MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheni Structured version   Unicode version

Theorem hasheni 12118
Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hasheni  |-  ( A 
~~  B  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) )

Proof of Theorem hasheni
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  ~~  B )
2 enfii 7529 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
32ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
4 hashen 12117 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
53, 4sylancom 667 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
61, 5mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
7 relen 7314 . . . . . 6  |-  Rel  ~~
87brrelexi 4878 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  A  e.  _V )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  A  e.  _V )
10 enfi 7528 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
1110notbid 294 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  B  e.  Fin )
)
1211biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
13 hashinf 12107 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
149, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
157brrelex2i 4879 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
16 hashinf 12107 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1715, 16sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
1814, 17eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
196, 18pm2.61dan 789 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971   class class class wbr 4291   ` cfv 5417    ~~ cen 7306   Fincfn 7309   +oocpnf 9414   #chash 12102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-hash 12103
This theorem is referenced by:  hashfn  12137  euhash1  12171  hashfz  12187  hashf1lem2  12208  ramub2  14074  ram0  14082  odhash  16072  odhash2  16073  odngen  16075  lsmhash  16201  znhash  17990  znunithash  17996  cyggic  18004  birthdaylem2  22345  0sgmppw  22536  logfac2  22555  lgsquadlem1  22692  lgsquadlem2  22693  lgsquadlem3  22694  ishashinf  26084  eulerpart  26764  ballotlemro  26904  ballotlemfrc  26908  ballotlem8  26918  hashgcdeq  29564  wlknwwlkneqs  30346  hashen1  30735
  Copyright terms: Public domain W3C validator