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Theorem hashbclem 11656
Description: Lemma for hashbc 11657: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashbc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashbc.2  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashbc.3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
hashbc.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashbclem  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Distinct variable groups:    x, j,
z, A    j, K, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( z, j)    K( z)

Proof of Theorem hashbclem
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashbc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
2 hashbc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
3 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  K ) )
4 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  K ) )
54rabbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)
65fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
73, 6eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  K
)  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) ) )
87rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  K } ) ) )
91, 2, 8sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
10 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
11 sspwb 4373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { z } )  <->  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } ) )
1210, 11mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } )
1312sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
15 hashbc.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
16 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
1716ssneld 3310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( -.  z  e.  A  ->  -.  z  e.  x ) )
1815, 17mpan9 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  -.  z  e.  x )
1914, 18jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
)
20 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( A  u.  { z } ) )
21 uncom 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  A
)
2220, 21syl6sseq 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( { z }  u.  A ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  ( {
z }  u.  A
) )
24 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  -.  z  e.  x
)
25 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  x )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  i^i  {
z } )  =  (/) )
27 disjssun 3645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2923, 28mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  A )
30 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
3130elpw 3765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
3229, 31sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  e.  ~P A
)
3332adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x
) )  ->  x  e.  ~P A )
3419, 33impbida 806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A 
<->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
) )
3534anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
36 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
3735, 36syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
3837abbidv 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  =  { x  |  ( x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) } )
39 df-rab 2675 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  K }  =  {
x  |  ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x )  =  K ) }
40 df-rab 2675 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  =  {
x  |  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) }
4138, 39, 403eqtr4g 2461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
4241fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
439, 42eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
44 peano2zm 10276 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
451, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
46 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) ) )
47 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) ) )
4847rabbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
4948fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
5046, 49eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) ) )
5150rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) ) )
5245, 2, 51sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
53 hashbc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
54 pwfi 7360 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
5553, 54sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  Fin )
56 rabexg 4313 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
5755, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
58 snfi 7146 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
59 unfi 7333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
6053, 58, 59sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
61 pwfi 7360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  { z } )  e.  Fin  <->  ~P ( A  u.  { z } )  e.  Fin )
6260, 61sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
63 ssrab2 3388 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
64 ssfi 7288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
6562, 63, 64sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
66 elex 2924 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  _V )
6765, 66syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  _V )
68 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
6968eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( K  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) ) )
7069elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  <->  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )
71 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~P A  ->  u  C_  A )
7271ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  C_  A )
73 unss1 3476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  A  ->  (
u  u.  { z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
75 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
76 snex 4365 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
7775, 76unex 4666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  e.  _V
7877elpw 3765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  <->  ( u  u.  { z } ) 
C_  ( A  u.  { z } ) )
7974, 78sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
~P ( A  u.  { z } ) )
8053adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  A  e.  Fin )
81 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  u  C_  A )  ->  u  e.  Fin )
8280, 72, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
8358a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
8415adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  A
)
8572, 84ssneldd 3311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  u
)
86 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  u )
8785, 86sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  i^i  {
z } )  =  (/) )
88 hashun 11611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( u  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( u  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  u )  +  (
# `  { z } ) ) )
8982, 83, 87, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) ) )
90 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )
91 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 hashsng 11602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( # `
 { z } )  =  1 )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { z } )  =  1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  { z } )  =  1 )
9590, 94oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) )  =  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )
961adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
9796zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
98 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
99 npcan 9270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
10097, 98, 99sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
10189, 95, 1003eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K )
102 ssun2 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( u  u.  { z } )
10391snss 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  <->  { z }  C_  ( u  u.  { z } ) )
104102, 103mpbir 201 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( u  u.  {
z } )
105101, 104jctil 524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( z  e.  ( u  u.  { z } )  /\  ( # `
 ( u  u. 
{ z } ) )  =  K ) )
106 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  ( u  u.  { z } ) ) )
107 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  {
z } ) ) )
108107eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  =  K  <-> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) )
109106, 108anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( z  e.  ( u  u.  {
z } )  /\  ( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
110109elrab 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  <-> 
( ( u  u. 
{ z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  /\  ( # `  (
u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
11179, 105, 110sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
{ x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
112111ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  ->  (
u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
11370, 112syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  ->  ( u  u. 
