Theorem hasheuni 26556

Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13309. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hasheuni	|- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem hasheuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfdisj1 4296	. . . . . . . 8 |- F/ xDisj x e. A x
2		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ x A e. Fin
3		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ x A C_ Fin
4	1, 2, 3	nf3an 1863	. . . . . . 7 |- F/ x (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin )
5		simp2 989	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
6		simp3 990	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A C_ Fin )
7		simp1 988	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Disj x e. A x )
8	4, 5, 6, 7	hashunif 26106	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
9		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
10		dfss3 3367	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ Fin <-> A. x e. A x e. Fin )
11		hashcl 12147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
12		nn0re 10609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. RR )
13		nn0ge0 10626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> 0 <_ ( # ` x ) )
14		elrege0 11413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( # ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( # ` x ) ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	11, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	ralimi 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A x e. Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18	10, 17	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
19	18	r19.21bi 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ Fin /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
20	19	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21	9, 20	esumpfinval 26546	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
22	21	3adant1 1006	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
23	8, 22	eqtr4d 2478	. . . . 5 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
24	23	3adant1l 1210	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
25	24	3expa 1187	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
26		uniexg 6398	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
27	10	notbii 296	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A C_ Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
28		rexnal 2747	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A -. x e. Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
29	27, 28	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( -. A C_ Fin <-> E. x e. A -. x e. Fin )
30		elssuni 4142	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
31		ssfi 7554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. A e. Fin /\ x C_ U. A ) -> x e. Fin )
32	31	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ U. A -> ( U. A e. Fin -> x e. Fin ) )
33	32	con3d 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
35	34	rexlimiv 2856	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin )
36	29, 35	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> -. U. A e. Fin )
37		hashinf 12129	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A e. _V /\ -. U. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
38	26, 36, 37	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
39		vex 2996	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
40		hashinf 12129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ -. x e. Fin ) -> ( # ` x ) = +oo )
41	39, 40	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. Fin -> ( # ` x ) = +oo )
42	41	reximi 2844	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
43	29, 42	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
44		nfv 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A e. V
45		nfre1 2793	. . . . . . . . . 10 |- F/ x E. x e. A ( # ` x ) = +oo
46	44, 45	nfan 1861	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
47		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> A e. V )
48		hashf2 26555	. . . . . . . . . . 11 |- # : _V --> ( 0 [,] +oo )
49		ffvelrn 5862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # : _V --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50	48, 39, 49	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
53	46, 47, 51, 52	esumpinfval 26544	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
54	43, 53	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
55	38, 54	eqtr4d 2478	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
56	55	3adant2 1007	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
57	56	3adant1r 1211	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
58	57	3expa 1187	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
59	25, 58	pm2.61dan 789	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
60		pwfi 7627	. . . . . . 7 |- ( U. A e. Fin <-> ~P U. A e. Fin )
61		pwuni 4544	. . . . . . . 8 |- A C_ ~P U. A
62		ssfi 7554	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. A e. Fin /\ A C_ ~P U. A ) -> A e. Fin )
63	61, 62	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( ~P U. A e. Fin -> A e. Fin )
64	60, 63	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( U. A e. Fin -> A e. Fin )
65	64	con3i 135	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. U. A e. Fin )
66	26, 65, 37	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
67		nftru 1599	. . . . . . . . 9 |- F/ x T.
68		unrab 3642	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
69		exmid 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
70	69	rgenw 2804	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
71		rabid2 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) } <-> A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) )
72	70, 71	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
73	68, 72	eqtr4i 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A )
75	67, 74	esumeq1d 26513	. . . . . . . 8 |- ( T. -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
76	75	trud 1378	. . . . . . 7 |- Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x )
77		nfrab1 2922	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | ( # ` x ) = 0 }
78		nfrab1 2922	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
79		rabexg 4463	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
80		rabexg 4463	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
81		rabnc 3682	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/)
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/) )
83	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	44, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84	esumsplit 26528	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
86	76, 85	syl5eqr 2489	. . . . . 6 |- ( A e. V -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
87	86	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
88		nfv 1673	. . . . . . 7 |- F/ x ( A e. V /\ -. A e. Fin )
89	80	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
90		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
91		dfrab3 3646	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } )
92		hasheq0 12152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. _V -> ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) ) )
93	39, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) )
94	93	abbii 2561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { x | x = (/) }
95		df-sn 3899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { (/) } = { x | x = (/) }
96	94, 95	eqtr4i 2466	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { (/) }
97	96	ineq2i 3570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } ) = ( A i^i { (/) } )
98	91, 97	eqtri 2463	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { (/) } )
99		snfi 7411	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. Fin
100		inss2 3592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
101		ssfi 7554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) } ) -> ( A i^i { (/) } ) e. Fin )
102	99, 100, 101	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { (/) } ) e. Fin
103	98, 102	eqeltri 2513	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
105		difinf 7603	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A e. Fin /\ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
106	90, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
107		notrab 3648	. . . . . . . . 9 |- ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
108	107	eleq1i 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin <-> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
109	106, 108	sylnib 304	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
110	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. _V )
112		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } )
113		rabid 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } <-> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
114	112, 113	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
115	114	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> -. ( # ` x ) = 0 )
116	93	biimpri 206	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
117	116	necon3bi 2676	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( # ` x ) = 0 -> x =/= (/) )
118	115, 117	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x =/= (/) )
119		hashge1 12173	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ x =/= (/) ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
120	111, 118, 119	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
121		1re 9406	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
122	121	rexri 9457	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 1 e. RR* )
124		0lt1 9883	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 0 < 1 )
126	88, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125	esumpinfsum 26548	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) = +oo )
127	126	oveq2d 6128	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) )
128		iccssxr 11399	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
129	79	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
130	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
131	130	ralrimiva 2820	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
132	77	esumcl 26508	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V /\ A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133	129, 131, 132	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
134	128, 133	sseldi 3375	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* )
135		xrge0neqmnf 26174	. . . . . . 7 |- (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
136	133, 135	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
137		xaddpnf1 11217	. . . . . 6 |- ( (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* /\ Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
138	134, 136, 137	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
139	87, 127, 138	3eqtrd 2479	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
140	66, 139	eqtr4d 2478	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
141	140	adantlr 714	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
142	59, 141	pm2.61dan 789	1 |- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993   \ cdif 3346   u. cun 3347   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   {csn 3898   U.cuni 4112  Disj wdisj 4283   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438   < clt 9439   <_ cle 9440   NN0cn0 10600   +ecxad 11108   [,)cico 11323   [,]cicc 11324   #chash 12124   sum_csu 13184  Σ^*cesum 26505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-ordt 14460  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-ps 15391  df-tsr 15392  df-mnd 15436  df-plusf 15437  df-mhm 15485  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-subrg 16885  df-abv 16924  df-lmod 16972  df-scaf 16973  df-sra 17275  df-rgmod 17276  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-tmd 19665  df-tgp 19666  df-tsms 19719  df-trg 19756  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-nrg 20200  df-nlm 20201  df-ii 20475  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-esum 26506

This theorem is referenced by:  cntmeas  26662