Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hash2sspr Structured version   Unicode version

Theorem hash2sspr 30395
Description: A subset of size two is an unordered pair of elements of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2sspr  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  P  =  { a ,  b } )
Distinct variable groups:    P, a,
b    V, a, b

Proof of Theorem hash2sspr
StepHypRef Expression
1 hash2pr 12299 . 2  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  ->  E. a E. b  P  =  { a ,  b } )
2 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  { a ,  b }  ->  ( P  e.  ~P V  <->  { a ,  b }  e.  ~P V ) )
3 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
43prid1 4094 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
{ a ,  b }
5 elelpwi 3982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  { a ,  b }  /\  { a ,  b }  e.  ~P V )  ->  a  e.  V
)
64, 5mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  -> 
a  e.  V )
7 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  e. 
_V
87prid2 4095 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
{ a ,  b }
9 elelpwi 3982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  { a ,  b }  /\  { a ,  b }  e.  ~P V )  ->  b  e.  V
)
108, 9mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  -> 
b  e.  V )
116, 10jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  -> 
( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )
122, 11syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  { a ,  b }  ->  ( P  e.  ~P V  ->  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) ) )
1312com12 31 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ~P V  -> 
( P  =  {
a ,  b }  ->  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) ) )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  ->  ( P  =  { a ,  b }  ->  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) ) )
1514ancrd 554 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  ->  ( P  =  { a ,  b }  ->  ( (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  P  =  {
a ,  b } ) ) )
16152eximdv 1679 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  ->  ( E. a E. b  P  =  { a ,  b }  ->  E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  P  =  { a ,  b } ) ) )
1716impcom 430 . . 3  |-  ( ( E. a E. b  P  =  { a ,  b }  /\  ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 ) )  ->  E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  P  =  { a ,  b } ) )
18 r2ex 2878 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  P  =  { a ,  b }  <->  E. a E. b
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  P  =  { a ,  b } ) )
1917, 18sylibr 212 . 2  |-  ( ( E. a E. b  P  =  { a ,  b }  /\  ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  P  =  { a ,  b } )
201, 19mpancom 669 1  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  P  =  { a ,  b } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   E.wrex 2800   ~Pcpw 3971   {cpr 3990   ` cfv 5529   2c2 10485   #chash 12223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224
This theorem is referenced by:  elss2pr  30396
  Copyright terms: Public domain W3C validator