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Theorem hashbclem 12550
Description: Lemma for hashbc 12551: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashbc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashbc.2  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashbc.3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
hashbc.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashbclem  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Distinct variable groups:    x, j,
z, A    j, K, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( z, j)    K( z)

Proof of Theorem hashbclem
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashbc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
2 hashbc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
3 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  K ) )
4 eqeq2 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  K ) )
54rabbidv 3051 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)
65fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
73, 6eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  K
)  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) ) )
87rspcv 3156 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  K } ) ) )
91, 2, 8sylc 59 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
10 ssun1 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
11 sspwb 4640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { z } )  <->  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } ) )
1210, 11mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } )
1312sseli 3438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
1413adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
15 hashbc.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
16 elpwi 3964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
1716ssneld 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( -.  z  e.  A  ->  -.  z  e.  x ) )
1815, 17mpan9 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  -.  z  e.  x )
1914, 18jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
)
20 elpwi 3964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( A  u.  { z } ) )
21 uncom 3587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  A
)
2220, 21syl6sseq 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( { z }  u.  A ) )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  ( {
z }  u.  A
) )
24 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  -.  z  e.  x
)
25 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  x )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  i^i  {
z } )  =  (/) )
27 disjssun 3827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2923, 28mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  A )
30 vex 3062 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3130elpw 3961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
3229, 31sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  e.  ~P A
)
3332adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x
) )  ->  x  e.  ~P A )
3419, 33impbida 833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A 
<->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
) )
3534anbi1d 703 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
36 anass 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
3735, 36syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
3837rabbidva2 3049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
3938fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
409, 39eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
41 peano2zm 10948 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
421, 41syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
43 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) ) )
44 eqeq2 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) ) )
4544rabbidv 3051 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
4645fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
4743, 46eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) ) )
4847rspcv 3156 . . . . 5  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) ) )
4942, 2, 48sylc 59 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
50 hashbc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
51 pwfi 7849 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
5250, 51sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  Fin )
53 rabexg 4544 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
5452, 53syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
55 snfi 7634 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
56 unfi 7821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
5750, 55, 56sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
58 pwfi 7849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  { z } )  e.  Fin  <->  ~P ( A  u.  { z } )  e.  Fin )
5957, 58sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
60 ssrab2 3524 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
61 ssfi 7775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
6259, 60, 61sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
63 elex 3068 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  _V )
6462, 63syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  _V )
65 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
6665eqeq1d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( K  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) ) )
6766elrab 3207 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  <->  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )
68 elpwi 3964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~P A  ->  u  C_  A )
6968ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  C_  A )
70 unss1 3612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  A  ->  (
u  u.  { z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
72 vex 3062 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
73 snex 4632 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
7472, 73unex 6580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  e.  _V
7574elpw 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  <->  ( u  u.  { z } ) 
C_  ( A  u.  { z } ) )
7671, 75sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
~P ( A  u.  { z } ) )
7750adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  A  e.  Fin )
78 ssfi 7775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  u  C_  A )  ->  u  e.  Fin )
7977, 69, 78syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
8055a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
8115adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  A
)
8269, 81ssneldd 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  u
)
83 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  u )
8482, 83sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  i^i  {
z } )  =  (/) )
85 hashun 12498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( u  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( u  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  u )  +  (
# `  { z } ) ) )
8679, 80, 84, 85syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) ) )
87 simprr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )
88 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
89 hashsng 12486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( # `
 { z } )  =  1 )
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { z } )  =  1
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  { z } )  =  1 )
9287, 91oveq12d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) )  =  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )
931adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
9493zcnd 11009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
95 ax-1cn 9580 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
96 npcan 9865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
9794, 95, 96sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
9886, 92, 973eqtrd 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K )
99 ssun2 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( u  u.  { z } )
10088snss 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  <->  { z }  C_  ( u  u.  { z } ) )
10199, 100mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( u  u.  {
z } )
10298, 101jctil 535 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( z  e.  ( u  u.  { z } )  /\  ( # `
 ( u  u. 
{ z } ) )  =  K ) )
103 eleq2 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  ( u  u.  { z } ) ) )
104 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  {
z } ) ) )
105104eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  =  K  <-> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) )
106103, 105anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( z  e.  ( u  u.  {
z } )  /\  ( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
107106elrab 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  <-> 
( ( u  u. 
{ z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  /\  ( # `  (
u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
10876, 102, 107sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
{ x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
109108ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  ->  (
u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
11067, 109syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  ->  ( u  u. 
