Theorem hashbclem 12614

Description: Lemma for hashbc 12615: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashbc.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashbc.2	|- ( ph -> -. z e. A )
hashbc.3	|- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
hashbc.4	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashbclem	|- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   x, j, z, A   j, K, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( z, j)   K( z)

Proof of Theorem hashbclem

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashbc.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		hashbc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
3		oveq2 6311	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C K ) )
4		eqeq2 2438	. . . . . . . . 9 |- ( j = K -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = K ) )
5	4	rabbidv 3073	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } )
6	5	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
7	3, 6	eqeq12d 2445	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
8	7	rspcv 3179	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
9	1, 2, 8	sylc 63	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
10		ssun1 3630	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. { z } )
11		sspwb 4668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ ( A u. { z } ) <-> ~P A C_ ~P ( A u. { z } ) )
12	10, 11	mpbi 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P A C_ ~P ( A u. { z } )
13	12	sseli 3461	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
14	13	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
15		hashbc.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. z e. A )
16		elpwi 3989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
17	16	ssneld 3467	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> ( -. z e. A -> -. z e. x ) )
18	15, 17	mpan9 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> -. z e. x )
19	14, 18	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) )
20		elpwi 3989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
21		uncom 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A u. { z } ) = ( { z } u. A )
22	20, 21	syl6sseq 3511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
25		disjsn 4058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
26	24, 25	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
27		disjssun 3851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
29	23, 28	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ A )
30		vex 3085	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
31	30	elpw 3986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
32	29, 31	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
33	32	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) -> x e. ~P A )
34	19, 33	impbida 841	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ~P A <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) )
35	34	anbi1d 710	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) ) )
36		anass 654	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
37	35, 36	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
38	37	rabbidva2 3071	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
39	38	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
40	9, 39	eqtrd 2464	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
41		peano2zm 10982	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
42	1, 41	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
43		oveq2 6311	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) )
44		eqeq2 2438	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = ( K - 1 ) ) )
45	44	rabbidv 3073	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - 1 ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
46	45	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
47	43, 46	eqeq12d 2445	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
48	47	rspcv 3179	. . . . 5 |- ( ( K - 1 ) e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
49	42, 2, 48	sylc 63	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
50		hashbc.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
51		pwfi 7873	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
52	50, 51	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ph -> ~P A e. Fin )
53		rabexg 4572	. . . . . . 7 |- ( ~P A e. Fin -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
55		snfi 7655	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
56		unfi 7842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
57	50, 55, 56	sylancl 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
58		pwfi 7873	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. { z } ) e. Fin <-> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
59	57, 58	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
60		ssrab2 3547	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
61		ssfi 7796	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
62	59, 60, 61	sylancl 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
63		elex 3091	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
64	62, 63	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
65		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( # ` x ) = ( # ` u ) )
66	65	eqeq1d 2425	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
67	66	elrab 3230	. . . . . . 7 |- ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
68		elpwi 3989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~P A -> u C_ A )
69	68	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u C_ A )
70		unss1 3636	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ A -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
72		vex 3085	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
73		snex 4660	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
74	72, 73	unex 6601	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) e. _V
75	74	elpw 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
76	71, 75	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
77	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> A e. Fin )
78		ssfi 7796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ u C_ A ) -> u e. Fin )
79	77, 69, 78	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. Fin )
80	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> { z } e. Fin )
81	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. A )
82	69, 81	ssneldd 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
83		disjsn 4058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. u )
84	82, 83	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
85		hashun 12562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( u i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
86	79, 80, 84, 85	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
87		simprr 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` u ) = ( K - 1 ) )
88		vex 3085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
89		hashsng 12550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( # ` { z } ) = 1 )
90	88, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { z } ) = 1
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` { z } ) = 1 )
92	87, 91	oveq12d 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( K - 1 ) + 1 ) )
93	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
94	93	zcnd 11043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
95		ax-1cn 9599	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
96		npcan 9886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
97	94, 95, 96	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
98	86, 92, 97	3eqtrd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K )
99		ssun2 3631	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( u u. { z } )
100	88	snss 4122	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( u u. { z } ) <-> { z } C_ ( u u. { z } ) )
101	99, 100	mpbir 213	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( u u. { z } )
102	98, 101	jctil 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
103		eleq2 2496	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( z e. x <-> z e. ( u u. { z } ) ) )
104		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( u u. { z } ) ) )
105	104	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
106	103, 105	anbi12d 716	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
107	106	elrab 3230	. . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
108	76, 102, 107	sylanbrc 669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
109	108	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
110	67, 109	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
111		eleq2 2496	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( z e. x <-> z e. v ) )
112		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( # ` x ) = ( # ` v ) )
113	112	eqeq1d 2425	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` v ) = K ) )
114	111, 113	anbi12d 716	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
115	114	elrab 3230	. . . . . . 7 |- ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
116		elpwi 3989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
117	116	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
