MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbc0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hashbc0 14969
Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
hashbc0  |-  ( A  e.  V  ->  ( A C 0 )  =  { (/) } )
Distinct variable groups:    a, b,
i    A, a, i
Allowed substitution hints:    A( b)    C( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem hashbc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10891 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 ramval.c . . . 4  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
32hashbcval 14966 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A C 0 )  =  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  0 } )
41, 3mpan2 678 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A C 0 )  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  0 } )
5 vex 3050 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
6 hasheq0 12551 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
87anbi2i 701 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  0 )  <-> 
( x  e.  ~P A  /\  x  =  (/) ) )
9 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
10 0elpw 4575 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P A
119, 10syl6eqel 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  x  e. 
~P A )
1211pm4.71ri 639 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  <->  ( x  e. 
~P A  /\  x  =  (/) ) )
138, 12bitr4i 256 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  0 )  <-> 
x  =  (/) )
1413abbii 2569 . . 3  |-  { x  |  ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  0 ) }  =  { x  |  x  =  (/) }
15 df-rab 2748 . . 3  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  0 }  =  { x  |  (
x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  0 ) }
16 df-sn 3971 . . 3  |-  { (/) }  =  { x  |  x  =  (/) }
1714, 15, 163eqtr4i 2485 . 2  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  0 }  =  { (/) }
184, 17syl6eq 2503 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A C 0 )  =  { (/) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   {cab 2439   {crab 2743   _Vcvv 3047   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   {csn 3970   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   0cc0 9544   NN0cn0 10876   #chash 12522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523
This theorem is referenced by:  0ram  14990
  Copyright terms: Public domain W3C validator