Theorem hasheuni 28899

Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13869. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hasheuni	|- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem hasheuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfdisj1 4404	. . . . . . . 8 |- F/ xDisj x e. A x
2		nfv 1751	. . . . . . . 8 |- F/ x A e. Fin
3		nfv 1751	. . . . . . . 8 |- F/ x A C_ Fin
4	1, 2, 3	nf3an 1986	. . . . . . 7 |- F/ x (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin )
5		simp2 1006	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
6		simp3 1007	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A C_ Fin )
7		simp1 1005	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Disj x e. A x )
8	4, 5, 6, 7	hashunif 28371	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
9		simpl 458	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
10		dfss3 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ Fin <-> A. x e. A x e. Fin )
11		hashcl 12537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
12		nn0re 10878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. RR )
13		nn0ge0 10895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> 0 <_ ( # ` x ) )
14		elrege0 11738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( # ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( # ` x ) ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	ralimi 2818	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A x e. Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18	10, 17	sylbi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
19	18	r19.21bi 2794	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ Fin /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
20	19	adantll 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21	9, 20	esumpfinval 28889	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
22	21	3adant1 1023	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
23	8, 22	eqtr4d 2466	. . . . 5 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
24	23	3adant1l 1256	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
25	24	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
26		uniexg 6598	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
27	10	notbii 297	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A C_ Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
28		rexnal 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A -. x e. Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
29	27, 28	bitr4i 255	. . . . . . . . 9 |- ( -. A C_ Fin <-> E. x e. A -. x e. Fin )
30		elssuni 4245	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
31		ssfi 7794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. A e. Fin /\ x C_ U. A ) -> x e. Fin )
32	31	expcom 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ U. A -> ( U. A e. Fin -> x e. Fin ) )
33	32	con3d 138	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
35	34	rexlimiv 2911	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin )
36	29, 35	sylbi 198	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> -. U. A e. Fin )
37		hashinf 12519	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A e. _V /\ -. U. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
38	26, 36, 37	syl2an 479	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
39		vex 3084	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
40		hashinf 12519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ -. x e. Fin ) -> ( # ` x ) = +oo )
41	39, 40	mpan 674	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. Fin -> ( # ` x ) = +oo )
42	41	reximi 2893	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
43	29, 42	sylbi 198	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
44		nfv 1751	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A e. V
45		nfre1 2886	. . . . . . . . . 10 |- F/ x E. x e. A ( # ` x ) = +oo
46	44, 45	nfan 1984	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
47		simpl 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> A e. V )
48		hashf2 28898	. . . . . . . . . . 11 |- # : _V --> ( 0 [,] +oo )
49		ffvelrn 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # : _V --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50	48, 39, 49	mp2an 676	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
53	46, 47, 51, 52	esumpinfval 28887	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
54	43, 53	sylan2 476	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
55	38, 54	eqtr4d 2466	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
56	55	3adant2 1024	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
57	56	3adant1r 1257	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
58	57	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
59	25, 58	pm2.61dan 798	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
60		pwfi 7871	. . . . . . 7 |- ( U. A e. Fin <-> ~P U. A e. Fin )
61		pwuni 4648	. . . . . . . 8 |- A C_ ~P U. A
62		ssfi 7794	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. A e. Fin /\ A C_ ~P U. A ) -> A e. Fin )
63	61, 62	mpan2 675	. . . . . . 7 |- ( ~P U. A e. Fin -> A e. Fin )
64	60, 63	sylbi 198	. . . . . 6 |- ( U. A e. Fin -> A e. Fin )
65	64	con3i 140	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. U. A e. Fin )
66	26, 65, 37	syl2an 479	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
67		nftru 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ x T.
