Theorem hashbclem 12205

Description: Lemma for hashbc 12206: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashbc.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashbc.2	|- ( ph -> -. z e. A )
hashbc.3	|- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
hashbc.4	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashbclem	|- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   x, j, z, A   j, K, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( z, j)   K( z)

Proof of Theorem hashbclem

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashbc.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		hashbc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
3		oveq2 6099	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C K ) )
4		eqeq2 2452	. . . . . . . . 9 |- ( j = K -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = K ) )
5	4	rabbidv 2964	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } )
6	5	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
7	3, 6	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
8	7	rspcv 3069	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
9	1, 2, 8	sylc 60	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
10		ssun1 3519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ ( A u. { z } )
11		sspwb 4541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ ( A u. { z } ) <-> ~P A C_ ~P ( A u. { z } ) )
12	10, 11	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P A C_ ~P ( A u. { z } )
13	12	sseli 3352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
15		hashbc.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. A )
16		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
17	16	ssneld 3358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> ( -. z e. A -> -. z e. x ) )
18	15, 17	mpan9 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> -. z e. x )
19	14, 18	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) )
20		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
21		uncom 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A u. { z } ) = ( { z } u. A )
22	20, 21	syl6sseq 3402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
24		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
25		disjsn 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
27		disjssun 3736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
29	23, 28	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ A )
30		vex 2975	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
31	30	elpw 3866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
32	29, 31	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) -> x e. ~P A )
34	19, 33	impbida 828	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ~P A <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) )
35	34	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) ) )
36		anass 649	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
37	35, 36	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
38	37	abbidv 2557	. . . . . 6 |- ( ph -> { x | ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) } = { x | ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } )
39		df-rab 2724	. . . . . 6 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x | ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) }
40		df-rab 2724	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } = { x | ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
41	38, 39, 40	3eqtr4g 2500	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
42	41	fveq2d 5695	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
43	9, 42	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
44		peano2zm 10688	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
45	1, 44	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
46		oveq2 6099	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) )
47		eqeq2 2452	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = ( K - 1 ) ) )
48	47	rabbidv 2964	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - 1 ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
49	48	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
50	46, 49	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
51	50	rspcv 3069	. . . . 5 |- ( ( K - 1 ) e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
52	45, 2, 51	sylc 60	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
53		hashbc.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
54		pwfi 7606	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ~P A e. Fin )
56		rabexg 4442	. . . . . . 7 |- ( ~P A e. Fin -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
57	55, 56	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
58		snfi 7390	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
59		unfi 7579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
60	53, 58, 59	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
61		pwfi 7606	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. { z } ) e. Fin <-> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
62	60, 61	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
63		ssrab2 3437	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
64		ssfi 7533	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
65	62, 63, 64	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
66		elex 2981	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
67	65, 66	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
68		fveq2 5691	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( # ` x ) = ( # ` u ) )
69	68	eqeq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
70	69	elrab 3117	. . . . . . 7 |- ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
71		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~P A -> u C_ A )
72	71	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u C_ A )
73		unss1 3525	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ A -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
75		vex 2975	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
76		snex 4533	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
77	75, 76	unex 6378	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) e. _V
78	77	elpw 3866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
79	74, 78	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
80	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> A e. Fin )
81		ssfi 7533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ u C_ A ) -> u e. Fin )
82	80, 72, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. Fin )
83	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> { z } e. Fin )
84	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. A )
85	72, 84	ssneldd 3359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
86		disjsn 3936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. u )
87	85, 86	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
88		hashun 12145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( u i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
89	82, 83, 87, 88	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
90		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` u ) = ( K - 1 ) )
91		vex 2975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
92		hashsng 12136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( # ` { z } ) = 1 )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { z } ) = 1
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` { z } ) = 1 )
95	90, 94	oveq12d 6109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( K - 1 ) + 1 ) )
96	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
97	96	zcnd 10748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
98		ax-1cn 9340	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
99		npcan 9619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
100	97, 98, 99	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
101	89, 95, 100	3eqtrd 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K )
102		ssun2 3520	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( u u. { z } )
103	91	snss 3999	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( u u. { z } ) <-> { z } C_ ( u u. { z } ) )
104	102, 103	mpbir 209	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( u u. { z } )
105	101, 104	jctil 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
106		eleq2 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( z e. x <-> z e. ( u u. { z } ) ) )
107		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( u u. { z } ) ) )
108	107	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
109	106, 108	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
110	109	elrab 3117	. . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
111	79, 105, 110	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
112	111	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
113	70, 112	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
114		eleq2 2504	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( z e. x <-> z e. v ) )
115		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( # ` x ) = ( # ` v ) )
116	115	eqeq1d 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` v ) = K ) )
