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Theorem hashecclwwlkn1 24960
 Description: The size of every equivalence class of the equivalence relation over the set of closed walks (defined as words) with a fixed length which is a prime number is 1 or equals this length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w ClWWalksN
erclwwlkn.r cyclShift
Assertion
Ref Expression
hashecclwwlkn1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()

Proof of Theorem hashecclwwlkn1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erclwwlkn.w . . . . 5 ClWWalksN
2 erclwwlkn.r . . . . 5 cyclShift
31, 2eclclwwlkn1 24958 . . . 4 cyclShift
4 rabeq 3103 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN cyclShift ClWWalksN cyclShift
51, 4mp1i 12 . . . . . . . . 9 cyclShift ClWWalksN cyclShift
6 prmnn 14231 . . . . . . . . . . 11
76nnnn0d 10873 . . . . . . . . . 10
81eleq2i 2535 . . . . . . . . . . 11 ClWWalksN
98biimpi 194 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN
10 clwwlknscsh 24945 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN ClWWalksN cyclShift Word cyclShift
117, 9, 10syl2an 477 . . . . . . . . 9 ClWWalksN cyclShift Word cyclShift
125, 11eqtrd 2498 . . . . . . . 8 cyclShift Word cyclShift
1312eqeq2d 2471 . . . . . . 7 cyclShift Word cyclShift
14 clwwlknprop 24898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ClWWalksN Word
15 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word
16 elnnne0 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1817eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
20 hasheq0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word
2119, 20sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word
2221necon3bid 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word
2322biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word
2516, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
2625impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
27 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
3115, 26, 303jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word
3231ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
33323adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word Word
3414, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ClWWalksN Word
3534com12 31 . . . . . . . . . . . . 13 ClWWalksN Word
368, 35syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12 Word
376, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11 Word
3837imp 429 . . . . . . . . . 10 Word
39 scshwfzeqfzo 12805 . . . . . . . . . 10 Word Word cyclShift Word ..^ cyclShift
4038, 39syl 16 . . . . . . . . 9 Word cyclShift Word ..^ cyclShift
4140eqeq2d 2471 . . . . . . . 8 Word cyclShift Word ..^ cyclShift
42 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 cyclShift cyclShift
4342eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cyclShift cyclShift
4443cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
45 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 cyclShift cyclShift
46 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 cyclShift cyclShift
4745, 46syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cyclShift cyclShift
4847rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
4944, 48syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
5049cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5150cshwshash 14600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5352orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
54 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5554eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5654eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5755, 56orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
5953, 58mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word Word ..^ cyclShift
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word ..^ cyclShift
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ..^ cyclShift
62613ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ cyclShift
63 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
6564rexeqdv 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
6665rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
6766eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
68 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7067, 69imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
7163, 70imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
7271eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
74733ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
7562, 74mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ cyclShift
7614, 75syl 16 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN Word ..^ cyclShift
778, 76sylbi 195 . . . . . . . . 9 Word ..^ cyclShift
7877impcom 430 . . . . . . . 8 Word ..^ cyclShift
7941, 78sylbid 215 . . . . . . 7 Word cyclShift
8013, 79sylbid 215 . . . . . 6 cyclShift
8180rexlimdva 2949 . . . . 5 cyclShift
8281com12 31 . . . 4 cyclShift
833, 82syl6bi 228 . . 3
8483pm2.43i 47 . 2
8584impcom 430 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109  c0 3793  copab 4514  cfv 5594  (class class class)co 6296  cqs 7328  cc0 9509  c1 9510  cn 10556  cn0 10816  cfz 11697  ..^cfzo 11820  chash 12407  Word cword 12537   cyclShift ccsh 12770  cprime 14228   ClWWalksN cclwwlkn 24875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-word 12545  df-lsw 12546  df-concat 12547  df-substr 12549  df-reps 12552  df-csh 12771  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-phi 14307  df-clwwlk 24877  df-clwwlkn 24878 This theorem is referenced by: (None)
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