Theorem hashbclem 12615

Description: Lemma for hashbc 12616: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashbc.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashbc.2	|- ( ph -> -. z e. A )
hashbc.3	|- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
hashbc.4	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashbclem	|- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   x, j, z, A   j, K, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( z, j)   K( z)

Proof of Theorem hashbclem

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashbc.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		hashbc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
3		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C K ) )
4		eqeq2 2462	. . . . . . . . 9 |- ( j = K -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = K ) )
5	4	rabbidv 3036	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } )
6	5	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
7	3, 6	eqeq12d 2466	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
8	7	rspcv 3146	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
10		ssun1 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. { z } )
11		sspwb 4649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ ( A u. { z } ) <-> ~P A C_ ~P ( A u. { z } ) )
12	10, 11	mpbi 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P A C_ ~P ( A u. { z } )
13	12	sseli 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
14	13	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
15		hashbc.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. z e. A )
16		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
17	16	ssneld 3434	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> ( -. z e. A -> -. z e. x ) )
18	15, 17	mpan9 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> -. z e. x )
19	14, 18	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) )
20		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
21		uncom 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A u. { z } ) = ( { z } u. A )
22	20, 21	syl6sseq 3478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
25		disjsn 4032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
26	24, 25	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
27		disjssun 3822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
29	23, 28	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ A )
30		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
31	30	elpw 3957	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
32	29, 31	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
33	32	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) -> x e. ~P A )
34	19, 33	impbida 843	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ~P A <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) )
35	34	anbi1d 711	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) ) )
36		anass 655	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
37	35, 36	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
38	37	rabbidva2 3034	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
39	38	fveq2d 5869	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
40	9, 39	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
41		peano2zm 10980	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
42	1, 41	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
43		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) )
44		eqeq2 2462	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = ( K - 1 ) ) )
45	44	rabbidv 3036	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - 1 ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
46	45	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
47	43, 46	eqeq12d 2466	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
48	47	rspcv 3146	. . . . 5 |- ( ( K - 1 ) e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
49	42, 2, 48	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
50		hashbc.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
51		pwfi 7869	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
52	50, 51	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ph -> ~P A e. Fin )
53		rabexg 4553	. . . . . . 7 |- ( ~P A e. Fin -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
55		snfi 7650	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
56		unfi 7838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
57	50, 55, 56	sylancl 668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
58		pwfi 7869	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. { z } ) e. Fin <-> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
59	57, 58	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
60		ssrab2 3514	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
61		ssfi 7792	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
62	59, 60, 61	sylancl 668	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
63		elex 3054	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
64	62, 63	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
65		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( # ` x ) = ( # ` u ) )
66	65	eqeq1d 2453	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
67	66	elrab 3196	. . . . . . 7 |- ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
68		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~P A -> u C_ A )
69	68	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u C_ A )
70		unss1 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ A -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
72		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
73		snex 4641	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
74	72, 73	unex 6589	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) e. _V
75	74	elpw 3957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
76	71, 75	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
77	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> A e. Fin )
78		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ u C_ A ) -> u e. Fin )
79	77, 69, 78	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. Fin )
80	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> { z } e. Fin )
81	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. A )
82	69, 81	ssneldd 3435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
83		disjsn 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. u )
84	82, 83	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
85		hashun 12561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( u i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
86	79, 80, 84, 85	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
87		simprr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` u ) = ( K - 1 ) )
88		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
89		hashsng 12549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( # ` { z } ) = 1 )
90	88, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { z } ) = 1
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` { z } ) = 1 )
92	87, 91	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( K - 1 ) + 1 ) )
93	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
94	93	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
95		ax-1cn 9597	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
96		npcan 9884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
97	94, 95, 96	sylancl 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
98	86, 92, 97	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K )
99		ssun2 3598	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( u u. { z } )
100	88	snss 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( u u. { z } ) <-> { z } C_ ( u u. { z } ) )
101	99, 100	mpbir 213	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( u u. { z } )
102	98, 101	jctil 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
103		eleq2 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( z e. x <-> z e. ( u u. { z } ) ) )
104		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( u u. { z } ) ) )
105	104	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
106	103, 105	anbi12d 717	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
107	106	elrab 3196	. . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
108	76, 102, 107	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
109	108	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
110	67, 109	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
111		eleq2 2518	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( z e. x <-> z e. v ) )
112		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( # ` x ) = ( # ` v ) )
113	112	eqeq1d 2453	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` v ) = K ) )
114	111, 113	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
115	114	elrab 3196	. . . . . . 7 |- ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
116		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