118	117, 21	syl6sseq 3511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( { z } u. A ) )
119		ssundif 3880	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ ( { z } u. A ) <-> ( v \ { z } ) C_ A )
120	118, 119	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
121		vex 3085	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
122		difexg 4570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. _V -> ( v \ { z } ) e. _V )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( v \ { z } ) e. _V
124	123	elpw 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v \ { z } ) e. ~P A <-> ( v \ { z } ) C_ A )
125	120, 124	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
126	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> A e. Fin )
127		ssfi 7796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ ( v \ { z } ) C_ A ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
128	126, 120, 127	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
129		hashcl 12539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v \ { z } ) e. Fin -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
131	130	nn0cnd 10929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC )
132		pncan 9883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
133	131, 95, 132	sylancl 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
134		undif1 3871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = ( v u. { z } )
135		simprrl 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
136	135	snssd 4143	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
137		ssequn2 3640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { z } C_ v <-> ( v u. { z } ) = v )
138	136, 137	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v u. { z } ) = v )
139	134, 138	syl5eq 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = v )
140	139	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( # ` v ) )
141	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } e. Fin )
142		incom 3656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = ( { z } i^i ( v \ { z } ) )
143		disjdif 3868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { z } i^i ( v \ { z } ) ) = (/)
144	142, 143	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) )
146		hashun 12562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v \ { z } ) e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
147	128, 141, 145, 146	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
148	90	oveq2i 6314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 )
149	147, 148	syl6eq 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) )
150		simprrr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` v ) = K )
151	140, 149, 150	3eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) = K )
152	151	oveq1d 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
153	133, 152	eqtr3d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) )
154		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
155	154	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
156	155	elrab 3230	. . . . . . . . 9 |- ( ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( ( v \ { z } ) e. ~P A /\ ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
157	125, 153, 156	sylanbrc 669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
158	157	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
159	115, 158	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
160	67, 115	anbi12i 702	. . . . . . 7 |- ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) )
161		simp3rl 1079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
162	161	snssd 4143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
163		incom 3656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { z } i^i u ) = ( u i^i { z } )
164	84	3adant3 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
165	163, 164	syl5eq 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
166		uneqdifeq 3885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ v /\ ( { z } i^i u ) = (/) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
167	162, 165, 166	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
168	167	bicomd 205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) = u <-> ( { z } u. u ) = v ) )
169		eqcom 2432	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v \ { z } ) <-> ( v \ { z } ) = u )
170		eqcom 2432	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) = v )
171		uncom 3611	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) = ( { z } u. u )
172	171	eqeq1i 2430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) = v <-> ( { z } u. u ) = v )
173	170, 172	bitri 253	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( { z } u. u ) = v )
174	168, 169, 173	3bitr4g 292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) )
175	174	3expib 1209	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
176	160, 175	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
177	54, 64, 110, 159, 176	en3d 7611	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
178		ssrab2 3547	. . . . . . 7 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A
179		ssfi 7796	. . . . . . 7 |- ( ( ~P A e. Fin /\ { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
180	52, 178, 179	sylancl 667	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
181		hashen 12531	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
182	180, 62, 181	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
183	177, 182	mpbird 236	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
184	49, 183	eqtrd 2464	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
185	40, 184	oveq12d 6321	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
186	55	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { z } e. Fin )
187		disjsn 4058	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
188	15, 187	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
189		hashun 12562	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( A i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
190	50, 186, 188, 189	syl3anc 1265	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
191	90	oveq2i 6314	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 )
192	190, 191	syl6eq 2480	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
193	192	oveq1d 6318	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
194		hashcl 12539	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
195	50, 194	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
196		bcpasc 12507	. . . 4 |- ( ( ( # ` A ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
197	195, 1, 196	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
198	193, 197	eqtr4d 2467	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) )
199		pm2.1 419	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. x \/ z e. x )
200	199	biantrur 509	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) )
201		andir 877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
202	200, 201	bitri 253	. . . . . . 7 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
203	202	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
204	203	rabbiia 3070	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
205		unrab 3745	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
206	204, 205	eqtr4i 2455	. . . 4 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
207	206	fveq2i 5882	. . 3 |- ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
208		ssrab2 3547	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
209		ssfi 7796	. . . . 5 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
210	59, 208, 209	sylancl 667	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
211		inrab 3746	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
212		simprl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> z e. x )
213		simpll 759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> -. z e. x )
214	212, 213	pm2.65i 177	. . . . . . . 8 |- -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
215	214	rgenw 2787	. . . . . . 7 |- A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
216		rabeq0 3785	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/) <-> A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
217	215, 216	mpbir 213	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/)
218	211, 217	eqtri 2452	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/)
219	218	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) )
220		hashun 12562	. . . 4 |- ( ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
221	210, 62, 219, 220	syl3anc 1265	. . 3 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
222	207, 221	syl5eq 2476	. 2 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
223	185, 198, 222	3eqtr4d 2474	1 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   A.wral 2776   {crab 2780   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   ~~ cen 7572   Fincfn 7575   CCcc 9539   1c1 9542   + caddc 9544   - cmin 9862   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   _C cbc 12488   #chash 12516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-seq 12215  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517

This theorem is referenced by:  hashbc  12615