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Theorem hasheuni 26556
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 13309. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4296 . . . . . . . 8  |-  F/ xDisj  x  e.  A  x
2 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  e.  Fin
3 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  C_  Fin
41, 2, 3nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ x
(Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )
5 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  C_  Fin )
7 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  x  e.  A  x
)
84, 5, 6, 7hashunif 26106 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
9 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
10 dfss3 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
11 hashcl 12147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
12 nn0re 10609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  RR )
13 nn0ge0 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  0  <_  (
# `  x )
)
14 elrege0 11413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( # `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  x
) ) )
1512, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1611, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1716ralimi 2812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1810, 17sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  Fin  ->  A. x  e.  A  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1918r19.21bi 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2019adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  x  e.  A
)  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
219, 20esumpfinval 26546 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x
)  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x
) )
22213adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  x ) )
238, 22eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( (Disj  x  e.  A  x  /\  A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
24233adant1l 1210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
25243expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
26 uniexg 6398 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2710notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
28 rexnal 2747 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
2927, 28bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  C_  Fin  <->  E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin )
30 elssuni 4142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
31 ssfi 7554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\  x  C_  U. A )  ->  x  e.  Fin )
3231expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( U. A  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
)
3332con3d 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U. A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e. 
Fin ) )
3534rexlimiv 2856 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
3629, 35sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  -.  U. A  e.  Fin )
37 hashinf 12129 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
-.  U. A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
3826, 36, 37syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
39 vex 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
40 hashinf 12129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  Fin )  ->  ( # `  x
)  = +oo )
4139, 40mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  Fin  ->  (
# `  x )  = +oo )
4241reximi 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
4329, 42sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  C_  Fin  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
44 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  A  e.  V
45 nfre1 2793 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo
4644, 45nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )
47 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  A  e.  V )
48 hashf2 26555 . . . . . . . . . . 11  |-  # : _V
--> ( 0 [,] +oo )
49 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# : _V --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5048, 39, 49mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
5150a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  ( # `  x )  = +oo )  /\  x  e.  A )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
52 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  ->  E. x  e.  A  ( # `  x
)  = +oo )
5346, 47, 51, 52esumpinfval 26544 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. x  e.  A  (
# `  x )  = +oo )  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  = +oo )
5443, 53sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  -> Σ* x  e.  A ( # `  x )  = +oo )
5538, 54eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  C_  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
56553adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  Fin  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
57563adant1r 1211 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin  /\  -.  A  C_ 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
58573expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e.  Fin )  /\  -.  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
5925, 58pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
60 pwfi 7627 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  Fin  <->  ~P U. A  e.  Fin )
61 pwuni 4544 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ~P U. A
62 ssfi 7554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. A  e. 
Fin  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  A  e.  Fin )
6361, 62mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( ~P
U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6460, 63sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
6564con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -. 
U. A  e.  Fin )
6626, 65, 37syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = +oo )
67 nftru 1599 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
68 unrab 3642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  { x  e.  A  |  (
( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
69 exmid 415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 )
7069rgenw 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  A  ( ( # `
 x )  =  0  \/  -.  ( # `
 x )  =  0 )
71 rabid2 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  ( (
# `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }  <->  A. x  e.  A  ( ( # `  x
)  =  0  \/ 
-.  ( # `  x
)  =  0 ) )
7270, 71mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  { x  e.  A  |  ( ( # `  x )  =  0  \/  -.  ( # `  x )  =  0 ) }
7368, 72eqtr4i 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  A
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  =  A )
7567, 74esumeq1d 26513 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
-> Σ* x  e.  ( {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } ) ( # `  x
)  = Σ* x  e.  A
( # `  x ) )
7675trud 1378 . . . . . . 7  |- Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  = Σ* x  e.  A ( # `
 x )
77 nfrab1 2922 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }
78 nfrab1 2922 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
79 rabexg 4463 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
80 rabexg 4463 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
81 rabnc 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  =  (/)
8281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  i^i  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } )  =  (/) )
8350a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  -> 
( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8450a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 26528 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  u.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 } ) (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8676, 85syl5eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  -> Σ* x  e.  A
( # `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
8786adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) ) )
88 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )
8980adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  e.  _V )
90 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
91 dfrab3 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )
92 hasheq0 12152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
9493abbii 2561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { x  |  x  =  (/) }
95 df-sn 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  =  { x  |  x  =  (/) }
9694, 95eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  |  ( # `  x
)  =  0 }  =  { (/) }
9796ineq2i 3570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { x  |  ( # `  x
)  =  0 } )  =  ( A  i^i  { (/) } )
9891, 97eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  =  ( A  i^i  { (/) } )
99 snfi 7411 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
100 inss2 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
101 ssfi 7554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { (/)
} )  C_  { (/) } )  ->  ( A  i^i  { (/) } )  e. 
