MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdvds Structured version   Unicode version

Theorem hashdvds 14389
Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashdvds.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
hashdvds.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
hashdvds.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
hashdvds.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashdvds  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, N
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem hashdvds
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 10891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
2 hashdvds.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
3 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  B  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5 hashdvds.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
64, 5zsubcld 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  e.  ZZ )
76zred 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  e.  RR )
8 hashdvds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
97, 8nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR )
109flcld 11916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ )
11 hashdvds.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
12 peano2zm 10903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1413, 5zsubcld 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  ZZ )
1514zred 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR )
1615, 8nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR )
1716flcld 11916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ )
1810, 17zsubcld 10970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  ZZ )
19 fzen 11706 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  (
( 1  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ... ( ( ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) ) )
201, 18, 17, 19syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ... ( ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) )  +  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) ) ) ) )
21 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2217zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  CC )
23 addcom 9755 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) )
2421, 22, 23sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) )
2510zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  CC )
2625, 22npcand 9926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  +  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )
2724, 26oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) ) ) ... (
( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) ) )
2820, 27breqtrd 4463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) ) )
29 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  e.  _V )
31 fzfi 12064 . . . . . 6  |-  ( A ... B )  e. 
Fin
32 rabexg 4587 . . . . . 6  |-  ( ( A ... B )  e.  Fin  ->  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  e.  _V )
3331, 32mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  (
x  -  C ) }  e.  _V )
34 elfzle1 11692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  z )
3534adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  z
)
36 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
37 zltp1le 10909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  z  <->  ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  z ) )
3817, 36, 37syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  < 
z  <->  ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  z
) )
3935, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  z
)
40 fllt 11924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N )  <  z  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  <  z ) )
4116, 36, 40syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <  z  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  z
) )
4239, 41mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
z )
4315adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  -  C )  e.  RR )
4436adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
4544zred 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  e.  RR )
468nnred 10546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
478nngt0d 10575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  N )
4846, 47jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
4948adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
50 ltdivmul2 10415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N )  <  z  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <  ( z  x.  N ) ) )
5143, 45, 49, 50syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <  z  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  < 
( z  x.  N
) ) )
5242, 51mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  -  C )  < 
( z  x.  N
) )
5313zred 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
5453adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
555zred 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5655adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
578nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5857adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5944, 58zmulcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  e.  ZZ )
6059zred 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  e.  RR )
6154, 56, 60ltsubaddd 10144 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  <  ( z  x.  N )  <->  ( A  -  1 )  < 
( ( z  x.  N )  +  C
) ) )
6252, 61mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( A  -  1 )  < 
( ( z  x.  N )  +  C
) )
6311adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
645adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
6559, 64zaddcld 10969 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  e.  ZZ )
66 zlem1lt 10911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( z  x.  N )  +  C
)  e.  ZZ )  ->  ( A  <_ 
( ( z  x.  N )  +  C
)  <->  ( A  - 
1 )  <  (
( z  x.  N
)  +  C ) ) )
6763, 65, 66syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( A  <_  ( ( z  x.  N )  +  C
)  <->  ( A  - 
1 )  <  (
( z  x.  N
)  +  C ) ) )
6862, 67mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  A  <_  ( ( z  x.  N
)  +  C ) )
69 elfzle2 11693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )
7069adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )
71 flge 11923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  (
( B  -  C
)  /  N )  <-> 
z  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) ) )
729, 36, 71syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  <_  ( ( B  -  C )  /  N
)  <->  z  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )
7370, 72mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  <_  ( ( B  -  C
)  /  N ) )
747adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( B  -  C )  e.  RR )
75 lemuldiv 10419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( B  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
z  x.  N )  <_  ( B  -  C )  <->  z  <_  ( ( B  -  C
)  /  N ) ) )
7645, 74, 49, 75syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  <_  ( B  -  C )  <->  z  <_  ( ( B  -  C
)  /  N ) ) )
7773, 76mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  <_  ( B  -  C )
)
784zred 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7978adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
80 leaddsub 10024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  x.  N
)  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  <_  B  <->  ( z  x.  N )  <_  ( B  -  C )
) )
8160, 56, 79, 80syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  <_  B  <->  ( z  x.  N )  <_  ( B  -  C )
) )
8277, 81mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  <_  B )
834adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
84 elfz 11681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  x.  N )  +  C
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  e.  ( A ... B )  <->  ( A  <_  ( ( z  x.  N )  +  C
)  /\  ( (
z  x.  N )  +  C )  <_  B ) ) )
8565, 63, 83, 84syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  e.  ( A ... B )  <->  ( A  <_  ( ( z  x.  N )  +  C
)  /\  ( (
z  x.  N )  +  C )  <_  B ) ) )
8668, 82, 85mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  e.  ( A ... B
) )
87 dvdsmul2 14090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( z  x.  N ) )
8844, 58, 87syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  N  ||  (
z  x.  N ) )
8959zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  e.  CC )
905zcnd 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9190adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  C  e.  CC )
9289, 91pncand 9923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  -  C )  =  ( z  x.  N
) )
9388, 92breqtrrd 4465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  N  ||  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  -  C ) )
94 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( z  x.  N )  +  C )  ->  (
x  -  C )  =  ( ( ( z  x.  N )  +  C )  -  C ) )
9594breq2d 4451 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( z  x.  N )  +  C )  ->  ( N  ||  ( x  -  C )  <->  N  ||  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  -  C ) ) )
9695elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  x.  N
)  +  C )  e.  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  <->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  e.  ( A ... B )  /\  N  ||  ( ( ( z  x.  N )  +  C )  -  C
) ) )
9786, 93, 96sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  e. 
