Theorem hasheuni 28545

Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13791. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hasheuni	|- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem hasheuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfdisj1 4381	. . . . . . . 8 |- F/ xDisj x e. A x
2		nfv 1730	. . . . . . . 8 |- F/ x A e. Fin
3		nfv 1730	. . . . . . . 8 |- F/ x A C_ Fin
4	1, 2, 3	nf3an 1960	. . . . . . 7 |- F/ x (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin )
5		simp2 1000	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
6		simp3 1001	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A C_ Fin )
7		simp1 999	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Disj x e. A x )
8	4, 5, 6, 7	hashunif 28069	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
9		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
10		dfss3 3434	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ Fin <-> A. x e. A x e. Fin )
11		hashcl 12477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
12		nn0re 10847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. RR )
13		nn0ge0 10864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> 0 <_ ( # ` x ) )
14		elrege0 11683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( # ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( # ` x ) ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	ralimi 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A x e. Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18	10, 17	sylbi 197	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
19	18	r19.21bi 2775	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ Fin /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
20	19	adantll 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21	9, 20	esumpfinval 28535	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
22	21	3adant1 1017	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
23	8, 22	eqtr4d 2448	. . . . 5 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
24	23	3adant1l 1224	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
25	24	3expa 1199	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
26		uniexg 6581	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
27	10	notbii 296	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A C_ Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
28		rexnal 2854	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A -. x e. Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
29	27, 28	bitr4i 254	. . . . . . . . 9 |- ( -. A C_ Fin <-> E. x e. A -. x e. Fin )
30		elssuni 4222	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
31		ssfi 7777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. A e. Fin /\ x C_ U. A ) -> x e. Fin )
32	31	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ U. A -> ( U. A e. Fin -> x e. Fin ) )
33	32	con3d 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
35	34	rexlimiv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin )
36	29, 35	sylbi 197	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> -. U. A e. Fin )
37		hashinf 12459	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A e. _V /\ -. U. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
38	26, 36, 37	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
39		vex 3064	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
40		hashinf 12459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ -. x e. Fin ) -> ( # ` x ) = +oo )
41	39, 40	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. Fin -> ( # ` x ) = +oo )
42	41	reximi 2874	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
43	29, 42	sylbi 197	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
44		nfv 1730	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A e. V
45		nfre1 2867	. . . . . . . . . 10 |- F/ x E. x e. A ( # ` x ) = +oo
46	44, 45	nfan 1958	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
47		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> A e. V )
48		hashf2 28544	. . . . . . . . . . 11 |- # : _V --> ( 0 [,] +oo )
49		ffvelrn 6009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # : _V --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50	48, 39, 49	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
53	46, 47, 51, 52	esumpinfval 28533	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
54	43, 53	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
55	38, 54	eqtr4d 2448	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
56	55	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
57	56	3adant1r 1225	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
58	57	3expa 1199	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
59	25, 58	pm2.61dan 794	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
60		pwfi 7851	. . . . . . 7 |- ( U. A e. Fin <-> ~P U. A e. Fin )
61		pwuni 4624	. . . . . . . 8 |- A C_ ~P U. A
62		ssfi 7777	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. A e. Fin /\ A C_ ~P U. A ) -> A e. Fin )
63	61, 62	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( ~P U. A e. Fin -> A e. Fin )
64	60, 63	sylbi 197	. . . . . 6 |- ( U. A e. Fin -> A e. Fin )
65	64	con3i 137	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. U. A e. Fin )
66	26, 65, 37	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
67		nftru 1649	. . . . . . . . 9 |- F/ x T.
68		unrab 3723	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
69		exmid 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
70	69	rgenw 2767	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
71		rabid2 2987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) } <-> A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) )
72	70, 71	mpbir 211	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
73	68, 72	eqtr4i 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A )
75	67, 74	esumeq1d 28495	. . . . . . . 8 |- ( T. -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
76	75	trud 1416	. . . . . . 7 |- Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x )
77		nfrab1 2990	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | ( # ` x ) = 0 }
78		nfrab1 2990	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
79		rabexg 4546	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
80		rabexg 4546	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
81		rabnc 3765	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/)
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/) )
83	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	44, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84	esumsplit 28513	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
86	76, 85	syl5eqr 2459	. . . . . 6 |- ( A e. V -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
87	86	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
88		nfv 1730	. . . . . . 7 |- F/ x ( A e. V /\ -. A e. Fin )
89	80	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
90		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
91		dfrab3 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } )
92		hasheq0 12483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. _V -> ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) ) )
93	39, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) )
94	93	abbii 2538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { x | x = (/) }
95		df-sn 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { (/) } = { x | x = (/) }
96	94, 95	eqtr4i 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { (/) }
97	96	ineq2i 3640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } ) = ( A i^i { (/) } )
98	91, 97	eqtri 2433	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { (/) } )
99		snfi 7636	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. Fin
100		inss2 3662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
101		ssfi 7777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) } ) -> ( A i^i { (/) } ) e. Fin )
102	99, 100, 101	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { (/) } ) e. Fin
103	98, 102	eqeltri 2488	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
105		difinf 7826	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A e. Fin /\ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
106	90, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
107		notrab 3729	. . . . . . . . 9 |- ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
108	107	eleq1i 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin <-> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
109	106, 108	sylnib 304	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
110	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. _V )
112		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } )
113		rabid 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } <-> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
114	112, 113	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
115	114	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> -. ( # ` x ) = 0 )
116	93	biimpri 208	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
117	116	necon3bi 2634	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( # ` x ) = 0 -> x =/= (/) )
118	115, 117	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x =/= (/) )
119		hashge1 12507	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ x =/= (/) ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
120	111, 118, 119	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
121		1re 9627	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
122	121	rexri 9678	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 1 e. RR* )
124		0lt1 10117	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 0 < 1 )
126	88, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125	esumpinfsum 28537	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) = +oo )
127	126	oveq2d 6296	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) )
128		iccssxr 11663	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
129	79	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
130	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
131	130	ralrimiva 2820	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
132	77	esumcl 28490	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V /\ A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133	129, 131, 132	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
134	128, 133	sseldi 3442	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* )
135		xrge0neqmnf 28144	. . . . . . 7 |- (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
136	133, 135	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
137		xaddpnf1 11480	. . . . . 6 |- ( (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* /\ Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
138	134, 136, 137	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
139	87, 127, 138	3eqtrd 2449	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
140	66, 139	eqtr4d 2448	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
141	140	adantlr 715	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
142	59, 141	pm2.61dan 794	1 |- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 186   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   T. wtru 1408   e. wcel 1844   {cab 2389   =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   U.cuni 4193  Disj wdisj 4368   class class class wbr 4397   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Fincfn 7556   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   +oocpnf 9657   -oocmnf 9658   RR*cxr 9659   < clt 9660   <_ cle 9661   NN0cn0 10838   +ecxad 11371   [,)cico 11586   [,]cicc 11587   #chash 12454   sum_csu 13659  Σ^*cesum 28487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-ordt 15117  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-ps 16156  df-tsr 16157  df-plusf 16197  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-subrg 17749  df-abv 17788  df-lmod 17836  df-scaf 17837  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-tmd 20865  df-tgp 20866  df-tsms 20919  df-trg 20956  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-nm 21397  df-ngp 21398  df-nrg 21400  df-nlm 21401  df-ii 21675  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-esum 28488

This theorem is referenced by:  cntmeas  28687