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Theorem hasheuni 28980
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13961. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4379 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  x
2 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  e.  Fin
3 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  C_  Fin
41, 2, 3nf3an 2033 . . . . . . 7  |-  F/ x
(Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )
5 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  C_  Fin )
7 simp1 1030 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  x  e.  A  x
)
84, 5, 6, 7hashunif 28454 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
9 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
10 dfss3 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
11 hashcl 12576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
12 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  RR )
13 nn0ge0 10919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  0  <_  (
# `  x )
)
14 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( # `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  x
) ) )
1512, 13, 14sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1716ralimi 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1810, 17sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1918r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2019adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  x  e.  A
)  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
219, 20esumpfinval 28970 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x
)  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x
) )
22213adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
238, 22eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
24233adant1l 1284 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
25243expa 1231 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
26 uniexg 6607 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2710notbii 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
28 rexnal 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
2927, 28bitr4i 260 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin )
30 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
31 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\  x  C_  U. A )  ->  x  e.  Fin )
3231expcom 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( U. A  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
)
3332con3d 140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3534rexlimiv 2867 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
3629, 35sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
37 hashinf 12558 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
-.  U. A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
3826, 36, 37syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
39 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
40 hashinf 12558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  Fin )  ->  ( # `  x
)  = +oo )
4139, 40mpan 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  Fin  ->  (
# `  x )  = +oo )
4241reximi 2852 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
4329, 42sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
44 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  A  e.  V
45 nfre1 2846 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo
4644, 45nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )
47 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  A  e.  V )
48 hashf2 28979 . . . . . . . . . . 11  |-  # : _V
--> ( 0 [,] +oo )
49 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# : _V --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5048, 39, 49mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
5150a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )  /\  x  e.  A )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
52 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
5346, 47, 51, 52esumpinfval 28968 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  = +oo )
5443, 53sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  = +oo )
5538, 54eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
56553adant2 1049 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  Fin  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
57563adant1r 1285 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  -.  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
58573expa 1231 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
5925, 58pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
60 pwfi 7887 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  Fin  <->  ~P U. A  e.  Fin )
61 pwuni 4631 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ~P U. A
62 ssfi 7810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. A  e. 
Fin  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  A  e.  Fin )
6361, 62mpan2 685 . . . . . . 7  |-  ( ~P
U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6460, 63sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6564con3i 142 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -. 
U. A  e.  Fin )
6626, 65, 37syl2an 485 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
67 nftru 1685 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
68 unrab 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  { x  e.  A  |  (
( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
69 exmid 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 )
7069rgenw 2768 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  A  ( ( # `
 x )  =  0  \/  -.  ( # `
 x )  =  0 )
71 rabid2 2954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }  <->  A. x  e.  A  ( ( # `  x
)  =  0  \/ 
-.  ( # `  x
)  =  0 ) )
7270, 71mpbir 214 . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  { x  e.  A  |  ( ( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
7368, 72eqtr4i 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  A
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  =  A )
7567, 74esumeq1d 28930 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
-> Σ* x  e.  ( {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } ) ( # `  x
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
7675trud 1461 . . . . . . 7  |- Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  = Σ* x  e.  A ( # `
 x )
77 nfrab1 2957 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }
78 nfrab1 2957 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
79 rabexg 4549 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
80 rabexg 4549 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
81 rabnc 3759 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  (/)
8281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } )  =  (/) )
8350a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  -> 
( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8450a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 28948 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8676, 85syl5eqr 2519 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8786adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
88 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )
8980adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
90 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
91 dfrab3 3709 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )
92 hasheq0 12582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
9493abbii 2587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { x  |  x  =  (/) }
95 df-sn 3960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  =  { x  |  x  =  (/) }
9694, 95eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { (/) }
9796ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )  =  ( A  i^i  { (/) } )
9891, 97eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { (/) } )
99 snfi 7668 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
100 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
101 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { (/)
} )  C_  { (/) } )  ->  ( A  i^i  { (/) } )  e. 
Fin )
10299, 100, 101mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { (/) } )  e.  Fin
10398, 102eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
105 difinf 7859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  e.  Fin )
10690, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 } )  e.  Fin )
107 notrab 3711 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 } )  =  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
108107eleq1i 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  e. 
Fin 
<->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )
109106, 108sylnib 311 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
11050a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  _V )
112 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )
113 rabid 2953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
114112, 113sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
115114simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  -.  ( # `
 x )  =  0 )
11693biimpri 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
117116necon3bi 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  x
)  =  0  ->  x  =/=  (/) )
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  =/=  (/) )
119 hashge1 12606 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  x
) )
120111, 118, 119syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  1  <_  (
# `  x )
)
121 1re 9660 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
122121rexri 9711 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
123122a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1  e.  RR* )
124 0lt1 10157 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  0  <  1
)
12688, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125esumpinfsum 28972 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  = +oo )
127126oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
) +e +oo ) )
128 iccssxr 11742 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
12979adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
13050a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131130ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13277esumcl 28925 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  _V  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
133129, 131, 132syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
134128, 133sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  RR* )
135 xrge0neqmnf 11762 . . . . . . 7  |-  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  =/= -oo )
136133, 135syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )
137 xaddpnf1 11542 . . . . . 6  |-  ( (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
)  e.  RR*  /\ Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
138134, 136, 137syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
13987, 127, 1383eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  = +oo )
14066, 139eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
141140adantlr 729 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
14259, 141pm2.61dan 808 1  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NN0cn0 10893   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   #chash 12553   sum_csu 13829  Σ*cesum 28922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923
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