{ x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  (
x  -  C ) } )
9897ex 432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  ->  ( ( z  x.  N )  +  C )  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } ) )
99 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  C )  =  ( y  -  C ) )
10099breq2d 4451 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( N  ||  ( x  -  C )  <->  N  ||  (
y  -  C ) ) )
101100elrab 3254 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  <->  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )
10253adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
103 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A ... B )  ->  y  e.  ZZ )
104103ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
105104zred 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  e.  RR )
10655adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  C  e.  RR )
107 elfzle1 11692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A ... B )  ->  A  <_  y )
108107ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  A  <_  y )
10911adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
110 zlem1lt 10911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  y  <->  ( A  -  1 )  <  y ) )
111109, 104, 110syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( A  <_  y  <->  ( A  -  1 )  < 
y ) )
112108, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( A  -  1 )  <  y )
113102, 105, 106, 112ltsub1dd 10160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( A  -  1 )  -  C )  <  ( y  -  C ) )
11415adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( A  -  1 )  -  C )  e.  RR )
1155adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
116104, 115zsubcld 10970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  e.  ZZ )
117116zred 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  e.  RR )
11848adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
119 ltdiv1 10402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR  /\  ( y  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  <  ( y  -  C )  <->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
( ( y  -  C )  /  N
) ) )
120114, 117, 118, 119syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  <  ( y  -  C )  <->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
( ( y  -  C )  /  N
) ) )
121113, 120mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <  ( ( y  -  C )  /  N ) )
12216adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  e.  RR )
123 simprr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  N  ||  ( y  -  C
) )
12457adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
1258nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
126125adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  N  =/=  0 )
127 dvdsval2 14073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  (
y  -  C )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  (
y  -  C )  <-> 
( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ ) )
128124, 126, 116, 127syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( N  ||  ( y  -  C )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  e.  ZZ ) )
129123, 128mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  e.  ZZ )
130 fllt 11924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
( ( y  -  C )  /  N
)  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
131122, 129, 130syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  <  ( (
y  -  C )  /  N )  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
132121, 131mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  < 
( ( y  -  C )  /  N
) )
13317adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )
134 zltp1le 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  < 
( ( y  -  C )  /  N
)  <->  ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
135133, 129, 134syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  <  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
136132, 135mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  ( ( y  -  C )  /  N ) )
13778adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  B  e.  RR )
138 elfzle2 11693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A ... B )  ->  y  <_  B )
139138ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  <_  B )
140105, 137, 106, 139lesub1dd 10164 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  <_  ( B  -  C ) )
1417adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( B  -  C )  e.  RR )
142 lediv1 10403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  -  C
)  e.  RR  /\  ( B  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
y  -  C )  <_  ( B  -  C )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
) ) )
143117, 141, 118, 142syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  <_  ( B  -  C )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
) ) )
144140, 143mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) )
1459adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( B  -  C
)  /  N )  e.  RR )
146 flge 11923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
)  <->  ( ( y  -  C )  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )
147145, 129, 146syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( y  -  C )  /  N
)  <_  ( ( B  -  C )  /  N )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  <_ 
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) ) )
148144, 147mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )
14917peano2zd 10968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 )  e.  ZZ )
150149adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )
15110adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )
152 elfz 11681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( y  -  C )  /  N )  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  (
( y  -  C
)  /  N )  /\  ( ( y  -  C )  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) ) )
153129, 150, 151, 152syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  <->  ( (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  ( ( y  -  C )  /  N )  /\  (
( y  -  C
)  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) ) ) )
154136, 148, 153mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) ) )
