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Theorem hashdom 12409
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12045 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) )  e.  Fin
2 ficardom 8338 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  e. 
Fin  ->  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  e.  om )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) )  e.  om
4 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
54hashgval 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
74hashgval 12370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  =  ( # `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) )
9 hashcl 12390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
11 hashcl 12390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )
14 nn0sub2 10919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  A ) )  e.  NN0 )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( # `  B )  -  ( # `  A
) )  e.  NN0 )
16 hashfz1 12381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )
188, 17syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
196, 18oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) ) )
209nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e.  CC )
2111nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  CC )
22 pncan3 9824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  CC  /\  ( # `  B )  e.  CC )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  =  ( # `  B
) )
2320, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  =  ( # `  B
) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( # `  A )  +  ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) )  =  ( # `  B ) )
2519, 24eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) ) )  =  ( # `  B
) )
26 ficardom 8338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( card `  A )  e. 
om )
284hashgadd 12407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )  e.  om )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) ) ) )
2927, 3, 28sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  +  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) ) )
304hashgval 12370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
3225, 29, 313eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )
3332fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) ) )
344hashgf1o 12044 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
35 nnacl 7257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  e.  om )
3627, 3, 35sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  e. 
om )
37 f1ocnvfv1 6168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  e.  om )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )
3834, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )
39 ficardom 8338 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( card `  B )  e. 
om )
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( card `  B )  e. 
om )
41 f1ocnvfv1 6168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( card `  B
)  e.  om )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )  =  ( card `  B
) )
4234, 40, 41sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )  =  ( card `  B
) )
4333, 38, 423eqtr3d 2516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  =  ( card `  B
) )
44 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( card `  A )  +o  y )  =  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )
4544eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
)  <->  ( ( card `  A )  +o  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )  =  (
card `  B )
) )
4645rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  e.  om  /\  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  =  ( card `  B ) )  ->  E. y  e.  om  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) )
473, 43, 46sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  E. y  e.  om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B ) )
4847ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  ->  E. y  e.  om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B ) ) )
49 cardnn 8340 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( card `  y )  =  y )
5049adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( card `  y
)  =  y )
5150oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( card `  A )  +o  ( card `  y ) )  =  ( ( card `  A )  +o  y
) )
5251eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) )  =  (
card `  B )  <->  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) ) )
53 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) )  =  ( card `  B
)  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )
54 nnfi 7707 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  Fin )
55 ficardom 8338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( card `  y )  e. 
om )
564hashgadd 12407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  y )  e.  om )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  (
( card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) ) ) )
5726, 55, 56syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  +  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y
) ) ) )
584hashgval 12370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
595, 58oveqan12d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  y
) ) )
6057, 59eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  y )
) )
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  y )
) )
6230ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  =  (
# `  B )
)
6361, 62eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  <->  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) )  =  (
# `  B )
) )
64 hashcl 12390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6564nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  0  <_  ( # `  y
) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  0  <_  ( # `  y
) )
679nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
6864nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e.  RR )
69 addge01 10058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  y )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( # `
 y )  <->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) ) )
7067, 68, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( 0  <_  ( # `
 y )  <->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) ) )
7166, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) )
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) )
73 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
)  +  ( # `  y ) )  =  ( # `  B
)  ->  ( ( # `
 A )  <_ 
( ( # `  A
)  +  ( # `  y ) )  <->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7472, 73syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( (
# `  A )  +  ( # `  y
) )  =  (
# `  B )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7563, 74sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
7654, 75sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
7753, 76syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) )  =  (
card `  B )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7852, 77sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( (
card `  A )  +o  y )  =  (
card `  B )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7978rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. y  e. 
om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
8048, 79impbid 191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  E. y  e.  om  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) ) )
81 nnawordex 7283 . . . . 5  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  B )  e.  om )  ->  (
( card `  A )  C_  ( card `  B
)  <->  E. y  e.  om  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) ) )
8226, 39, 81syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  C_  ( card `  B )  <->  E. y  e.  om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B ) ) )
83 finnum 8325 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
84 finnum 8325 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  dom  card )
85 carddom2 8354 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  A )  C_  ( card `  B )  <->  A  ~<_  B ) )
8683, 84, 85syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  C_  ( card `  B )  <->  A  ~<_  B ) )
8780, 82, 863bitr2d 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
8887adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  <_  ( # `
 B )  <->  A  ~<_  B ) )
89 hashxrcl 12391 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
9089ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
91 pnfge 11335 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  RR*  ->  ( # `  A
)  <_ +oo )
9290, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 A )  <_ +oo )
93 hashinf 12372 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
9493adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 B )  = +oo )
9592, 94breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )
96 isinffi 8369 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f : A -1-1-> B )
9796ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E. f  f : A -1-1-> B )
9897adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
99 brdomg 7523 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
10099ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
10198, 100mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  A  ~<_  B )
10295, 1012thd 240 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  (
( # `  A )  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
10388, 102pm2.61dan 789 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678   reccrdg 7072    +o coa 7124    ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513   cardccrd 8312   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    <_ cle 9625    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ...cfz 11668   #chash 12367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12368
This theorem is referenced by:  hashdomi  12410  hashsdom  12411  hashun2  12413  hashss  12433  hashsslei  12443  hashfun  12455  hashf1  12466  hashge3el3dif  12484  isercoll  13446  phicl2  14150  phibnd  14153  prmreclem2  14287  prmreclem3  14288  4sqlem11  14325  vdwlem11  14361  ramub2  14384  0ram  14390  ram0  14392  sylow1lem4  16414  pgpssslw  16427  fislw  16438  znfld  18363  znidomb  18364  fta1blem  22301  birthdaylem3  23008  basellem4  23082  ppiwordi  23161  musum  23192  ppiub  23204  chpub  23220  lgsqrlem4  23344  umgraex  23996  sizeusglecusg  24159  konigsberg  24660  derangenlem  28252  subfaclefac  28257  erdsze2lem1  28284  snmlff  28411  idomsubgmo  30760
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