Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hash3tr Structured version   Unicode version

Theorem hash3tr 30234
Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash3tr  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  3 )  ->  E. a E. b E. c  V  =  {
a ,  b ,  c } )
Distinct variable group:    V, a, b, c
Allowed substitution hints:    W( a, b, c)

Proof of Theorem hash3tr
StepHypRef Expression
1 3nn0 10597 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
2 hashvnfin 12129 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  3  ->  V  e.  Fin )
)
31, 2mpan2 671 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  3  ->  V  e.  Fin ) )
43imp 429 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  3 )  ->  V  e.  Fin )
5 hash3 12164 . . . . . . . 8  |-  ( # `  3o )  =  3
65eqcomi 2447 . . . . . . 7  |-  3  =  ( # `  3o )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  3  =  ( # `  3o ) )
87eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  3  <->  ( # `  V
)  =  ( # `  3o ) ) )
9 3onn 7080 . . . . . . . 8  |-  3o  e.  om
10 nnfi 7503 . . . . . . . 8  |-  ( 3o  e.  om  ->  3o  e.  Fin )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  3o  e.  Fin
12 hashen 12118 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  3o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  3o )  <->  V  ~~  3o ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  ( # `  3o ) 
<->  V  ~~  3o ) )
1413biimpd 207 . . . . 5  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  ( # `  3o )  ->  V  ~~  3o ) )
158, 14sylbid 215 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  3  ->  V  ~~  3o ) )
1615adantld 467 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  =  3 )  ->  V  ~~  3o ) )
174, 16mpcom 36 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  3 )  ->  V  ~~  3o )
18 en3 7549 . 2  |-  ( V 
~~  3o  ->  E. a E. b E. c  V  =  { a ,  b ,  c } )
1917, 18syl 16 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  3 )  ->  E. a E. b E. c  V  =  {
a ,  b ,  c } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {ctp 3881   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   omcom 6476   3oc3o 6915    ~~ cen 7307   Fincfn 7310   3c3 10372   NN0cn0 10579   #chash 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-3o 6922  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-hash 12104
This theorem is referenced by:  hash1to3  30235
  Copyright terms: Public domain W3C validator