Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashclwwlkn Structured version   Unicode version

Theorem hashclwwlkn 24962
 Description: The size of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length which is a prime number is the product of the number of equivalence classes for over the set of closed walks and the fixed length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w ClWWalksN
erclwwlkn.r cyclShift
Assertion
Ref Expression
hashclwwlkn USGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem hashclwwlkn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3
2 usgrav 24464 . . . 4 USGrph
32simprd 463 . . 3 USGrph
4 prmnn 14231 . . . 4
54nnnn0d 10873 . . 3
6 erclwwlkn.w . . . 4 ClWWalksN
7 erclwwlkn.r . . . 4 cyclShift
86, 7hashclwwlkn0 24956 . . 3
91, 3, 5, 8syl3an 1270 . 2 USGrph
106, 7usghashecclwwlk 24961 . . . . 5 USGrph
11103adant1 1014 . . . 4 USGrph
1211imp 429 . . 3 USGrph
1312sumeq2dv 13536 . 2 USGrph
146, 7qerclwwlknfi 24955 . . . 4
151, 3, 5, 14syl3an 1270 . . 3 USGrph
164nncnd 10572 . . . 4
17163ad2ant3 1019 . . 3 USGrph
18 fsumconst 13616 . . 3
1915, 17, 18syl2anc 661 . 2 USGrph
209, 13, 193eqtrd 2502 1 USGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wrex 2808  cvv 3109   class class class wbr 4456  copab 4514  cfv 5594  (class class class)co 6296  cqs 7328  cfn 7535  cc 9507  cc0 9509   cmul 9514  cn0 10816  cfz 11697  chash 12407   cyclShift ccsh 12770  csu 13519  cprime 14228   USGrph cusg 24456   ClWWalksN cclwwlkn 24875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-word 12545  df-lsw 12546  df-concat 12547  df-substr 12549  df-reps 12552  df-csh 12771  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-phi 14307  df-usgra 24459  df-clwwlk 24877  df-clwwlkn 24878 This theorem is referenced by:  clwwlkndivn  24963
 Copyright terms: Public domain W3C validator