117	116	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
118	117, 21	syl6sseq 3478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( { z } u. A ) )
119		ssundif 3851	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ ( { z } u. A ) <-> ( v \ { z } ) C_ A )
120	118, 119	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
121		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
122		difexg 4551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. _V -> ( v \ { z } ) e. _V )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( v \ { z } ) e. _V
124	123	elpw 3957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v \ { z } ) e. ~P A <-> ( v \ { z } ) C_ A )
125	120, 124	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
126	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> A e. Fin )
127		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ ( v \ { z } ) C_ A ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
128	126, 120, 127	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
129		hashcl 12538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v \ { z } ) e. Fin -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
131	130	nn0cnd 10927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC )
132		pncan 9881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
133	131, 95, 132	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
134		undif1 3842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = ( v u. { z } )
135		simprrl 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
136	135	snssd 4117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
137		ssequn2 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { z } C_ v <-> ( v u. { z } ) = v )
138	136, 137	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v u. { z } ) = v )
139	134, 138	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = v )
140	139	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( # ` v ) )
141	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } e. Fin )
142		incom 3625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = ( { z } i^i ( v \ { z } ) )
143		disjdif 3839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { z } i^i ( v \ { z } ) ) = (/)
144	142, 143	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) )
146		hashun 12561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v \ { z } ) e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
147	128, 141, 145, 146	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
148	90	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 )
149	147, 148	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) )
150		simprrr 775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` v ) = K )
151	140, 149, 150	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) = K )
152	151	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
153	133, 152	eqtr3d 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) )
154		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
155	154	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
156	155	elrab 3196	. . . . . . . . 9 |- ( ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( ( v \ { z } ) e. ~P A /\ ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
157	125, 153, 156	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
158	157	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
159	115, 158	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
160	67, 115	anbi12i 703	. . . . . . 7 |- ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) )
161		simp3rl 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
162	161	snssd 4117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
163		incom 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { z } i^i u ) = ( u i^i { z } )
164	84	3adant3 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
165	163, 164	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
166		uneqdifeq 3856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ v /\ ( { z } i^i u ) = (/) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
167	162, 165, 166	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
168	167	bicomd 205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) = u <-> ( { z } u. u ) = v ) )
169		eqcom 2458	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v \ { z } ) <-> ( v \ { z } ) = u )
170		eqcom 2458	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) = v )
171		uncom 3578	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) = ( { z } u. u )
172	171	eqeq1i 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) = v <-> ( { z } u. u ) = v )
173	170, 172	bitri 253	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( { z } u. u ) = v )
174	168, 169, 173	3bitr4g 292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) )
175	174	3expib 1211	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
176	160, 175	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
177	54, 64, 110, 159, 176	en3d 7606	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
178		ssrab2 3514	. . . . . . 7 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A
179		ssfi 7792	. . . . . . 7 |- ( ( ~P A e. Fin /\ { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
180	52, 178, 179	sylancl 668	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
181		hashen 12530	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
182	180, 62, 181	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
183	177, 182	mpbird 236	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
184	49, 183	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
185	40, 184	oveq12d 6308	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
186	55	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { z } e. Fin )
187		disjsn 4032	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
188	15, 187	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
189		hashun 12561	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( A i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
190	50, 186, 188, 189	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
191	90	oveq2i 6301	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 )
192	190, 191	syl6eq 2501	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
193	192	oveq1d 6305	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
194		hashcl 12538	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
195	50, 194	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
196		bcpasc 12506	. . . 4 |- ( ( ( # ` A ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
197	195, 1, 196	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
198	193, 197	eqtr4d 2488	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) )
199		pm2.1 419	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. x \/ z e. x )
200	199	biantrur 509	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) )
201		andir 879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
202	200, 201	bitri 253	. . . . . . 7 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
203	202	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
204	203	rabbiia 3033	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
205		unrab 3714	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
206	204, 205	eqtr4i 2476	. . . 4 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
207	206	fveq2i 5868	. . 3 |- ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
208		ssrab2 3514	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
209		ssfi 7792	. . . . 5 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
210	59, 208, 209	sylancl 668	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
211		inrab 3715	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
212		simprl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> z e. x )
213		simpll 760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> -. z e. x )
214	212, 213	pm2.65i 177	. . . . . . . 8 |- -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
215	214	rgenw 2749	. . . . . . 7 |- A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
216		rabeq0 3754	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/) <-> A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
217	215, 216	mpbir 213	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/)
218	211, 217	eqtri 2473	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/)
219	218	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) )
220		hashun 12561	. . . 4 |- ( ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
221	210, 62, 219, 220	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
222	207, 221	syl5eq 2497	. 2 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
223	185, 198, 222	3eqtr4d 2495	1 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ~~ cen 7566   Fincfn 7569   CCcc 9537   1c1 9540   + caddc 9542   - cmin 9860   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   _C cbc 12487   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516

This theorem is referenced by:  hashbc  12616