117	114, 116	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
118	117	elrab 3117	. . . . . . 7 |- ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
119		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
120	119	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
121	120, 21	syl6sseq 3402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( { z } u. A ) )
122		ssundif 3762	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ ( { z } u. A ) <-> ( v \ { z } ) C_ A )
123	121, 122	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
124		vex 2975	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
125		difexg 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. _V -> ( v \ { z } ) e. _V )
126	124, 125	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( v \ { z } ) e. _V
127	126	elpw 3866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v \ { z } ) e. ~P A <-> ( v \ { z } ) C_ A )
128	123, 127	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
129	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> A e. Fin )
130		ssfi 7533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ ( v \ { z } ) C_ A ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
131	129, 123, 130	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
132		hashcl 12126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v \ { z } ) e. Fin -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
134	133	nn0cnd 10638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC )
135		pncan 9616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
136	134, 98, 135	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
137		undif1 3754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = ( v u. { z } )
138		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
139	138	snssd 4018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
140		ssequn2 3529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { z } C_ v <-> ( v u. { z } ) = v )
141	139, 140	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v u. { z } ) = v )
142	137, 141	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = v )
143	142	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( # ` v ) )
144	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } e. Fin )
145		incom 3543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = ( { z } i^i ( v \ { z } ) )
146		disjdif 3751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { z } i^i ( v \ { z } ) ) = (/)
147	145, 146	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) )
149		hashun 12145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v \ { z } ) e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
150	131, 144, 148, 149	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
151	93	oveq2i 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 )
152	150, 151	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) )
153		simprrr 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` v ) = K )
154	143, 152, 153	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) = K )
155	154	oveq1d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
156	136, 155	eqtr3d 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) )
157		fveq2 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
158	157	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
159	158	elrab 3117	. . . . . . . . 9 |- ( ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( ( v \ { z } ) e. ~P A /\ ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
160	128, 156, 159	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
161	160	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
162	118, 161	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
163	70, 118	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) )
164		simp3rl 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
165	164	snssd 4018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
166		incom 3543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { z } i^i u ) = ( u i^i { z } )
167	87	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
168	166, 167	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
169		uneqdifeq 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ v /\ ( { z } i^i u ) = (/) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
170	165, 168, 169	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
171	170	bicomd 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) = u <-> ( { z } u. u ) = v ) )
172		eqcom 2445	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v \ { z } ) <-> ( v \ { z } ) = u )
173		eqcom 2445	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) = v )
174		uncom 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) = ( { z } u. u )
175	174	eqeq1i 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) = v <-> ( { z } u. u ) = v )
176	173, 175	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( { z } u. u ) = v )
177	171, 172, 176	3bitr4g 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) )
178	177	3expib 1190	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
179	163, 178	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
180	57, 67, 113, 162, 179	en3d 7346	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
181		ssrab2 3437	. . . . . . 7 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A
182		ssfi 7533	. . . . . . 7 |- ( ( ~P A e. Fin /\ { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
183	55, 181, 182	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
184		hashen 12118	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
185	183, 65, 184	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
186	180, 185	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
187	52, 186	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
188	43, 187	oveq12d 6109	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
189	58	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { z } e. Fin )
190		disjsn 3936	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
191	15, 190	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
192		hashun 12145	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( A i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
193	53, 189, 191, 192	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
194	93	oveq2i 6102	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 )
195	193, 194	syl6eq 2491	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
196	195	oveq1d 6106	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
197		hashcl 12126	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
198	53, 197	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
199		bcpasc 12097	. . . 4 |- ( ( ( # ` A ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
200	198, 1, 199	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
201	196, 200	eqtr4d 2478	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) )
202		pm2.1 417	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. x \/ z e. x )
203	202	biantrur 506	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) )
204		andir 863	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
205	203, 204	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
206	205	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
207	206	rabbiia 2961	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
208		unrab 3621	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
209	207, 208	eqtr4i 2466	. . . 4 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
210	209	fveq2i 5694	. . 3 |- ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
211		ssrab2 3437	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
212		ssfi 7533	. . . . 5 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
213	62, 211, 212	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
214		inrab 3622	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
215		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> z e. x )
216		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> -. z e. x )
217	215, 216	pm2.65i 173	. . . . . . . 8 |- -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
218	217	rgenw 2783	. . . . . . 7 |- A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
219		rabeq0 3659	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/) <-> A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
220	218, 219	mpbir 209	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/)
221	214, 220	eqtri 2463	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/)
222	221	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) )
223		hashun 12145	. . . 4 |- ( ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
224	213, 65, 222, 223	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
225	210, 224	syl5eq 2487	. 2 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
226	188, 201, 225	3eqtr4d 2485	1 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ~~ cen 7307   Fincfn 7310   CCcc 9280   1c1 9283   + caddc 9285   - cmin 9595   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   _C cbc 12078   #chash 12103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-seq 11807  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104

This theorem is referenced by:  hashbc  12206