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Theorem hashf 12508
Description: The size function maps all finite sets to their cardinality, as members of  NN0, and infinite sets to +oo. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashf  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )

Proof of Theorem hashf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
2 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
31, 2hashkf 12503 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0
4 pnfex 11402 . . . . 5  |- +oo  e.  _V
54fconst 5777 . . . 4  |-  ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> { +oo }
63, 5pm3.2i 456 . . 3  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0  /\  ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo } ) : ( _V 
\  Fin ) --> { +oo } )
7 disjdif 3864 . . 3  |-  ( Fin 
i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
8 fun 5754 . . 3  |-  ( ( ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0 
/\  ( ( _V 
\  Fin )  X.  { +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> { +oo } )  /\  ( Fin  i^i  ( _V 
\  Fin ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{ +oo } ) ) : ( Fin  u.  ( _V  \  Fin )
) --> ( NN0  u.  { +oo } ) )
96, 7, 8mp2an 676 . 2  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{ +oo } ) ) : ( Fin  u.  ( _V  \  Fin )
) --> ( NN0  u.  { +oo } )
10 df-hash 12502 . . . 4  |-  #  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
) )
1110feq1i 5729 . . 3  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{ +oo } ) ) : _V --> ( NN0 
u.  { +oo } ) )
12 unvdif 3866 . . . 4  |-  ( Fin 
u.  ( _V  \  Fin ) )  =  _V
1312feq2i 5730 . . 3  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
) ) : ( Fin  u.  ( _V 
\  Fin ) ) --> ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo } ) ) : _V --> ( NN0  u.  { +oo } ) )
1411, 13bitr4i 255 . 2  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{ +oo } ) ) : ( Fin  u.  ( _V  \  Fin )
) --> ( NN0  u.  { +oo } ) )
159, 14mpbir 212 1  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    u. cun 3431    i^i cin 3432   (/)c0 3758   {csn 3993    |-> cmpt 4475    X. cxp 4843    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5588  (class class class)co 6296   omcom 6697   reccrdg 7126   Fincfn 7568   cardccrd 8359   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531   +oocpnf 9661   NN0cn0 10858   #chash 12501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-hash 12502
This theorem is referenced by:  hashresfn  12509  dmhashres  12510  hashnn0pnf  12511  hashxrcl  12525  esumcst  28749  hashf2  28770  sseqmw  29076  sseqf  29077  sseqp1  29080  fiblem  29083  fibp1  29086  coinflippv  29168  erdszelem2  29729  erdszelem5  29732  erdszelem7  29734  erdszelem8  29735
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