Theorem hasheuni 27719

Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13591. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hasheuni	|- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem hasheuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfdisj1 4425	. . . . . . . 8 |- F/ xDisj x e. A x
2		nfv 1678	. . . . . . . 8 |- F/ x A e. Fin
3		nfv 1678	. . . . . . . 8 |- F/ x A C_ Fin
4	1, 2, 3	nf3an 1872	. . . . . . 7 |- F/ x (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin )
5		simp2 992	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
6		simp3 993	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A C_ Fin )
7		simp1 991	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Disj x e. A x )
8	4, 5, 6, 7	hashunif 27261	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
9		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
10		dfss3 3489	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ Fin <-> A. x e. A x e. Fin )
11		hashcl 12385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
12		nn0re 10795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. RR )
13		nn0ge0 10812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> 0 <_ ( # ` x ) )
14		elrege0 11618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( # ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( # ` x ) ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	11, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	ralimi 2852	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A x e. Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18	10, 17	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
19	18	r19.21bi 2828	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ Fin /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
20	19	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21	9, 20	esumpfinval 27709	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
22	21	3adant1 1009	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
23	8, 22	eqtr4d 2506	. . . . 5 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
24	23	3adant1l 1215	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
25	24	3expa 1191	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
26		uniexg 6574	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
27	10	notbii 296	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A C_ Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
28		rexnal 2907	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A -. x e. Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
29	27, 28	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( -. A C_ Fin <-> E. x e. A -. x e. Fin )
30		elssuni 4270	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
31		ssfi 7732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. A e. Fin /\ x C_ U. A ) -> x e. Fin )
32	31	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ U. A -> ( U. A e. Fin -> x e. Fin ) )
33	32	con3d 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
35	34	rexlimiv 2944	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin )
36	29, 35	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> -. U. A e. Fin )
37		hashinf 12367	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A e. _V /\ -. U. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
38	26, 36, 37	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
39		vex 3111	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
40		hashinf 12367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ -. x e. Fin ) -> ( # ` x ) = +oo )
41	39, 40	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. Fin -> ( # ` x ) = +oo )
42	41	reximi 2927	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
43	29, 42	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
44		nfv 1678	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A e. V
45		nfre1 2920	. . . . . . . . . 10 |- F/ x E. x e. A ( # ` x ) = +oo
46	44, 45	nfan 1870	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
47		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> A e. V )
48		hashf2 27718	. . . . . . . . . . 11 |- # : _V --> ( 0 [,] +oo )
49		ffvelrn 6012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # : _V --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50	48, 39, 49	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
53	46, 47, 51, 52	esumpinfval 27707	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
54	43, 53	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
55	38, 54	eqtr4d 2506	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
56	55	3adant2 1010	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
57	56	3adant1r 1216	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
58	57	3expa 1191	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
59	25, 58	pm2.61dan 789	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
60		pwfi 7806	. . . . . . 7 |- ( U. A e. Fin <-> ~P U. A e. Fin )
61		pwuni 4673	. . . . . . . 8 |- A C_ ~P U. A
62		ssfi 7732	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. A e. Fin /\ A C_ ~P U. A ) -> A e. Fin )
63	61, 62	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( ~P U. A e. Fin -> A e. Fin )
64	60, 63	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( U. A e. Fin -> A e. Fin )
65	64	con3i 135	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. U. A e. Fin )
66	26, 65, 37	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
67		nftru 1604	. . . . . . . . 9 |- F/ x T.
68		unrab 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
69		exmid 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
70	69	rgenw 2820	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
71		rabid2 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) } <-> A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) )
72	70, 71	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
73	68, 72	eqtr4i 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A )
75	67, 74	esumeq1d 27676	. . . . . . . 8 |- ( T. -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
76	75	trud 1383	. . . . . . 7 |- Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x )
77		nfrab1 3037	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | ( # ` x ) = 0 }
78		nfrab1 3037	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
79		rabexg 4592	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
80		rabexg 4592	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
81		rabnc 3804	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/)
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/) )
83	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	44, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84	esumsplit 27691	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
86	76, 85	syl5eqr 2517	. . . . . 6 |- ( A e. V -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
87	86	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
88		nfv 1678	. . . . . . 7 |- F/ x ( A e. V /\ -. A e. Fin )
89	80	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
90		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
91		dfrab3 3768	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } )
92		hasheq0 12390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. _V -> ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) ) )
93	39, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) )
94	93	abbii 2596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { x | x = (/) }
95		df-sn 4023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { (/) } = { x | x = (/) }
96	94, 95	eqtr4i 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { (/) }
97	96	ineq2i 3692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } ) = ( A i^i { (/) } )
98	91, 97	eqtri 2491	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { (/) } )
99		snfi 7588	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. Fin
100		inss2 3714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
101		ssfi 7732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) } ) -> ( A i^i { (/) } ) e. Fin )
102	99, 100, 101	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { (/) } ) e. Fin
103	98, 102	eqeltri 2546	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
105		difinf 7781	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A e. Fin /\ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
106	90, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
107		notrab 3770	. . . . . . . . 9 |- ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
108	107	eleq1i 2539	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin <-> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
109	106, 108	sylnib 304	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
110	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. _V )
112		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } )
113		rabid 3033	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } <-> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
114	112, 113	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
115	114	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> -. ( # ` x ) = 0 )
116	93	biimpri 206	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
117	116	necon3bi 2691	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( # ` x ) = 0 -> x =/= (/) )
118	115, 117	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x =/= (/) )
119		hashge1 12414	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ x =/= (/) ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
120	111, 118, 119	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
121		1re 9586	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
122	121	rexri 9637	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 1 e. RR* )
124		0lt1 10066	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 0 < 1 )
126	88, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125	esumpinfsum 27711	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) = +oo )
127	126	oveq2d 6293	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) )
128		iccssxr 11598	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
129	79	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
130	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
131	130	ralrimiva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
132	77	esumcl 27671	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V /\ A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133	129, 131, 132	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
134	128, 133	sseldi 3497	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* )
135		xrge0neqmnf 27329	. . . . . . 7 |- (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
136	133, 135	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
137		xaddpnf1 11416	. . . . . 6 |- ( (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* /\ Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
138	134, 136, 137	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
139	87, 127, 138	3eqtrd 2507	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
140	66, 139	eqtr4d 2506	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
141	140	adantlr 714	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
142	59, 141	pm2.61dan 789	1 |- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   T. wtru 1375   e. wcel 1762   {cab 2447   =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   U.cuni 4240  Disj wdisj 4412   class class class wbr 4442   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   +oocpnf 9616   -oocmnf 9617   RR*cxr 9618   < clt 9619   <_ cle 9620   NN0cn0 10786   +ecxad 11307   [,)cico 11522   [,]cicc 11523   #chash 12362   sum_csu 13459  Σ^*cesum 27668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-ordt 14747  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-ps 15678  df-tsr 15679  df-mnd 15723  df-plusf 15724  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-subrg 17205  df-abv 17244  df-lmod 17292  df-scaf 17293  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-tmd 20301  df-tgp 20302  df-tsms 20355  df-trg 20392  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-nm 20833  df-ngp 20834  df-nrg 20836  df-nlm 20837  df-ii 21111  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667  df-esum 27669

This theorem is referenced by:  cntmeas  27825