Theorem hasheuni 28906

Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13884. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hasheuni	|- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem hasheuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfdisj1 4386	. . . . . . . 8 |- F/ xDisj x e. A x
2		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ x A e. Fin
3		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ x A C_ Fin
4	1, 2, 3	nf3an 2013	. . . . . . 7 |- F/ x (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin )
5		simp2 1009	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
6		simp3 1010	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A C_ Fin )
7		simp1 1008	. . . . . . 7 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Disj x e. A x )
8	4, 5, 6, 7	hashunif 28379	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
9		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
10		dfss3 3422	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ Fin <-> A. x e. A x e. Fin )
11		hashcl 12538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
12		nn0re 10878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. RR )
13		nn0ge0 10895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> 0 <_ ( # ` x ) )
14		elrege0 11738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( # ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( # ` x ) ) )
15	12, 13, 14	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) e. NN0 -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	ralimi 2781	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A x e. Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18	10, 17	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ Fin -> A. x e. A ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
19	18	r19.21bi 2757	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ Fin /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
20	19	adantll 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21	9, 20	esumpfinval 28896	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
22	21	3adant1 1026	. . . . . 6 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = sum_ x e. A ( # ` x ) )
23	8, 22	eqtr4d 2488	. . . . 5 |- ( (Disj x e. A x /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
24	23	3adant1l 1260	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
25	24	3expa 1208	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
26		uniexg 6588	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
27	10	notbii 298	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A C_ Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
28		rexnal 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A -. x e. Fin <-> -. A. x e. A x e. Fin )
29	27, 28	bitr4i 256	. . . . . . . . 9 |- ( -. A C_ Fin <-> E. x e. A -. x e. Fin )
30		elssuni 4227	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
31		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. A e. Fin /\ x C_ U. A ) -> x e. Fin )
32	31	expcom 437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ U. A -> ( U. A e. Fin -> x e. Fin ) )
33	32	con3d 139	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ U. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin ) )
35	34	rexlimiv 2873	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> -. U. A e. Fin )
36	29, 35	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> -. U. A e. Fin )
37		hashinf 12520	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A e. _V /\ -. U. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
38	26, 36, 37	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
39		vex 3048	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
40		hashinf 12520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ -. x e. Fin ) -> ( # ` x ) = +oo )
41	39, 40	mpan 676	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. Fin -> ( # ` x ) = +oo )
42	41	reximi 2855	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A -. x e. Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
43	29, 42	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( -. A C_ Fin -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
44		nfv 1761	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A e. V
45		nfre1 2848	. . . . . . . . . 10 |- F/ x E. x e. A ( # ` x ) = +oo
46	44, 45	nfan 2011	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
47		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> A e. V )
48		hashf2 28905	. . . . . . . . . . 11 |- # : _V --> ( 0 [,] +oo )
49		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # : _V --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50	48, 39, 49	mp2an 678	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) /\ x e. A ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> E. x e. A ( # ` x ) = +oo )
53	46, 47, 51, 52	esumpinfval 28894	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A ( # ` x ) = +oo ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
54	43, 53	sylan2 477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
55	38, 54	eqtr4d 2488	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
56	55	3adant2 1027	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
57	56	3adant1r 1261	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
58	57	3expa 1208	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) /\ -. A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
59	25, 58	pm2.61dan 800	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
60		pwfi 7869	. . . . . . 7 |- ( U. A e. Fin <-> ~P U. A e. Fin )
61		pwuni 4631	. . . . . . . 8 |- A C_ ~P U. A
62		ssfi 7792	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. A e. Fin /\ A C_ ~P U. A ) -> A e. Fin )
63	61, 62	mpan2 677	. . . . . . 7 |- ( ~P U. A e. Fin -> A e. Fin )
64	60, 63	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( U. A e. Fin -> A e. Fin )
65	64	con3i 141	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. U. A e. Fin )
66	26, 65, 37	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = +oo )
67		nftru 1677	. . . . . . . . 9 |- F/ x T.
