Theorem hashbclem 12467

Description: Lemma for hashbc 12468: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashbc.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashbc.2	|- ( ph -> -. z e. A )
hashbc.3	|- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
hashbc.4	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashbclem	|- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   x, j, z, A   j, K, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( z, j)   K( z)

Proof of Theorem hashbclem

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashbc.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		hashbc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) )
3		oveq2 6292	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C K ) )
4		eqeq2 2482	. . . . . . . . 9 |- ( j = K -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = K ) )
5	4	rabbidv 3105	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } )
6	5	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
7	3, 6	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
8	7	rspcv 3210	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
9	1, 2, 8	sylc 60	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
10		ssun1 3667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ ( A u. { z } )
11		sspwb 4696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ ( A u. { z } ) <-> ~P A C_ ~P ( A u. { z } ) )
12	10, 11	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P A C_ ~P ( A u. { z } )
13	12	sseli 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
15		hashbc.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. A )
16		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
17	16	ssneld 3506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> ( -. z e. A -> -. z e. x ) )
18	15, 17	mpan9 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> -. z e. x )
19	14, 18	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) )
20		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
21		uncom 3648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A u. { z } ) = ( { z } u. A )
22	20, 21	syl6sseq 3550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
24		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
25		disjsn 4088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
27		disjssun 3884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
29	23, 28	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ A )
30		vex 3116	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
31	30	elpw 4016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
32	29, 31	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) -> x e. ~P A )
34	19, 33	impbida 830	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ~P A <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) ) )
35	34	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) ) )
36		anass 649	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
37	35, 36	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
38	37	abbidv 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> { x | ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) } = { x | ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } )
39		df-rab 2823	. . . . . 6 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x | ( x e. ~P A /\ ( # ` x ) = K ) }
40		df-rab 2823	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } = { x | ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
41	38, 39, 40	3eqtr4g 2533	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
42	41	fveq2d 5870	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
43	9, 42	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
44		peano2zm 10906	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
45	1, 44	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
46		oveq2 6292	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` A ) _C j ) = ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) )
47		eqeq2 2482	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` x ) = ( K - 1 ) ) )
48	47	rabbidv 3105	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - 1 ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
49	48	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
50	46, 49	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
51	50	rspcv 3210	. . . . 5 |- ( ( K - 1 ) e. ZZ -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` A ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = j } ) -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
52	45, 2, 51	sylc 60	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
53		hashbc.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
54		pwfi 7815	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ~P A e. Fin )
56		rabexg 4597	. . . . . . 7 |- ( ~P A e. Fin -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
57	55, 56	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
58		snfi 7596	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
59		unfi 7787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
60	53, 58, 59	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
61		pwfi 7815	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. { z } ) e. Fin <-> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
62	60, 61	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P ( A u. { z } ) e. Fin )
63		ssrab2 3585	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
64		ssfi 7740	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
65	62, 63, 64	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
66		elex 3122	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
67	65, 66	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. _V )
68		fveq2 5866	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( # ` x ) = ( # ` u ) )
69	68	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
70	69	elrab 3261	. . . . . . 7 |- ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) )
71		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~P A -> u C_ A )
72	71	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u C_ A )
73		unss1 3673	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ A -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
75		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
76		snex 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
77	75, 76	unex 6582	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) e. _V
78	77	elpw 4016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
79	74, 78	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
80	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> A e. Fin )
81		ssfi 7740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ u C_ A ) -> u e. Fin )
82	80, 72, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. Fin )
83	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> { z } e. Fin )
84	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. A )
85	72, 84	ssneldd 3507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
86		disjsn 4088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. u )
87	85, 86	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
88		hashun 12418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( u i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
89	82, 83, 87, 88	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) )
90		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` u ) = ( K - 1 ) )
91		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
92		hashsng 12406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( # ` { z } ) = 1 )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { z } ) = 1
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` { z } ) = 1 )
95	90, 94	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( # ` u ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( K - 1 ) + 1 ) )
96	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
97	96	zcnd 10967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
98		ax-1cn 9550	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
99		npcan 9829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
100	97, 98, 99	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
101	89, 95, 100	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K )
102		ssun2 3668	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( u u. { z } )
103	91	snss 4151	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( u u. { z } ) <-> { z } C_ ( u u. { z } ) )
104	102, 103	mpbir 209	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( u u. { z } )
105	101, 104	jctil 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
106		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( z e. x <-> z e. ( u u. { z } ) ) )
107		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( u u. { z } ) ) )
108	107	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
109	106, 108	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
110	109	elrab 3261	. . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. ( u u. { z } ) /\ ( # ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
111	79, 105, 110	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
112	111	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
113	70, 112	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } -> ( u u. { z } ) e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
114		eleq2 2540	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( z e. x <-> z e. v ) )
115		fveq2 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( # ` x ) = ( # ` v ) )
116	115	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( ( # ` x ) = K <-> ( # ` v ) = K ) )
117	114, 116	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> ( ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
118	117	elrab 3261	. . . . . . 7 |- ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } <-> ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) )
119		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
120	119	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
121	120, 21	syl6sseq 3550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> v C_ ( { z } u. A ) )
122		ssundif 3910	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ ( { z } u. A ) <-> ( v \ { z } ) C_ A )
123	121, 122	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
124		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