{ z } )  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
111 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  v ) )
112 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  v
) )
113112eqeq1d 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
( # `  x )  =  K  <->  ( # `  v
)  =  K ) )
114111, 113anbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  v  ->  (
( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
115114elrab 3207 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  <->  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
116 elpwi 3964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  v  C_  ( A  u.  { z } ) )
117116ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( A  u.  {
z } ) )
118117, 21syl6sseq 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( { z }  u.  A ) )
119 ssundif 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  ( { z }  u.  A )  <-> 
( v  \  {
z } )  C_  A )
120118, 119sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  C_  A
)
121 vex 3062 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
_V
122 difexg 4542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  \  { z } )  e.  _V )
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
\  { z } )  e.  _V
124123elpw 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  ~P A 
<->  ( v  \  {
z } )  C_  A )
125120, 124sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  ~P A )
12650adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  A  e.  Fin )
127 ssfi 7775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( v  \  {
z } )  C_  A )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
128126, 120, 127syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
129 hashcl 12475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
v  \  { z } ) )  e. 
NN0 )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  NN0 )
131130nn0cnd 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  CC )
132 pncan 9862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
133131, 95, 132sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
134 undif1 3847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( v  u.  {
z } )
135 simprrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
136135snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
137 ssequn2 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { z }  C_  v  <->  ( v  u.  { z } )  =  v )
138136, 137sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  u.  { z } )  =  v )
139134, 138syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  v )
140139fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( # `  v
) )
14155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
142 incom 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( v  \  { z } ) )
143 disjdif 3844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  i^i  (
v  \  { z } ) )  =  (/)
144142, 143eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )
146 hashun 12498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  \  {
z } )  e. 
Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
147128, 141, 145, 146syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
14890oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  ( # `  { z } ) )  =  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  1 )
149147, 148syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 ) )
150 simprrr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 v )  =  K )
151140, 149, 1503eqtr3d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( # `  ( v 
\  { z } ) )  +  1 )  =  K )
152151oveq1d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( K  -  1 ) )
153133, 152eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) )
154 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
155154eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( ( # `  x )  =  ( K  -  1 )  <-> 
( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
156155elrab 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  <-> 
( ( v  \  { z } )  e.  ~P A  /\  ( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
157125, 153, 156sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
158157ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) )  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
159115, 158syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
16067, 115anbi12i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  /\  v  e.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  <->  ( (
u  e.  ~P A  /\  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) )  /\  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) ) )
161 simp3rl 1070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
162161snssd 4117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
163 incom 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z }  i^i  u
)  =  ( u  i^i  { z } )
164843adant3 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  i^i  { z } )  =  (/) )
165163, 164syl5eq 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( {
z }  i^i  u
)  =  (/) )
166 uneqdifeq 3860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  v  /\  ( { z }  i^i  u )  =  (/) )  ->  (
( { z }  u.  u )  =  v  <->  ( v  \  { z } )  =  u ) )
167162, 165, 166syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( ( { z }  u.  u )  =  v  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u ) )
168167bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( (
v  \  { z } )  =  u  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v ) )
169 eqcom 2411 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u )
170 eqcom 2411 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( u  u.  {
z } )  =  v )
171 uncom 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  u
)
172171eqeq1i 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  =  v  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
173170, 172bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
174168, 169, 1733bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) )
1751743expib 1200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ~P A  /\  ( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
176160, 175syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  /\  v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
17754, 64, 110, 159, 176en3d 7590 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
178 ssrab2 3524 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  C_  ~P A
179 ssfi 7775 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
C_  ~P A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
18052, 178, 179sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
181 hashen 12467 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin  /\  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
182180, 62, 181syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
183177, 182mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18449, 183eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18540, 184oveq12d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
18655a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z }  e.  Fin )
187 disjsn 4032 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
18815, 187sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
189 hashun 12498 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  { z } ) ) )
19050, 186, 188, 189syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  { z } ) ) )
19190oveq2i 6289 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  1 )
192190, 191syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
193192oveq1d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  +  1 )  _C  K ) )
194 hashcl 12475 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
19550, 194syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
196 bcpasc 12443 . . . 4  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
197195, 1, 196syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
198193, 197eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  _C  K )  +  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
199 pm2.1 415 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )
200199biantrur 504 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) )
201 andir 869 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) )
202200, 201bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
203202a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  ( ( # `
 x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
204203rabbiia 3048 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
205 unrab 3721 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
206204, 205eqtr4i 2434 . . . 4  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  u.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
207206fveq2i 5852 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
208 ssrab2 3524 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
209 ssfi 7775 . . . . 5  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
21059, 208, 209sylancl 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
211 inrab 3722 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
212 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  -> 
z  e.  x )
213 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  ->  -.  z  e.  x
)
214212, 213pm2.65i 173 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )
215214rgenw 2765 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) )
216 rabeq0 3761 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) )
217215, 216mpbir 209 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) }  =  (/)
218211, 217eqtri 2431 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/)
219218a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  i^i  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  =  (/) )
220 hashun 12498 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
221210, 62, 219, 220syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
222207, 221syl5eq 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
223185, 198, 2223eqtr4d 2453 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   {csn 3972   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ~~ cen 7551   Fincfn 7554   CCcc 9520   1c1 9523    + caddc 9525    - cmin 9841   NN0cn0 10836   ZZcz 10905    _C cbc 12424   #chash 12452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-seq 12152  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453
This theorem is referenced by:  hashbc  12551
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