Fin )
10299, 100, 101mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { (/) } )  e.  Fin
10398, 102eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  e.  Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
105 difinf 7603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  e.  Fin )
10690, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 } )  e.  Fin )
107 notrab 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 } )  =  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }
108107eleq1i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 } )  e. 
Fin 
<->  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  e.  Fin )
109106, 108sylnib 304 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  e.  Fin )
11050a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  _V )
112 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )
113 rabid 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `
 x )  =  0 }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
114112, 113sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  ( x  e.  A  /\  -.  ( # `
 x )  =  0 ) )
115114simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  -.  ( # `
 x )  =  0 )
11693biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
117116necon3bi 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  x
)  =  0  ->  x  =/=  (/) )
118115, 117syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  x  =/=  (/) )
119 hashge1 12173 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  x  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  x
) )
120111, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 } )  ->  1  <_  (
# `  x )
)
121 1re 9406 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
122121rexri 9457 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
123122a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1  e.  RR* )
124 0lt1 9883 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  0  <  1
)
12688, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125esumpinfsum 26548 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  = +oo )
127126oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +eΣ* x  e.  { x  e.  A  |  -.  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
) )  =  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
) +e +oo ) )
128 iccssxr 11399 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
12979adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  e.  _V )
13050a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 } )  ->  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131130ralrimiva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  {
x  e.  A  | 
( # `  x )  =  0 }  ( # `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13277esumcl 26508 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  e.  _V  /\  A. x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
133129, 131, 132syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
134128, 133sseldi 3375 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  e.  RR* )
135 xrge0neqmnf 26174 . . . . . . 7  |-  (Σ* x  e. 
{ x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x
)  =  0 }  ( # `  x
)  =/= -oo )
136133, 135syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )
137 xaddpnf1 11217 . . . . . 6  |-  ( (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `  x )  =  0 }  ( # `  x
)  e.  RR*  /\ Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x )  =/= -oo )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
138134, 136, 137syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (Σ* x  e.  { x  e.  A  |  ( # `
 x )  =  0 }  ( # `  x ) +e +oo )  = +oo )
13987, 127, 1383eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  -> Σ* x  e.  A (
# `  x )  = +oo )
14066, 139eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
141140adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `
 U. A )  = Σ* x  e.  A (
# `  x )
)
14259, 141pm2.61dan 789 1  |-  ( ( A  e.  V  /\ Disj  x  e.  A  x )  ->  ( # `  U. A )  = Σ* x  e.  A ( # `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   {csn 3898   U.cuni 4112  Disj wdisj 4283   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   NN0cn0 10600   +ecxad 11108   [,)cico 11323   [,]cicc 11324   #chash 12124   sum_csu 13184  Σ*cesum 26505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-ordt 14460  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-ps 15391  df-tsr 15392  df-mnd 15436  df-plusf 15437  df-mhm 15485  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-subrg 16885  df-abv 16924  df-lmod 16972  df-scaf 16973  df-sra 17275  df-rgmod 17276  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-tmd 19665  df-tgp 19666  df-tsms 19719  df-trg 19756  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-nrg 20200  df-nlm 20201  df-ii 20475  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-esum 26506
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