MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbc0 Structured version   Unicode version

Theorem hashbc0 14950
Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
hashbc0  |-  ( A  e.  V  ->  ( A C 0 )  =  { (/) } )
Distinct variable groups:    a, b,
i    A, a, i
Allowed substitution hints:    A( b)    C( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem hashbc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10886 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 ramval.c . . . 4  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
32hashbcval 14947 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A C 0 )  =  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  0 } )
41, 3mpan2 676 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A C 0 )  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  0 } )
5 vex 3085 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
6 hasheq0 12545 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
87anbi2i 699 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  0 )  <-> 
( x  e.  ~P A  /\  x  =  (/) ) )
9 id 23 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
10 0elpw 4591 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P A
119, 10syl6eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  x  e. 
~P A )
1211pm4.71ri 638 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  <->  ( x  e. 
~P A  /\  x  =  (/) ) )
138, 12bitr4i 256 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  0 )  <-> 
x  =  (/) )
1413abbii 2557 . . 3  |-  { x  |  ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  0 ) }  =  { x  |  x  =  (/) }
15 df-rab 2785 . . 3  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  0 }  =  { x  |  (
x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  0 ) }
16 df-sn 3998 . . 3  |-  { (/) }  =  { x  |  x  =  (/) }
1714, 15, 163eqtr4i 2462 . 2  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  0 }  =  { (/) }
184, 17syl6eq 2480 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A C 0 )  =  { (/) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408   {crab 2780   _Vcvv 3082   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   0cc0 9541   NN0cn0 10871   #chash 12516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-hash 12517
This theorem is referenced by:  0ram  14971
  Copyright terms: Public domain W3C validator