  e.  NN )
133124, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  NN )
134133nncnd 10468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  CC )
135133nnne0d 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =/=  0 )
136131, 134, 135divcan2d 10239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) ) )
137118nn0cnd 10771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
138122nn0cnd 10771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  CC )
139137, 138subcld 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  CC )
140 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
141 npcan 9742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )
142139, 140, 141sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) )
143 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  1  e.  CC )
144137, 138, 143subsub4d 9875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  =  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )
145144, 126eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  e.  NN0 )
146 nn0p1nn 10752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  +  1 )  e.  NN )
148142, 147eqeltrrd 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN )
149148nnne0d 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  =/=  0 )
150131, 139, 149divcan2d 10239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) ) )
151136, 150eqtr4d 2426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
15267adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
153152fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
154 nn0uz 11035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
155124, 154syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
156118nn0zd 10882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
157 elfz5 11601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( # `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
# `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) ) )
158155, 156, 157syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) ) )
159116, 158mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
160 bcval2 12285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  ->  (
( # `  B )  _C  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
161159, 160syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
162152oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  B )  _C  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
163121, 129, 134, 130, 135divdiv1d 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  (
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
164161, 162, 1633eqtr4d 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )
165153, 164oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) ) ) )
166122, 154syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
167 peano2fzr 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
168166, 159, 167syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
169 bcval2 12285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  y )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  (
( ! `  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  x.  ( ! `  ( # `
 y ) ) ) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  y
) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) )  x.  ( ! `
 ( # `  y
) ) ) ) )
171 elfzle2 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  y )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( # `  y
)  <_  ( # `  B
) )
172168, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  <_  ( # `  B
) )
173 nn0sub2 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 y )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN0 )
174122, 118, 172, 173syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN0 )
175 faccl 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e. 
NN0  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  NN )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  NN )
177176nncnd 10468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  CC )
178 faccl 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  NN )
179122, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  NN )
180179nncnd 10468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  CC )
181176nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =/=  0 )
182179nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  =/=  0
)
183121, 177, 180, 181, 182divdiv1d 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )  /  ( ! `
 ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) )  x.  ( ! `  ( # `
 y ) ) ) ) )
184170, 183eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  y
) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )
185184oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )  /  ( ! `
 ( # `  y
) ) ) ) )
186 facnn2 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
187148, 186syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
188144fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  -  1 ) )  =  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )
189188oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
190187, 189eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
191190oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
192121, 177, 181divcld 10237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) )  e.  CC )
193192, 180, 182divcan2d 10239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) ) )
194121, 129, 139, 130, 149divdiv1d 10268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
195191, 193, 1943eqtr4d 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )
196185, 195eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )
197196oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  (
( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
198151, 165, 1973eqtr4d 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
199117, 198eqeq12d 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  <->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } ) )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) ) )
200112, 199syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
201111, 200, 82, 80ltlecasei 9603 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  { f  |  f : y
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  -> 
( # `  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
202201expcom 433 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) ) )
203202a2d 26 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) ) )  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) ) ) )
20427, 36, 45, 54, 60, 203findcard2s 7676 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 A ) ) ) ) )
205204imp 427 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    u. cun 3387   (/)c0 3711   {csn 3944   class class class wbr 4367    Fn wfn 5491   -1-1->wf1 5493   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ~<_ cdom 7433   Fincfn 7435   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593   !cfa 12255    _C cbc 12282   #chash 12307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-seq 12011  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308
This theorem is referenced by:  hashfac  12411  birthdaylem2  23399
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