MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbnd Structured version   Unicode version

Theorem hashbnd 12210
Description: If  A has size bounded by an integer  B, then  A is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashbnd  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_  B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem hashbnd
StepHypRef Expression
1 nn0re 10689 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
2 ltpnf 11203 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
3 rexr 9530 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 pnfxr 11193 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
5 xrltnle 9544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B  < +oo  <->  -. +oo  <_  B
) )
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  < +oo  <->  -. +oo  <_  B
) )
72, 6mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  -. +oo 
<_  B )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  -. +oo  <_  B )
9 hashinf 12209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
109breq1d 4400 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  <_  B  <-> +oo 
<_  B ) )
1110notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  ( # `
 A )  <_  B 
<->  -. +oo  <_  B
) )
128, 11syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  <_  B )
)
1312expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  A  e.  V )  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  -.  ( # `  A
)  <_  B )
)
1413ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  -.  ( # `  A
)  <_  B )
)
1514con4d 105 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  A
)  <_  B  ->  A  e.  Fin ) )
16153impia 1185 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_  B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4390   ` cfv 5516   Fincfn 7410   RRcr 9382   +oocpnf 9516   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520   NN0cn0 10680   #chash 12204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-hash 12205
This theorem is referenced by:  fta1glem2  21754  fta1blem  21756  lgsqrlem4  22799  fiusgraedgfi  23455  idomsubgmo  29701  pgrple2abel  30908  0rngnnzr  30916
  Copyright terms: Public domain W3C validator