Theorem hashbc 11657

Description: The binomial coefficient counts the number of subsets of a finite set of a given size. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashbc	|- ( ( A e. Fin /\ K e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, K

Proof of Theorem hashbc

Dummy variables j k w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( # ` w ) = ( # ` (/) ) )
2	1	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` (/) ) _C k ) )
3		pweq 3762	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ~P w = ~P (/) )
4		rabeq 2910	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P (/) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
6	5	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
7	2, 6	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) ) )
8	7	ralbidv 2686	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) ) )
9		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( # ` w ) = ( # ` y ) )
10	9	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` y ) _C k ) )
11		pweq 3762	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ~P w = ~P y )
12		rabeq 2910	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P y -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } )
13	11, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = y -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } )
14	13	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( w = y -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) )
15	10, 14	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) ) )
16	15	ralbidv 2686	. . 3 |- ( w = y -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) ) )
17		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( # ` w ) = ( # ` ( y u. { z } ) ) )
18	17	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) )
19		pweq 3762	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ~P w = ~P ( y u. { z } ) )
20		rabeq 2910	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P ( y u. { z } ) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } )
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } )
22	21	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) )
23	18, 22	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
24	23	ralbidv 2686	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
25		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( # ` w ) = ( # ` A ) )
26	25	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( # ` w ) _C k ) = ( ( # ` A ) _C k ) )
27		pweq 3762	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ~P w = ~P A )
28		rabeq 2910	. . . . . . 7 |- ( ~P w = ~P A -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } )
29	27, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = A -> { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } )
30	29	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( w = A -> ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) )
31	26, 30	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) ) )
32	31	ralbidv 2686	. . 3 |- ( w = A -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` w ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P w | ( # ` x ) = k } ) <-> A. k e. ZZ ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) ) )
33		hash0 11601	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` (/) ) = 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( # ` (/) ) = 0 )
35		elfz1eq 11024	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> k = 0 )
36	34, 35	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
37		0nn0 10192	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
38		bcn0 11556	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
39	37, 38	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
40	36, 39	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = 1 )
41		pw0 3905	. . . . . . . . . 10 |- ~P (/) = { (/) }
42	35	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> 0 = k )
43	41	raleqi 2868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k <-> A. x e. { (/) } ( # ` x ) = k )
44		0ex 4299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
45		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
46	45, 33	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
47	46	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) = k <-> 0 = k ) )
48	44, 47	ralsn 3809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. { (/) } ( # ` x ) = k <-> 0 = k )
49	43, 48	bitri 241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k <-> 0 = k )
50	42, 49	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k )
51		rabid2 2845	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P (/) = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } <-> A. x e. ~P (/) ( # ` x ) = k )
52	50, 51	sylibr 204	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ~P (/) = { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
53	41, 52	syl5reqr 2451	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } = { (/) } )
54	53	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { (/) } ) )
55		hashsng 11602	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. _V -> ( # ` { (/) } ) = 1 )
56	44, 55	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( # ` { (/) } ) = 1
57	54, 56	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = 1 )
58	40, 57	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
59	58	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
60	33	oveq1i 6050	. . . . . 6 |- ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( 0 _C k )
61		bcval3 11552	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
62	37, 61	mp3an1 1266	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
63		id 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = k -> 0 = k )
64		0z 10249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
65		elfz3 11023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. ( 0 ... 0 ) )
66	64, 65	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ( 0 ... 0 )
67	63, 66	syl6eqelr 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 = k -> k e. ( 0 ... 0 ) )
68	67	con3i 129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. ( 0 ... 0 ) -> -. 0 = k )
69	68	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> -. 0 = k )
70	41	raleqi 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k <-> A. x e. { (/) } -. ( # ` x ) = k )
71	47	notbid 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( -. ( # ` x ) = k <-> -. 0 = k ) )
72	44, 71	ralsn 3809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. { (/) } -. ( # ` x ) = k <-> -. 0 = k )
73	70, 72	bitri 241	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k <-> -. 0 = k )
74	69, 73	sylibr 204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k )
75		rabeq0 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } = (/) <-> A. x e. ~P (/) -. ( # ` x ) = k )
76	74, 75	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } = (/) )
77	76	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` (/) ) )
78	77, 33	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) = 0 )
79	62, 78	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
80	60, 79	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
81	59, 80	pm2.61dan 767	. . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } ) )
82	81	rgen 2731	. . 3 |- A. k e. ZZ ( ( # ` (/) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P (/) | ( # ` x ) = k } )
83		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( # ` y ) _C k ) = ( ( # ` y ) _C j ) )
84		eqeq2 2413	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( # ` x ) = k <-> ( # ` x ) = j ) )
85	84	rabbidv 2908	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } )
86		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( # ` x ) = ( # ` z ) )
87	86	eqeq1d 2412	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( # ` x ) = j <-> ( # ` z ) = j ) )
88	87	cbvrabv 2915	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } = { z e. ~P y | ( # ` z ) = j }
89	85, 88	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( k = j -> { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } = { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } )
90	89	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
91	83, 90	eqeq12d 2418	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) )
92	91	cbvralv 2892	. . . 4 |- ( A. k e. ZZ ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) <-> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
93		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> y e. Fin )
94		simplr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> -. z e. y )
95		simprr 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
96	88	fveq2i 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } )
97	96	eqeq2i 2414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) <-> ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
98	97	ralbii 2690	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) <-> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) )
99	95, 98	sylibr 204	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = j } ) )
100		simprl 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> k e. ZZ )
101	93, 94, 99, 100	hashbclem 11656	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( k e. ZZ /\ A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) ) ) -> ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) )
102	101	expr 599	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) -> ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
103	102	ralrimdva 2756	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. j e. ZZ ( ( # ` y ) _C j ) = ( # ` { z e. ~P y | ( # ` z ) = j } ) -> A. k e. ZZ ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
104	92, 103	syl5bi 209	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. k e. ZZ ( ( # ` y ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P y | ( # ` x ) = k } ) -> A. k e. ZZ ( ( # ` ( y u. { z } ) ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P ( y u. { z } ) | ( # ` x ) = k } ) ) )
105	8, 16, 24, 32, 82, 104	findcard2s 7308	. 2 |- ( A e. Fin -> A. k e. ZZ ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) )
106		oveq2 6048	. . . 4 |- ( k = K -> ( ( # ` A ) _C k ) = ( ( # ` A ) _C K ) )
107		eqeq2 2413	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( ( # ` x ) = k <-> ( # ` x ) = K ) )
108	107	rabbidv 2908	. . . . 5 |- ( k = K -> { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } = { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } )
109	108	fveq2d 5691	. . . 4 |- ( k = K -> ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
110	106, 109	eqeq12d 2418	. . 3 |- ( k = K -> ( ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) <-> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) ) )
111	110	rspccva 3011	. 2 |- ( ( A. k e. ZZ ( ( # ` A ) _C k ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = k } ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )
112	105, 111	sylan 458	1 |- ( ( A e. Fin /\ K e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) _C K ) = ( # ` { x e. ~P A | ( # ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   u. cun 3278   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999   _C cbc 11548   #chash 11573

This theorem is referenced by:  hashbc2  13329  sylow1lem1  15187  musum  20929  ballotlem1  24697  ballotlem2  24699

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574