MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcard Structured version   Unicode version

Theorem hashcard 12409
Description: The size function of the cardinality function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashcard  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( card `  A
) )  =  (
# `  A )
)

Proof of Theorem hashcard
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardidm 8343 . . 3  |-  ( card `  ( card `  A
) )  =  (
card `  A )
21fveq2i 5859 . 2  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( card `  A
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )
3 ficardom 8345 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
4 ssid 3508 . . . 4  |-  ( card `  A )  C_  ( card `  A )
5 ssnnfi 7741 . . . 4  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  A )  C_  ( card `  A
) )  ->  ( card `  A )  e. 
Fin )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
Fin )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
87hashgval 12390 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  Fin  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( card `  A ) ) )  =  ( # `  ( card `  A
) ) )
96, 8syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( card `  A
) ) )  =  ( # `  ( card `  A ) ) )
107hashgval 12390 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
112, 9, 103eqtr3a 2508 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( card `  A
) )  =  (
# `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461    |-> cmpt 4495    |` cres 4991   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   omcom 6685   reccrdg 7077   Fincfn 7518   cardccrd 8319   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   #chash 12387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-hash 12388
This theorem is referenced by:  ackbijnn  13622  ishashinf  27584
  Copyright terms: Public domain W3C validator