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Theorem hasheuni 28545
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13791. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4381 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  x
2 nfv 1730 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  e.  Fin
3 nfv 1730 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  C_  Fin
41, 2, 3nf3an 1960 . . . . . . 7  |-  F/ x
(Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )
5 simp2 1000 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 simp3 1001 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  C_  Fin )
7 simp1 999 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  x  e.  A  x
)
84, 5, 6, 7hashunif 28069 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
9 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
10 dfss3 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
11 hashcl 12477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
12 nn0re 10847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  RR )
13 nn0ge0 10864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  0  <_  (
# `  x )
)
14 elrege0 11683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( # `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  x
) ) )
1512, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1716ralimi 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1810, 17sylbi 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1918r19.21bi 2775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2019adantll 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  x  e.  A
)  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
219, 20esumpfinval 28535 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x
)  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x
) )
22213adant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
238, 22eqtr4d 2448 . . . . 5  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
24233adant1l 1224 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
25243expa 1199 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
26 uniexg 6581 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2710notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
28 rexnal 2854 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
2927, 28bitr4i 254 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin )
30 elssuni 4222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
31 ssfi 7777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\  x  C_  U. A )  ->  x  e.  Fin )
3231expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( U. A  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
)
3332con3d 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3534rexlimiv 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
3629, 35sylbi 197 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
37 hashinf 12459 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
-.  U. A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
3826, 36, 37syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
39 vex 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
40 hashinf 12459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  Fin )  ->  ( # `  x
)  = +oo )
4139, 40mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  Fin  ->  (
# `  x )  = +oo )
4241reximi 2874 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
4329, 42sylbi 197 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
44 nfv 1730 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  A  e.  V
45 nfre1 2867 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo
4644, 45nfan 1958 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )
47 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  A  e.  V )
48 hashf2 28544 . . . . . . . . . . 11  |-  # : _V
--> ( 0 [,] +oo )
49 ffvelrn 6009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# : _V --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5048, 39, 49mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
5150a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )  /\  x  e.  A )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
52 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
5346, 47, 51, 52esumpinfval 28533 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  = +oo )
5443, 53sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  = +oo )
5538, 54eqtr4d 2448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
56553adant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  Fin  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
57563adant1r 1225 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  -.  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
58573expa 1199 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
5925, 58pm2.61dan 794 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
60 pwfi 7851 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  Fin  <->  ~P U. A  e.  Fin )
61 pwuni 4624 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ~P U. A
62 ssfi 7777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. A  e. 
Fin  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  A  e.  Fin )
6361, 62mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( ~P
U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6460, 63sylbi 197 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6564con3i 137 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -. 
U. A  e.  Fin )
6626, 65, 37syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
67 nftru 1649 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
68 unrab 3723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  { x  e.  A  |  (
( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
69 exmid 415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 )
7069rgenw 2767 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  A  ( ( # `
 x )  =  0  \/  -.  ( # `
 x )  =  0 )
71 rabid2 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }  <->  A. x  e.  A  ( ( # `  x
)  =  0  \/ 
-.  ( # `  x
)  =  0 ) )
7270, 71mpbir 211 . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  { x  e.  A  |  ( ( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
7368, 72eqtr4i 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  A
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  =  A )
7567, 74esumeq1d 28495 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
-> Σ* x  e.  ( {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } ) ( # `  x
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
7675trud 1416 . . . . . . 7  |- Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  = Σ* x  e.  A ( # `
 x )
77 nfrab1 2990 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }
78 nfrab1 2990 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
79 rabexg 4546 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
80 rabexg 4546 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
81 rabnc 3765 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  (/)
8281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } )  =  (/) )
8350a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  -> 
( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8450a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 28513 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8676, 85syl5eqr 2459 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8786adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
88 nfv 1730 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )
8980adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
90 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
91 dfrab3 3727 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )
92 hasheq0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
9493abbii 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { x  |  x  =  (/) }
95 df-sn 3975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  =  { x  |  x  =  (/) }
9694, 95eqtr4i 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { (/) }
9796ineq2i 3640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )  =  ( A  i^i  { (/) } )
9891, 97eqtri 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { (/) } )
99 snfi 7636 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
100 inss2 3662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
101 ssfi 7777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { (/)
} )  C_  { (/) } )  ->  ( A  i^i  { (/) } )  e. 
Fin )
10299, 100, 101mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { (/) } )  e.  Fin
10398, 102eqeltri 2488 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
105 difinf 7826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  e.  Fin )
10690, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 } )  e.  Fin )
107 notrab 3729 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 } )  =  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
108107eleq1i 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  e. 
Fin 
<->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )
109106, 108sylnib 304 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
11050a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  _V )
112 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )
113 rabid 2986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
114112, 113sylib 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
115114simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  -.  ( # `
 x )  =  0 )
11693biimpri 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
117116necon3bi 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  x
)  =  0  ->  x  =/=  (/) )
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  =/=  (/) )
119 hashge1 12507 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  x
) )
120111, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  1  <_  (
# `  x )
)
121 1re 9627 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
122121rexri 9678 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
123122a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1  e.  RR* )
124 0lt1 10117 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  0  <  1
)
12688, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125esumpinfsum 28537 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  = +oo )
127126oveq2d 6296 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
) +e +oo ) )
128 iccssxr 11663 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
12979adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
13050a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131130ralrimiva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13277esumcl 28490 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  _V  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
133129, 131, 132syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
134128, 133sseldi 3442 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  RR* )
135 xrge0neqmnf 28144 . . . . . . 7  |-  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  =/= -oo )
136133, 135syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )
137 xaddpnf1 11480 . . . . . 6  |-  ( (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
)  e.  RR*  /\ Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
138134, 136, 137syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
13987, 127, 1383eqtrd 2449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  = +oo )
14066, 139eqtr4d 2448 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
141140adantlr 715 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
14259, 141pm2.61dan 794 1  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   T. wtru 1408    e. wcel 1844   {cab 2389    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   U.cuni 4193  Disj wdisj 4368   class class class wbr 4397   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Fincfn 7556   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   +oocpnf 9657   -oocmnf 9658   RR*cxr 9659    < clt 9660    <_ cle 9661   NN0cn0 10838   +ecxad 11371   [,)cico 11586   [,]cicc 11587   #chash 12454   sum_csu 13659  Σ*cesum 28487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-ordt 15117  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-ps 16156  df-tsr 16157  df-plusf 16197  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-subrg 17749  df-abv 17788  df-lmod 17836  df-scaf 17837  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-tmd 20865  df-tgp 20866  df-tsms 20919  df-trg 20956  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-nm 21397  df-ngp 21398  df-nrg 21400  df-nlm 21401  df-ii 21675  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-esum 28488
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