68		unrab 3744	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
69		exmid 416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
70	69	rgenw 2786	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
71		rabid2 3006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) } <-> A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) )
72	70, 71	mpbir 212	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
73	68, 72	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A )
75	67, 74	esumeq1d 28849	. . . . . . . 8 |- ( T. -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
76	75	trud 1446	. . . . . . 7 |- Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x )
77		nfrab1 3009	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | ( # ` x ) = 0 }
78		nfrab1 3009	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
79		rabexg 4570	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
80		rabexg 4570	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
81		rabnc 3786	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/)
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/) )
83	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	44, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84	esumsplit 28867	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
86	76, 85	syl5eqr 2477	. . . . . 6 |- ( A e. V -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
87	86	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
88		nfv 1751	. . . . . . 7 |- F/ x ( A e. V /\ -. A e. Fin )
89	80	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
90		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
91		dfrab3 3748	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } )
92		hasheq0 12543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. _V -> ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) ) )
93	39, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) )
94	93	abbii 2556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { x | x = (/) }
95		df-sn 3997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { (/) } = { x | x = (/) }
96	94, 95	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { (/) }
97	96	ineq2i 3661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } ) = ( A i^i { (/) } )
98	91, 97	eqtri 2451	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { (/) } )
99		snfi 7653	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. Fin
100		inss2 3683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
101		ssfi 7794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) } ) -> ( A i^i { (/) } ) e. Fin )
102	99, 100, 101	mp2an 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { (/) } ) e. Fin
103	98, 102	eqeltri 2506	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
105		difinf 7843	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A e. Fin /\ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
106	90, 104, 105	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
107		notrab 3750	. . . . . . . . 9 |- ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
108	107	eleq1i 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin <-> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
109	106, 108	sylnib 305	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
110	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. _V )
112		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } )
113		rabid 3005	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } <-> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
114	112, 113	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
115	114	simprd 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> -. ( # ` x ) = 0 )
116	93	biimpri 209	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
117	116	necon3bi 2653	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( # ` x ) = 0 -> x =/= (/) )
118	115, 117	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x =/= (/) )
119		hashge1 12567	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ x =/= (/) ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
120	111, 118, 119	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
121		1re 9642	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
122	121	rexri 9693	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 1 e. RR* )
124		0lt1 10136	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 0 < 1 )
126	88, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125	esumpinfsum 28891	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) = +oo )
127	126	oveq2d 6317	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) )
128		iccssxr 11717	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
129	79	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
130	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
131	130	ralrimiva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
132	77	esumcl 28844	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V /\ A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133	129, 131, 132	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
134	128, 133	sseldi 3462	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* )
135		xrge0neqmnf 11737	. . . . . . 7 |- (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
136	133, 135	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
137		xaddpnf1 11519	. . . . . 6 |- ( (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* /\ Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
138	134, 136, 137	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
139	87, 127, 138	3eqtrd 2467	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
140	66, 139	eqtr4d 2466	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
141	140	adantlr 719	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
142	59, 141	pm2.61dan 798	1 |- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   T. wtru 1438   e. wcel 1868   {cab 2407   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216  Disj wdisj 4391   class class class wbr 4420   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   NN0cn0 10869   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   #chash 12514   sum_csu 13737  Σ^*cesum 28841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13116  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-limsup 13511  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-sum 13738  df-ef 14106  df-sin 14108  df-cos 14109  df-pi 14111  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-ordt 15384  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-ps 16431  df-tsr 16432  df-plusf 16472  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-mhm 16567  df-submnd 16568  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-mulg 16661  df-subg 16799  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-abl 17418  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-cring 17768  df-subrg 17991  df-abv 18030  df-lmod 18078  df-scaf 18079  df-sra 18380  df-rgmod 18381  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-tmd 21071  df-tgp 21072  df-tsms 21125  df-trg 21158  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-nm 21581  df-ngp 21582  df-nrg 21584  df-nlm 21585  df-ii 21893  df-cncf 21894  df-limc 22805  df-dv 22806  df-log 23490  df-esum 28842

This theorem is referenced by:  cntmeas  29041