68		unrab 3714	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
69		exmid 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
70	69	rgenw 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 )
71		rabid2 2968	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) } <-> A. x e. A ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) )
72	70, 71	mpbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. A | ( ( # ` x ) = 0 \/ -. ( # ` x ) = 0 ) }
73	68, 72	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = A )
75	67, 74	esumeq1d 28856	. . . . . . . 8 |- ( T. -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
76	75	trud 1453	. . . . . . 7 |- Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = Σ* x e. A ( # ` x )
77		nfrab1 2971	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | ( # ` x ) = 0 }
78		nfrab1 2971	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
79		rabexg 4553	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
80		rabexg 4553	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
81		rabnc 3756	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/)
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } i^i { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) = (/) )
83	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	44, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84	esumsplit 28874	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> Σ* x e. ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } u. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
86	76, 85	syl5eqr 2499	. . . . . 6 |- ( A e. V -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
87	86	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) )
88		nfv 1761	. . . . . . 7 |- F/ x ( A e. V /\ -. A e. Fin )
89	80	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. _V )
90		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
91		dfrab3 3718	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } )
92		hasheq0 12544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. _V -> ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) ) )
93	39, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` x ) = 0 <-> x = (/) )
94	93	abbii 2567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { x | x = (/) }
95		df-sn 3969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { (/) } = { x | x = (/) }
96	94, 95	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x | ( # ` x ) = 0 } = { (/) }
97	96	ineq2i 3631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { x | ( # ` x ) = 0 } ) = ( A i^i { (/) } )
98	91, 97	eqtri 2473	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } = ( A i^i { (/) } )
99		snfi 7650	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. Fin
100		inss2 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
101		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { (/) } e. Fin /\ ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) } ) -> ( A i^i { (/) } ) e. Fin )
102	99, 100, 101	mp2an 678	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { (/) } ) e. Fin
103	98, 102	eqeltri 2525	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
105		difinf 7841	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A e. Fin /\ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
106	90, 104, 105	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin )
107		notrab 3720	. . . . . . . . 9 |- ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) = { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 }
108	107	eleq1i 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) e. Fin <-> { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
109	106, 108	sylnib 306	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } e. Fin )
110	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. _V )
112		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } )
113		rabid 2967	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } <-> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
114	112, 113	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> ( x e. A /\ -. ( # ` x ) = 0 ) )
115	114	simprd 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> -. ( # ` x ) = 0 )
116	93	biimpri 210	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
117	116	necon3bi 2650	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( # ` x ) = 0 -> x =/= (/) )
118	115, 117	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> x =/= (/) )
119		hashge1 12568	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ x =/= (/) ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
120	111, 118, 119	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ) -> 1 <_ ( # ` x ) )
121		1re 9642	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
122	121	rexri 9693	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 1 e. RR* )
124		0lt1 10136	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> 0 < 1 )
126	88, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125	esumpinfsum 28898	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) = +oo )
127	126	oveq2d 6306	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +eΣ* x e. { x e. A | -. ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) ) = (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) )
128		iccssxr 11717	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
129	79	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V )
130	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ) -> ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
131	130	ralrimiva 2802	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
132	77	esumcl 28851	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. A | ( # ` x ) = 0 } e. _V /\ A. x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133	129, 131, 132	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
134	128, 133	sseldi 3430	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* )
135		xrge0neqmnf 11737	. . . . . . 7 |- (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
136	133, 135	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo )
137		xaddpnf1 11519	. . . . . 6 |- ( (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) e. RR* /\ Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) =/= -oo ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
138	134, 136, 137	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> (Σ* x e. { x e. A | ( # ` x ) = 0 } ( # ` x ) +e +oo ) = +oo )
139	87, 127, 138	3eqtrd 2489	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> Σ* x e. A ( # ` x ) = +oo )
140	66, 139	eqtr4d 2488	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
141	140	adantlr 721	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )
142	59, 141	pm2.61dan 800	1 |- ( ( A e. V /\ Disj x e. A x ) -> ( # ` U. A ) = Σ* x e. A ( # ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   T. wtru 1445   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   NN0cn0 10869   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   #chash 12515   sum_csu 13752  Σ^*cesum 28848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-lmod 18093  df-scaf 18094  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tmd 21087  df-tgp 21088  df-tsms 21141  df-trg 21174  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-ii 21909  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-esum 28849

This theorem is referenced by:  cntmeas  29048