125		difexg 4595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. _V -> ( v \ { z } ) e. _V )
126	124, 125	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( v \ { z } ) e. _V
127	126	elpw 4016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v \ { z } ) e. ~P A <-> ( v \ { z } ) C_ A )
128	123, 127	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
129	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> A e. Fin )
130		ssfi 7740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ ( v \ { z } ) C_ A ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
131	129, 123, 130	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
132		hashcl 12396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v \ { z } ) e. Fin -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
134	133	nn0cnd 10854	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC )
135		pncan 9826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
136	134, 98, 135	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
137		undif1 3902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = ( v u. { z } )
138		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
139	138	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
140		ssequn2 3677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { z } C_ v <-> ( v u. { z } ) = v )
141	139, 140	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v u. { z } ) = v )
142	137, 141	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = v )
143	142	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( # ` v ) )
144	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } e. Fin )
145		incom 3691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = ( { z } i^i ( v \ { z } ) )
146		disjdif 3899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { z } i^i ( v \ { z } ) ) = (/)
147	145, 146	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) )
149		hashun 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v \ { z } ) e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
150	131, 144, 148, 149	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) )
151	93	oveq2i 6295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 )
152	150, 151	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) )
153		simprrr 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` v ) = K )
154	143, 152, 153	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) = K )
155	154	oveq1d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( ( # ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
156	136, 155	eqtr3d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) )
157		fveq2 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( v \ { z } ) ) )
158	157	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( ( # ` x ) = ( K - 1 ) <-> ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
159	158	elrab 3261	. . . . . . . . 9 |- ( ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( ( v \ { z } ) e. ~P A /\ ( # ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
160	128, 156, 159	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } )
161	160	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
162	118, 161	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } -> ( v \ { z } ) e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
163	70, 118	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) )
164		simp3rl 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
165	164	snssd 4172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
166		incom 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { z } i^i u ) = ( u i^i { z } )
167	87	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
168	166, 167	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
169		uneqdifeq 3915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ v /\ ( { z } i^i u ) = (/) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
170	165, 168, 169	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v <-> ( v \ { z } ) = u ) )
171	170	bicomd 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) = u <-> ( { z } u. u ) = v ) )
172		eqcom 2476	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v \ { z } ) <-> ( v \ { z } ) = u )
173		eqcom 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) = v )
174		uncom 3648	. . . . . . . . . . 11 |- ( u u. { z } ) = ( { z } u. u )
175	174	eqeq1i 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. { z } ) = v <-> ( { z } u. u ) = v )
176	173, 175	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u u. { z } ) <-> ( { z } u. u ) = v )
177	171, 172, 176	3bitr4g 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) )
178	177	3expib 1199	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( u e. ~P A /\ ( # ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ~P ( A u. { z } ) /\ ( z e. v /\ ( # ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
179	163, 178	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
180	57, 67, 113, 162, 179	en3d 7552	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
181		ssrab2 3585	. . . . . . 7 |- { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A
182		ssfi 7740	. . . . . . 7 |- ( ( ~P A e. Fin /\ { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } C_ ~P A ) -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
183	55, 181, 182	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
184		hashen 12388	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
185	183, 65, 184	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
186	180, 185	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = ( K - 1 ) } ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
187	52, 186	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
188	43, 187	oveq12d 6302	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
189	58	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { z } e. Fin )
190		disjsn 4088	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
191	15, 190	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
192		hashun 12418	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( A i^i { z } ) = (/) ) -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
193	53, 189, 191, 192	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) )
194	93	oveq2i 6295	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) + ( # ` { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 )
195	193, 194	syl6eq 2524	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( A u. { z } ) ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
196	195	oveq1d 6299	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
197		hashcl 12396	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
198	53, 197	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
199		bcpasc 12367	. . . 4 |- ( ( ( # ` A ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
200	198, 1, 199	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( # ` A ) + 1 ) _C K ) )
201	196, 200	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( ( # ` A ) _C K ) + ( ( # ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) )
202		pm2.1 417	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. x \/ z e. x )
203	202	biantrur 506	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) )
204		andir 866	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ ( # ` x ) = K ) <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
205	203, 204	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
206	205	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> ( ( # ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) ) )
207	206	rabbiia 3102	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
208		unrab 3769	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
209	207, 208	eqtr4i 2499	. . . 4 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } = ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } )
210	209	fveq2i 5869	. . 3 |- ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) )
211		ssrab2 3585	. . . . 5 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } )
212		ssfi 7740	. . . . 5 |- ( ( ~P ( A u. { z } ) e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } C_ ~P ( A u. { z } ) ) -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
213	62, 211, 212	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin )
214		inrab 3770	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) }
215		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> z e. x )
216		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) -> -. z e. x )
217	215, 216	pm2.65i 173	. . . . . . . 8 |- -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
218	217	rgenw 2825	. . . . . . 7 |- A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) )
219		rabeq0 3807	. . . . . . 7 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/) <-> A. x e. ~P ( A u. { z } ) -. ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) )
220	218, 219	mpbir 209	. . . . . 6 |- { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) ) } = (/)
221	214, 220	eqtri 2496	. . . . 5 |- ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/)
222	221	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) )
223		hashun 12418	. . . 4 |- ( ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } e. Fin /\ ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } i^i { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
224	213, 65, 222, 223	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } u. { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
225	210, 224	syl5eq 2520	. 2 |- ( ph -> ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) = ( ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( -. z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) + ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( z e. x /\ ( # ` x ) = K ) } ) ) )
226	188, 201, 225	3eqtr4d 2518	1 |- ( ph -> ( ( # ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P ( A u. { z } ) | ( # ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ~~ cen 7513   Fincfn 7516   CCcc 9490   1c1 9493   + caddc 9495   - cmin 9805   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   _C cbc 12348   #chash 12373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-seq 12076  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374

This theorem is referenced by:  hashbc  12468