MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashclb Structured version   Unicode version

Theorem hashclb 12479
Description: Reverse closure of the  # function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashclb  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
)

Proof of Theorem hashclb
StepHypRef Expression
1 hashcl 12477 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
2 nn0re 10847 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
3 pnfnre 9667 . . . . . . 7  |- +oo  e/  RR
43neli 2741 . . . . . 6  |-  -. +oo  e.  RR
5 hashinf 12459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
65eleq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
74, 6mtbiri 303 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  e.  RR )
87ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( # `  A
)  e.  RR ) )
98con4d 107 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  RR  ->  A  e.  Fin ) )
102, 9syl5 32 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  NN0  ->  A  e. 
Fin ) )
111, 10impbid2 206 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   ` cfv 5571   Fincfn 7556   RRcr 9523   +oocpnf 9657   NN0cn0 10838   #chash 12454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-hash 12455
This theorem is referenced by:  hashvnfin  12480  hashnfinnn0  12481  brfi1indlem  12582  wrdnfi  12629  ramub1  14757  pgpfi1  16941  iscygodd  17217  prmcyg  17222  lt6abl  17223  ablfacrplem  17438  ablfacrp  17439  ablfacrp2  17440  znfi  18898  dchrfi  23913  dchrsum2  23926  cusgrasize2inds  24906  esumcst  28523  frlmpwfi  35423  idomsubgmo  35532  isfusgracl  38068  usgfis  38088  usgfisALT  38092  usgrafiedgALT  38093
  Copyright terms: Public domain W3C validator