MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheni Structured version   Unicode version

Theorem hasheni 12378
Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hasheni  |-  ( A 
~~  B  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) )

Proof of Theorem hasheni
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  ~~  B )
2 enfii 7729 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
32ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
4 hashen 12377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
53, 4sylancom 667 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
61, 5mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
7 relen 7513 . . . . . 6  |-  Rel  ~~
87brrelexi 5034 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  A  e.  _V )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  A  e.  _V )
10 enfi 7728 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
1110notbid 294 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  B  e.  Fin )
)
1211biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
13 hashinf 12367 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
149, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
157brrelex2i 5035 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
16 hashinf 12367 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1715, 16sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1814, 17eqtr4d 2506 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
196, 18pm2.61dan 789 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   class class class wbr 4442   ` cfv 5581    ~~ cen 7505   Fincfn 7508   +oocpnf 9616   #chash 12362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-hash 12363
This theorem is referenced by:  hashen1  12396  hashfn  12400  euhash1  12434  hashfz  12439  hashf1lem2  12460  ramub2  14382  ram0  14390  odhash  16385  odhash2  16386  odngen  16388  lsmhash  16514  znhash  18359  znunithash  18365  cyggic  18373  birthdaylem2  23005  0sgmppw  23196  logfac2  23215  lgsquadlem1  23352  lgsquadlem2  23353  lgsquadlem3  23354  wlknwwlkneqs  24380  ishashinf  27262  eulerpart  27949  ballotlemro  28089  ballotlemfrc  28093  ballotlem8  28103  hashgcdeq  30754
  Copyright terms: Public domain W3C validator