Theorem hashbclem 12201

Description: Lemma for hashbc 12202: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashbc.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashbc.2	|- ( ph -> -. z e. A )
hashbc.3	|- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
hashbc.4	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashbclem	|- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   x, j, z, A   j, K, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( z, j)   K( z)

Proof of Theorem hashbclem

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashbc.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		hashbc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
3		oveq2 6098	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C K ) )
4		eqeq2 2450	. . . . . . . . 9 |- ( j = K -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = K ) )
5	4	rabbidv 2962	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } )
6	5	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
7	3, 6	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
8	7	rspcv 3066	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
9	1, 2, 8	sylc 60	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
10		ssun1 3516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ ( A u. { z } )
11		sspwb 4538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ ( A u. { z } ) <-> ~P A C_ ~P ( A u. { z } ) )
12	10, 11	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P A C_ ~P ( A u. { z } )
13	12	sseli 3349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
14	13	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
15		hashbc.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. A )
16		elpwi 3866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
17	16	ssneld 3355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> ( -. z e. A -> -. z e. x ) )
18	15, 17	mpan9 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> -. z e. x )
19	14, 18	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) )
20		elpwi 3866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
21		uncom 3497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A u. { z } ) = ( { z } u. A )
22	20, 21	syl6sseq 3399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
23	22	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
24		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
25		disjsn 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
27		disjssun 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
29	23, 28	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ A )
30		vex 2973	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
31	30	elpw 3863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
32	29, 31	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
33	32	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) -> x e. ~P A )
34	19, 33	impbida 823	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ~P A <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) )
35	34	anbi1d 699	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) ) )
36		anass 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
37	35, 36	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
38	37	abbidv 2555	. . . . . 6 |- ( ph -> { x | ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) } = { x | ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } )
39		df-rab 2722	. . . . . 6 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x | ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) }
40		df-rab 2722	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } = { x | ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
41	38, 39, 40	3eqtr4g 2498	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
42	41	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
43	9, 42	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
44		peano2zm 10684	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
45	1, 44	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
46		oveq2 6098	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) )
47		eqeq2 2450	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = ( K - 1 ) ) )
48	47	rabbidv 2962	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - 1 ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
49	48	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
50	46, 49	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
51	50	rspcv 3066	. . . . 5 |- ( ( K - 1 ) e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
52	45, 2, 51	sylc 60	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
53		hashbc.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
54		pwfi 7602	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ~P A e. Fin )
56		rabexg 4439	. . . . . . 7 |- ( ~P A e. Fin -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
57	55, 56	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
58		snfi 7386	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
59		unfi 7575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
60	53, 58, 59	sylancl 657	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
61		pwfi 7602	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. { z } ) e. Fin <-> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
62	60, 61	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
63		ssrab2 3434	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
64		ssfi 7529	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
65	62, 63, 64	sylancl 657	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
66		elex 2979	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
67	65, 66	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
68		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( # ` x ) = ( # ` u ) )
69	68	eqeq1d 2449	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
70	69	elrab 3114	. . . . . . 7 |- ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
71		elpwi 3866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~P A -> u C_ A )
72	71	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u C_ A )
73		unss1 3522	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ A -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
75		vex 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
76		snex 4530	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
77	75, 76	unex 6377	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) e. _V
78	77	elpw 3863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
79	74, 78	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
80	53	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> A e. Fin )
81		ssfi 7529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ u C_ A ) -> u e. Fin )
82	80, 72, 81	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. Fin )
83	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> { z } e. Fin )
84	15	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. A )
85	72, 84	ssneldd 3356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
86		disjsn 3933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. u )
87	85, 86	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
88		hashun 12141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( u i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
89	82, 83, 87, 88	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
90		simprr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` u ) = ( K - 1 ) )
91		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
92		hashsng 12132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( # ` { z } ) = 1 )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { z } ) = 1
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` { z } ) = 1 )
95	90, 94	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( K - 1 ) + 1 ) )
96	1	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
97	96	zcnd 10744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
98		ax-1cn 9336	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
99		npcan 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
100	97, 98, 99	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
101	89, 95, 100	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K )
102		ssun2 3517	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( u u. { z } )
103	91	snss 3996	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( u u. { z } ) <-> { z } C_ ( u u. { z } ) )
104	102, 103	mpbir 209	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( u u. { z } )
105	101, 104	jctil 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
106		eleq2 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( z e. x <-> z e. ( u u. { z } ) ) )
107		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( u u. { z } ) ) )
108	107	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
109	106, 108	anbi12d 705	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
110	109	elrab 3114	. . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
111	79, 105, 110	sylanbrc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
112	111	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
113	70, 112	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
114		eleq2 2502	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( z e. x <-> z e. v ) )
115		fveq2 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( # ` x ) = ( # ` v ) )
116	115	eqeq1d 2449	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` v ) = K ) )
117	114, 116	anbi12d 705	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
118	117	elrab 3114	. . . . . . 7 |- ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
119		elpwi 3866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
120	119	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
121	120, 21	syl6sseq 3399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( { z } u. A ) )
122		ssundif 3759	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ ( { z } u. A ) <-> ( v \ { z } ) C_ A )
123	121, 122	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
124		vex 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
125		difexg 4437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. _V -> ( v \ { z } ) e. _V )
126	124, 125	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( v \ { z } ) e. _V
127	126	elpw 3863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v \ { z } ) e. ~P A <-> ( v \ { z } ) C_ A )
128	123, 127	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
129	53	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> A e. Fin )
130		ssfi 7529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ ( v \ { z } ) C_ A ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
131	129, 123, 130	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
132		hashcl 12122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v \ { z } ) e. Fin -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
134	133	nn0cnd 10634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC )
135		pncan 9612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
136	134, 98, 135	sylancl 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
137		undif1 3751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = ( v u. { z } )
138		simprrl 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
139	138	snssd 4015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
140		ssequn2 3526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { z } C_ v <-> ( v u. { z } ) = v )
141	139, 140	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v u. { z } ) = v )
142	137, 141	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = v )
143	142	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( # ` v ) )
144	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } e. Fin )
145		incom 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = ( { z } i^i ( v \ { z } ) )
146		disjdif 3748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { z } i^i ( v \ { z } ) ) = (/)
147	145, 146	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) )
149		hashun 12141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v \ { z } ) e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
150	131, 144, 148, 149	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
151	93	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 )
152	150, 151	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) )
153		simprrr 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` v ) = K )
154	143, 152, 153	3eqtr3d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) = K )
155	154	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
156	136, 155	eqtr3d 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) )
157		fveq2 5688	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
158	157	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
159	158	elrab 3114	. . . . . . . . 9 |- ( ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( ( v \ { z } ) e. ~P A /\ ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
160	128, 156, 159	sylanbrc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
161	160	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
162	118, 161	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
163	70, 118	anbi12i 692	. . . . . . 7 |- ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) )
164		simp3rl 1056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
165	164	snssd 4015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
166		incom 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { z } i^i u ) = ( u i^i { z } )
167	87	3adant3 1003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
168	166, 167	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
169		uneqdifeq 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ v /\ ( { z } i^i u ) = (/) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
170	165, 168, 169	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
171	170	bicomd 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) = u <-> ( { z } u. u ) = v ) )
172		eqcom 2443	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v \ { z } ) <-> ( v \ { z } ) = u )
173		eqcom 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) = v )
174		uncom 3497	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) = ( { z } u. u )
175	174	eqeq1i 2448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) = v <-> ( { z } u. u ) = v )
176	173, 175	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( { z } u. u ) = v )
177	171, 172, 176	3bitr4g 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) )
178	177	3expib 1185	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
179	163, 178	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
180	57, 67, 113, 162, 179	en3d 7342	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
181		ssrab2 3434	. . . . . . 7 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A
182		ssfi 7529	. . . . . . 7 |- ( ( ~P A e. Fin /\ { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
183	55, 181, 182	sylancl 657	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
184		hashen 12114	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
185	183, 65, 184	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
186	180, 185	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
187	52, 186	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
188	43, 187	oveq12d 6108	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
189	58	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { z } e. Fin )
190		disjsn 3933	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
191	15, 190	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
192		hashun 12141	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( A i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
193	53, 189, 191, 192	syl3anc 1213	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
194	93	oveq2i 6101	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 )
195	193, 194	syl6eq 2489	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
196	195	oveq1d 6105	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
197		hashcl 12122	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
198	53, 197	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
199		bcpasc 12093	. . . 4 |- ( ( ( # ` A ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
200	198, 1, 199	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
201	196, 200	eqtr4d 2476	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) )
202		pm2.1 417	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. x \/ z e. x )
203	202	biantrur 503	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) )
204		andir 858	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
205	203, 204	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
206	205	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
207	206	rabbiia 2959	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
208		unrab 3618	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
209	207, 208	eqtr4i 2464	. . . 4 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
210	209	fveq2i 5691	. . 3 |- ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
211		ssrab2 3434	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
212		ssfi 7529	. . . . 5 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
213	62, 211, 212	sylancl 657	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
214		inrab 3619	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
215		simprl 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> z e. x )
216		simpll 748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> -. z e. x )
217	215, 216	pm2.65i 173	. . . . . . . 8 |- -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
218	217	rgenw 2781	. . . . . . 7 |- A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
219		rabeq0 3656	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/) <-> A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
220	218, 219	mpbir 209	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/)
221	214, 220	eqtri 2461	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/)
222	221	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) )
223		hashun 12141	. . . 4 |- ( ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
224	213, 65, 222, 223	syl3anc 1213	. . 3 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
225	210, 224	syl5eq 2485	. 2 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
226	188, 201, 225	3eqtr4d 2483	1 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ~~ cen 7303   Fincfn 7306   CCcc 9276   1c1 9279   + caddc 9281   - cmin 9591   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   _C cbc 12074   #chash 12099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-seq 11803  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100

This theorem is referenced by:  hashbc  12202