{ z } )  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
114 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  v ) )
115 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  v
) )
116115eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
( # `  x )  =  K  <->  ( # `  v
)  =  K ) )
117114, 116anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  v  ->  (
( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
118117elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  <->  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
119 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  v  C_  ( A  u.  { z } ) )
120119ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( A  u.  {
z } ) )
121120, 21syl6sseq 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( { z }  u.  A ) )
122 ssundif 3671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  ( { z }  u.  A )  <-> 
( v  \  {
z } )  C_  A )
123121, 122sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  C_  A
)
124 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
_V
125 difexg 4311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  \  { z } )  e.  _V )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
\  { z } )  e.  _V
127126elpw 3765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  ~P A 
<->  ( v  \  {
z } )  C_  A )
128123, 127sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  ~P A )
12953adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  A  e.  Fin )
130 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( v  \  {
z } )  C_  A )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
131129, 123, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
132 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
v  \  { z } ) )  e. 
NN0 )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  NN0 )
134133nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  CC )
135 pncan 9267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
136134, 98, 135sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
137 undif1 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( v  u.  {
z } )
138 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
139138snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
140 ssequn2 3480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { z }  C_  v  <->  ( v  u.  { z } )  =  v )
141139, 140sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  u.  { z } )  =  v )
142137, 141syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  v )
143142fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( # `  v
) )
14458a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
145 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( v  \  { z } ) )
146 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  i^i  (
v  \  { z } ) )  =  (/)
147145, 146eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )
149 hashun 11611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  \  {
z } )  e. 
Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
150131, 144, 148, 149syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
15193oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  ( # `  { z } ) )  =  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  1 )
152150, 151syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 ) )
153 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 v )  =  K )
154143, 152, 1533eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( # `  ( v 
\  { z } ) )  +  1 )  =  K )
155154oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( K  -  1 ) )
156136, 155eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) )
157 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
158157eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( ( # `  x )  =  ( K  -  1 )  <-> 
( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
159158elrab 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  <-> 
( ( v  \  { z } )  e.  ~P A  /\  ( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
160128, 156, 159sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
161160ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) )  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
162118, 161syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
16370, 118anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  /\  v  e.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  <->  ( (
u  e.  ~P A  /\  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) )  /\  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) ) )
164 simp3rl 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
165164snssd 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
166 incom 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z }  i^i  u
)  =  ( u  i^i  { z } )
167873adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  i^i  { z } )  =  (/) )
168166, 167syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( {
z }  i^i  u
)  =  (/) )
169 uneqdifeq 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  v  /\  ( { z }  i^i  u )  =  (/) )  ->  (
( { z }  u.  u )  =  v  <->  ( v  \  { z } )  =  u ) )
170165, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( ( { z }  u.  u )  =  v  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u ) )
171170bicomd 193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( (
v  \  { z } )  =  u  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v ) )
172 eqcom 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u )
173 eqcom 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( u  u.  {
z } )  =  v )
174 uncom 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  u
)
175174eqeq1i 2411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  =  v  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
176173, 175bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
177171, 172, 1763bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) )
1781773expib 1156 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ~P A  /\  ( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
179163, 178syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  /\  v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
18057, 67, 113, 162, 179en3d 7103 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
181 ssrab2 3388 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  C_  ~P A
182 ssfi 7288 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
C_  ~P A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
18355, 181, 182sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
184 hashen 11586 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin  /\  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
185183, 65, 184syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
186180, 185mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18752, 186eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18843, 187oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
18958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z }  e.  Fin )
190 disjsn 3828 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
19115, 190sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
192 hashun 11611 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  { z } ) ) )
19353, 189, 191, 192syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  { z } ) ) )
19493oveq2i 6051 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  1 )
195193, 194syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
196195oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  +  1 )  _C  K ) )
197 hashcl 11594 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
19853, 197syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
199 bcpasc 11567 . . . 4  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
200198, 1, 199syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
201196, 200eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  _C  K )  +  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
202 pm2.1 407 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )
203202biantrur 493 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) )
204 andir 839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) )
205203, 204bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
206205a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  ( ( # `
 x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
207206rabbiia 2906 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
208 unrab 3572 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
209207, 208eqtr4i 2427 . . . 4  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  u.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
210209fveq2i 5690 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
211 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
212 ssfi 7288 . . . . 5  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
21362, 211, 212sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
214 inrab 3573 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
215 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  -> 
z  e.  x )
216 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  ->  -.  z  e.  x
)
217215, 216pm2.65i 167 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )
218217rgenw 2733 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) )
219 rabeq0 3609 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) )
220218, 219mpbir 201 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) }  =  (/)
221214, 220eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/)
222221a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  i^i  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  =  (/) )
223 hashun 11611 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
224213, 65, 222, 223syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
225210, 224syl5eq 2448 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
226188, 201, 2253eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZcz 10238    _C cbc 11548   #chash 11573
This theorem is referenced by:  hashbc  11657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574
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