MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Structured version   Unicode version

Theorem hashen 12121
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )

Proof of Theorem hashen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5694 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  =  ( # `  B
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) ) )
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
32hashginv 12110 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A
) )  =  (
card `  A )
)
42hashginv 12110 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  =  (
card `  B )
)
53, 4eqeqan12d 2458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
61, 5syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  ->  ( card `  A )  =  ( card `  B
) ) )
7 fveq2 5694 . . . 4  |-  ( (
card `  A )  =  ( card `  B
)  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) ) )
82hashgval 12109 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
92hashgval 12109 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
108, 9eqeqan12d 2458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  <-> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
117, 10syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) ) )
126, 11impbid 191 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
13 finnum 8121 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
14 finnum 8121 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  dom  card )
15 carden2 8160 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  A )  =  (
card `  B )  <->  A 
~~  B ) )
1613, 14, 15syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  <->  A  ~~  B ) )
1712, 16bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   `'ccnv 4842   dom cdm 4843    |` cres 4845   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   omcom 6479   reccrdg 6868    ~~ cen 7310   Fincfn 7313   cardccrd 8108   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288   #chash 12106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-hash 12107
This theorem is referenced by:  hasheni  12122  hasheqf1o  12123  hasheq0  12134  hashsng  12139  hashsdom  12147  hash1snb  12174  euhash1  12175  hash2pr  12181  pr2pwpr  12186  hashxplem  12198  hashmap  12200  hashpw  12201  hashbclem  12208  isercolllem2  13146  isercoll  13148  fz1f1o  13190  summolem3  13194  summolem2a  13195  mertenslem1  13347  hashdvds  13853  crt  13856  phimullem  13857  eulerth  13861  4sqlem11  14019  lagsubg2  15745  orbsta2  15835  dfod2  16068  sylow1lem2  16101  sylow2alem2  16120  sylow2a  16121  slwhash  16126  sylow2  16128  sylow3lem1  16129  cyggenod  16364  lt6abl  16374  gsumval3OLD  16385  gsumval3lem1  16386  gsumval3lem2  16387  gsumval3  16388  ablfac1c  16575  ablfac1eu  16577  ablfaclem3  16591  fta1blem  21643  vieta1  21781  basellem5  22425  isppw  22455  eupai  23591  derangen2  27065  subfacp1lem3  27073  subfacp1lem5  27075  erdsze2lem1  27094  erdsze2lem2  27095  prodmolem3  27449  prodmolem2a  27450  bpolylem  28194  eldioph2lem1  29101  frlmpwfi  29456  isnumbasgrplem3  29464  idomsubgmo  29566  hash3tr  30237  hashen1  30740
  Copyright terms: Public domain W3C validator