MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheni Structured version   Unicode version

Theorem hasheni 12466
Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hasheni  |-  ( A 
~~  B  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) )

Proof of Theorem hasheni
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  ~~  B )
2 enfii 7771 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
32ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
4 hashen 12465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
53, 4sylancom 665 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
61, 5mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
7 relen 7558 . . . . . 6  |-  Rel  ~~
87brrelexi 4863 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  A  e.  _V )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  A  e.  _V )
10 enfi 7770 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
1110notbid 292 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  B  e.  Fin )
)
1211biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
13 hashinf 12455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
149, 12, 13syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
157brrelex2i 4864 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
16 hashinf 12455 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1715, 16sylan 469 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1814, 17eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
196, 18pm2.61dan 792 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394   ` cfv 5568    ~~ cen 7550   Fincfn 7553   +oocpnf 9654   #chash 12450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-hash 12451
This theorem is referenced by:  hashen1  12485  hashfn  12489  hashfz  12532  hashf1lem2  12552  ramub2  14739  ram0  14747  odhash  16916  odhash2  16917  odngen  16919  lsmhash  17045  znhash  18893  znunithash  18899  cyggic  18907  birthdaylem2  23606  0sgmppw  23852  logfac2  23871  lgsquadlem1  24008  lgsquadlem2  24009  lgsquadlem3  24010  wlknwwlkneqs  25120  ishashinf  28043  eulerpart  28813  ballotlemro  28953  ballotlemfrc  28957  ballotlem8  28967  hashgcdeq  35502  rp-isfinite5  35589
  Copyright terms: Public domain W3C validator