Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hash2prv Structured version   Unicode version

Theorem hash2prv 30369
Description: A set of size two is an unordered pair of its elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2prv  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  V  =  { a ,  b } )
Distinct variable groups:    V, a,
b    W, a, b

Proof of Theorem hash2prv
StepHypRef Expression
1 hash2pr 12291 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b  V  =  { a ,  b } )
2 vex 3075 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
32prid1 4086 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
{ a ,  b }
4 vex 3075 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
54prid2 4087 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
{ a ,  b }
63, 5pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { a ,  b }  /\  b  e.  { a ,  b } )
7 eleq2 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  V  <->  a  e.  { a ,  b } ) )
8 eleq2 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
b  e.  V  <->  b  e.  { a ,  b } ) )
97, 8anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  <->  ( a  e. 
{ a ,  b }  /\  b  e. 
{ a ,  b } ) ) )
106, 9mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)
1110ancri 552 . . . . . 6  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  /\  V  =  { a ,  b } ) )
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  -> 
( V  =  {
a ,  b }  ->  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
13122eximdv 1679 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  -> 
( E. a E. b  V  =  {
a ,  b }  ->  E. a E. b
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
1413impcom 430 . . 3  |-  ( ( E. a E. b  V  =  { a ,  b }  /\  ( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  =  2 ) )  ->  E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  V  =  { a ,  b } ) )
15 r2ex 2872 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  V  =  { a ,  b }  <->  E. a E. b
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  V  =  { a ,  b } ) )
1614, 15sylibr 212 . 2  |-  ( ( E. a E. b  V  =  { a ,  b }  /\  ( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  =  2 ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  V  =  { a ,  b } )
171, 16mpancom 669 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  V  =  { a ,  b } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   E.wrex 2797   {cpr 3982   ` cfv 5521   2c2 10477   #chash 12215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-hash 12216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator