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Theorem hasheuni 28899
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13869. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4404 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  x
2 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  e.  Fin
3 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  C_  Fin
41, 2, 3nf3an 1986 . . . . . . 7  |-  F/ x
(Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )
5 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  C_  Fin )
7 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  x  e.  A  x
)
84, 5, 6, 7hashunif 28371 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
9 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
10 dfss3 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
11 hashcl 12537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
12 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  RR )
13 nn0ge0 10895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  0  <_  (
# `  x )
)
14 elrege0 11738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( # `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  x
) ) )
1512, 13, 14sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1716ralimi 2818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1810, 17sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1918r19.21bi 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2019adantll 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  x  e.  A
)  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
219, 20esumpfinval 28889 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x
)  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x
) )
22213adant1 1023 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
238, 22eqtr4d 2466 . . . . 5  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
24233adant1l 1256 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
25243expa 1205 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
26 uniexg 6598 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2710notbii 297 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
28 rexnal 2873 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
2927, 28bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin )
30 elssuni 4245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
31 ssfi 7794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\  x  C_  U. A )  ->  x  e.  Fin )
3231expcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( U. A  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
)
3332con3d 138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3534rexlimiv 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
3629, 35sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
37 hashinf 12519 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
-.  U. A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
3826, 36, 37syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
39 vex 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
40 hashinf 12519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  Fin )  ->  ( # `  x
)  = +oo )
4139, 40mpan 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  Fin  ->  (
# `  x )  = +oo )
4241reximi 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
4329, 42sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
44 nfv 1751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  A  e.  V
45 nfre1 2886 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo
4644, 45nfan 1984 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )
47 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  A  e.  V )
48 hashf2 28898 . . . . . . . . . . 11  |-  # : _V
--> ( 0 [,] +oo )
49 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# : _V --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5048, 39, 49mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
5150a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )  /\  x  e.  A )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
52 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
5346, 47, 51, 52esumpinfval 28887 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  = +oo )
5443, 53sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  = +oo )
5538, 54eqtr4d 2466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
56553adant2 1024 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  Fin  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
57563adant1r 1257 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  -.  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
58573expa 1205 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
5925, 58pm2.61dan 798 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
60 pwfi 7871 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  Fin  <->  ~P U. A  e.  Fin )
61 pwuni 4648 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ~P U. A
62 ssfi 7794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. A  e. 
Fin  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  A  e.  Fin )
6361, 62mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( ~P
U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6460, 63sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6564con3i 140 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -. 
U. A  e.  Fin )
6626, 65, 37syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
67 nftru 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
68 unrab 3744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  { x  e.  A  |  (
( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
69 exmid 416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 )
7069rgenw 2786 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  A  ( ( # `
 x )  =  0  \/  -.  ( # `
 x )  =  0 )
71 rabid2 3006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }  <->  A. x  e.  A  ( ( # `  x
)  =  0  \/ 
-.  ( # `  x
)  =  0 ) )
7270, 71mpbir 212 . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  { x  e.  A  |  ( ( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
7368, 72eqtr4i 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  A
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  =  A )
7567, 74esumeq1d 28849 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
-> Σ* x  e.  ( {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } ) ( # `  x
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
7675trud 1446 . . . . . . 7  |- Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  = Σ* x  e.  A ( # `
 x )
77 nfrab1 3009 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }
78 nfrab1 3009 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
79 rabexg 4570 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
80 rabexg 4570 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
81 rabnc 3786 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  (/)
8281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } )  =  (/) )
8350a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  -> 
( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8450a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 28867 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8676, 85syl5eqr 2477 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8786adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
88 nfv 1751 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )
8980adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
90 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
91 dfrab3 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )
92 hasheq0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
9493abbii 2556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { x  |  x  =  (/) }
95 df-sn 3997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  =  { x  |  x  =  (/) }
9694, 95eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { (/) }
9796ineq2i 3661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )  =  ( A  i^i  { (/) } )
9891, 97eqtri 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { (/) } )
99 snfi 7653 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
100 inss2 3683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
101 ssfi 7794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { (/)
} )  C_  { (/) } )  ->  ( A  i^i  { (/) } )  e. 
Fin )
10299, 100, 101mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { (/) } )  e.  Fin
10398, 102eqeltri 2506 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
105 difinf 7843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  e.  Fin )
10690, 104, 105syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 } )  e.  Fin )
107 notrab 3750 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 } )  =  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
108107eleq1i 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  e. 
Fin 
<->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )
109106, 108sylnib 305 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
11050a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  _V )
112 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )
113 rabid 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
114112, 113sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
115114simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  -.  ( # `
 x )  =  0 )
11693biimpri 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
117116necon3bi 2653 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  x
)  =  0  ->  x  =/=  (/) )
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  =/=  (/) )
119 hashge1 12567 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  x
) )
120111, 118, 119syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  1  <_  (
# `  x )
)
121 1re 9642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
122121rexri 9693 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
123122a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1  e.  RR* )
124 0lt1 10136 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  0  <  1
)
12688, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125esumpinfsum 28891 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  = +oo )
127126oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
) +e +oo ) )
128 iccssxr 11717 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
12979adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
13050a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131130ralrimiva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13277esumcl 28844 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  _V  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
133129, 131, 132syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
134128, 133sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  RR* )
135 xrge0neqmnf 11737 . . . . . . 7  |-  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  =/= -oo )
136133, 135syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )
137 xaddpnf1 11519 . . . . . 6  |-  ( (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
)  e.  RR*  /\ Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
138134, 136, 137syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
13987, 127, 1383eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  = +oo )
14066, 139eqtr4d 2466 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
141140adantlr 719 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
14259, 141pm2.61dan 798 1  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1868   {cab 2407    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216  Disj wdisj 4391   class class class wbr 4420   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   NN0cn0 10869   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   #chash 12514   sum_csu 13737  Σ*cesum 28841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13116  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-limsup 13511  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-sum 13738  df-ef 14106  df-sin 14108  df-cos 14109  df-pi 14111  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-ordt 15384  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-ps 16431  df-tsr 16432  df-plusf 16472  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-mhm 16567  df-submnd 16568  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-mulg 16661  df-subg 16799  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-abl 17418  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-cring 17768  df-subrg 17991  df-abv 18030  df-lmod 18078  df-scaf 18079  df-sra 18380  df-rgmod 18381  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-tmd 21071  df-tgp 21072  df-tsms 21125  df-trg 21158  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-nm 21581  df-ngp 21582  df-nrg 21584  df-nlm 21585  df-ii 21893  df-cncf 21894  df-limc 22805  df-dv 22806  df-log 23490  df-esum 28842
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