Theorem hashbc 12202

Description: The binomial coefficient counts the number of subsets of a finite set of a given size. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashbc	|- ( ( A e. Fin /\ K e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, K

Proof of Theorem hashbc

Dummy variables j k w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5688	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( # ` w ) = ( # ` (/) ) )
2	1	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` (/) ) _C k ) )
3		pweq 3860	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ~P w = ~P (/) )
4		rabeq 2964	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P (/) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
6	5	fveq2d 5692	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
7	2, 6	eqeq12d 2455	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) ) )
8	7	ralbidv 2733	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) ) )
9		fveq2 5688	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( # ` w ) = ( # ` y ) )
10	9	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` y ) _C k ) )
11		pweq 3860	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ~P w = ~P y )
12		rabeq 2964	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P y -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } )
13	11, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = y -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } )
14	13	fveq2d 5692	. . . . 5 |- ( w = y -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) )
15	10, 14	eqeq12d 2455	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) ) )
16	15	ralbidv 2733	. . 3 |- ( w = y -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) ) )
17		fveq2 5688	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( # ` w ) = ( # ` ( y u. { z } ) ) )
18	17	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) )
19		pweq 3860	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ~P w = ~P ( y u. { z } ) )
20		rabeq 2964	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P ( y u. { z } ) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } )
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } )
22	21	fveq2d 5692	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) )
23	18, 22	eqeq12d 2455	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
24	23	ralbidv 2733	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
25		fveq2 5688	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( # ` w ) = ( # ` A ) )
26	25	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` A ) _C k ) )
27		pweq 3860	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ~P w = ~P A )
28		rabeq 2964	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P A -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } )
29	27, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = A -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } )
30	29	fveq2d 5692	. . . . 5 |- ( w = A -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) )
31	26, 30	eqeq12d 2455	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) ) )
32	31	ralbidv 2733	. . 3 |- ( w = A -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) ) )
33		hash0 12131	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` (/) ) = 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( # ` (/) ) = 0 )
35		elfz1eq 11458	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> k = 0 )
36	34, 35	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
37		0nn0 10590	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
38		bcn0 12082	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
40	36, 39	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = 1 )
41		pw0 4017	. . . . . . . . . 10 |- ~P (/) = { (/) }
42	35	eqcomd 2446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> 0 = k )
43	41	raleqi 2919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k <-> A. x e. { (/) } ( # ` x ) = k )
44		0ex 4419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
45		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
46	45, 33	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
47	46	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) = k <-> 0 = k ) )
48	44, 47	ralsn 3912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. { (/) } ( # ` x ) = k <-> 0 = k )
49	43, 48	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k <-> 0 = k )
50	42, 49	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k )
51		rabid2 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P (/) = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } <-> A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k )
52	50, 51	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ~P (/) = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
53	41, 52	syl5reqr 2488	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } = { (/) } )
54	53	fveq2d 5692	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { (/) } ) )
55		hashsng 12132	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. _V -> ( # ` { (/) } ) = 1 )
56	44, 55	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` { (/) } ) = 1
57	54, 56	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = 1 )
58	40, 57	eqtr4d 2476	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
59	58	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
60	33	oveq1i 6100	. . . . . 6 |- ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( 0 _C k )
61		bcval3 12078	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
62	37, 61	mp3an1 1296	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
63		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = k -> 0 = k )
64		0z 10653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
65		elfz3 11457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. ( 0 ... 0 ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ( 0 ... 0 )
67	63, 66	syl6eqelr 2530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 = k -> k e. ( 0 ... 0 ) )
68	67	con3i 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. ( 0 ... 0 ) -> -. 0 = k )
69	68	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> -. 0 = k )
70	41	raleqi 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k <-> A. x e. { (/) } -. ( # ` x ) = k )
71	47	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( -. ( # ` x ) = k <-> -. 0 = k ) )
72	44, 71	ralsn 3912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. { (/) } -. ( # ` x ) = k <-> -. 0 = k )
73	70, 72	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k <-> -. 0 = k )
74	69, 73	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k )
75		rabeq0 3656	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } = (/) <-> A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k )
76	74, 75	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } = (/) )
77	76	fveq2d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` (/) ) )
78	77, 33	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = 0 )
79	62, 78	eqtr4d 2476	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
80	60, 79	syl5eq 2485	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
81	59, 80	pm2.61dan 784	. . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
82	81	rgen 2779	. . 3 |- A. k e. ZZ ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
83		oveq2 6098	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( # ` y ) _C k ) = ( ( # ` y ) _C j ) )
84		eqeq2 2450	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( # ` x ) = k <-> ( # ` x ) = j ) )
85	84	rabbidv 2962	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } )
86		fveq2 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( # ` x ) = ( # ` z ) )
87	86	eqeq1d 2449	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` z ) = j ) )
88	87	cbvrabv 2969	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } = { z e. ~P y | ( # ` z ) = j }
89	85, 88	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( k = j -> { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } = { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } )
90	89	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
91	83, 90	eqeq12d 2455	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) )
92	91	cbvralv 2945	. . . 4 |- ( A. k e. ZZ ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) <-> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
93		simpll 748	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> y e. Fin )
94		simplr 749	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> -. z e. y )
95		simprr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
96	88	fveq2i 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } )
97	96	eqeq2i 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
98	97	ralbii 2737	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) <-> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
99	95, 98	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) )
100		simprl 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> k e. ZZ )
101	93, 94, 99, 100	hashbclem 12201	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) )
102	101	expr 612	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) -> ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
103	102	ralrimdva 2804	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) -> A. k e. ZZ ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
104	92, 103	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) -> A. k e. ZZ ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
105	8, 16, 24, 32, 82, 104	findcard2s 7549	. 2 |- ( A e. Fin -> A. k e. ZZ ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) )
106		oveq2 6098	. . . 4 |- ( k = K -> ( ( # ` A ) _C k ) = ( ( # ` A ) _C K ) )
107		eqeq2 2450	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( ( # ` x ) = k <-> ( # ` x ) = K ) )
108	107	rabbidv 2962	. . . . 5 |- ( k = K -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } )
109	108	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( k = K -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
110	106, 109	eqeq12d 2455	. . 3 |- ( k = K -> ( ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
111	110	rspccva 3069	. 2 |- ( ( A. k e. ZZ ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
112	105, 111	sylan 468	1 |- ( ( A e. Fin /\ K e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   u. cun 3323   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ...cfz 11433   _C cbc 12074   #chash 12099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-seq 11803  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100

This theorem is referenced by:  hashbc2  14063  sylow1lem1  16090  musum  22490  ballotlem1  26799  ballotlem2  26801