MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Structured version   Unicode version

Theorem hashen 12102
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )

Proof of Theorem hashen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5679 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  =  ( # `  B
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) ) )
2 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
32hashginv 12091 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A
) )  =  (
card `  A )
)
42hashginv 12091 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  =  (
card `  B )
)
53, 4eqeqan12d 2448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
61, 5syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  ->  ( card `  A )  =  ( card `  B
) ) )
7 fveq2 5679 . . . 4  |-  ( (
card `  A )  =  ( card `  B
)  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) ) )
82hashgval 12090 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
92hashgval 12090 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
108, 9eqeqan12d 2448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  <-> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
117, 10syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) ) )
126, 11impbid 191 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
13 finnum 8106 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
14 finnum 8106 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  dom  card )
15 carden2 8145 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  A )  =  (
card `  B )  <->  A 
~~  B ) )
1613, 14, 15syl2an 474 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  <->  A  ~~  B ) )
1712, 16bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   dom cdm 4827    |` cres 4829   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   omcom 6465   reccrdg 6851    ~~ cen 7295   Fincfn 7298   cardccrd 8093   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273   #chash 12087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-hash 12088
This theorem is referenced by:  hasheni  12103  hasheqf1o  12104  hasheq0  12115  hashsng  12120  hashsdom  12128  hash1snb  12155  euhash1  12156  hash2pr  12162  pr2pwpr  12167  hashxplem  12179  hashmap  12181  hashpw  12182  hashbclem  12189  isercolllem2  13127  isercoll  13129  fz1f1o  13171  summolem3  13175  summolem2a  13176  mertenslem1  13327  hashdvds  13833  crt  13836  phimullem  13837  eulerth  13841  4sqlem11  13999  lagsubg2  15722  orbsta2  15812  dfod2  16045  sylow1lem2  16078  sylow2alem2  16097  sylow2a  16098  slwhash  16103  sylow2  16105  sylow3lem1  16106  cyggenod  16341  lt6abl  16351  gsumval3OLD  16362  gsumval3lem1  16363  gsumval3lem2  16364  gsumval3  16365  ablfac1c  16546  ablfac1eu  16548  ablfaclem3  16562  fta1blem  21525  vieta1  21663  basellem5  22307  isppw  22337  eupai  23411  derangen2  26910  subfacp1lem3  26918  subfacp1lem5  26920  erdsze2lem1  26939  erdsze2lem2  26940  prodmolem3  27293  prodmolem2a  27294  bpolylem  28038  eldioph2lem1  28943  frlmpwfi  29298  isnumbasgrplem3  29306  idomsubgmo  29408  hash3tr  30080  hashen1  30581
  Copyright terms: Public domain W3C validator