155154ex 432 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) )  ->  ( (
y  -  C )  /  N )  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) ) )
156101, 155syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) }  ->  ( ( y  -  C )  /  N )  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) ) )
157101anbi2i 692 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  /\  y  e.  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )  <->  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )
158116zcnd 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  e.  CC )
159158adantrl 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( y  -  C
)  e.  CC )
16044zcnd 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  e.  CC )
161160adantrr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
z  e.  CC )
1628nncnd 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
163162adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
164125adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  ->  N  =/=  0 )
165159, 161, 163, 164divmul3d 10350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( ( ( y  -  C )  /  N )  =  z  <-> 
( y  -  C
)  =  ( z  x.  N ) ) )
166104zcnd 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  e.  CC )
167166adantrl 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
y  e.  CC )
16890adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  ->  C  e.  CC )
16989adantrr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( z  x.  N
)  e.  CC )
170167, 168, 169subadd2d 9941 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( ( y  -  C )  =  ( z  x.  N )  <-> 
( ( z  x.  N )  +  C
)  =  y ) )
171165, 170bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( ( ( y  -  C )  /  N )  =  z  <-> 
( ( z  x.  N )  +  C
)  =  y ) )
172 eqcom 2463 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  =  z )
173 eqcom 2463 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( z  x.  N )  +  C )  <->  ( (
z  x.  N )  +  C )  =  y )
174171, 172, 1733bitr4g 288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( z  =  ( ( y  -  C
)  /  N )  <-> 
y  =  ( ( z  x.  N )  +  C ) ) )
175157, 174sylan2b 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  y  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } ) )  ->  (
z  =  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  y  =  ( ( z  x.  N )  +  C
) ) )
176175ex 432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  y  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  ->  ( z  =  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  y  =  ( ( z  x.  N )  +  C
) ) ) )
17730, 33, 98, 156, 176en3d 7545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) 
~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )
178 entr 7560 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  /\  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) 
~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )  -> 
( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )
17928, 177, 178syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )
180 fzfi 12064 . . . 4  |-  ( 1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  e.  Fin
181 ssrab2 3571 . . . . 5  |-  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  C_  ( A ... B )
182 ssfi 7733 . . . . 5  |-  ( ( ( A ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } 
C_  ( A ... B ) )  ->  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) }  e.  Fin )
18331, 181, 182mp2an 670 . . . 4  |-  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  e.  Fin
184 hashen 12402 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  <->  ( 1 ... ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } ) )
185180, 183, 184mp2an 670 . . 3  |-  ( (
# `  ( 1 ... ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  (
# `  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )  <->  ( 1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )
186179, 185sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } ) )
187 eluzle 11094 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  ( A  -  1 )  <_  B )
1882, 187syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <_  B )
189 zre 10864 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
190 zre 10864 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
191 zre 10864 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  RR )
192 lesub1 10042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  1 )  <_  B  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <_ 
( B  -  C
) ) )
193189, 190, 191, 192syl3an 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  1 )  <_  B  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <_ 
( B  -  C
) ) )
19413, 4, 5, 193syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  <_  B  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <_  ( B  -  C ) ) )
195188, 194mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )
196 lediv1 10403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR  /\  ( B  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  <_  ( B  -  C )  <->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
) ) )
19715, 7, 48, 196syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  <_  ( B  -  C )  <->  ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )
198195, 197mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) )
199 flword2 11930 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -> 
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
20016, 9, 198, 199syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
201 uznn0sub 11113 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  NN0 )
202 hashfz1 12401 . . 3  |-  ( ( ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
203200, 201, 2023syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
204186, 203eqtr3d 2497 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   {crab 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ~~ cen 7506   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   |_cfl 11908   #chash 12387    || cdvds 14070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fl 11910  df-hash 12388  df-dvds 14071
This theorem is referenced by:  phiprmpw  14390  prmreclem4  14521  ppiub  23677  hashnzfz  31466
  Copyright terms: Public domain W3C validator