Theorem hash2prb 12666

Description: A set of size two is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prb	|- ( V e. W -> ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )

Distinct variable groups:   V, a, b   W, a, b

Proof of Theorem hash2prb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2exprb 12665	. 2 |- ( V e. W -> ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a E. b ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
2		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
3	2	prid1 4093	. . . . . . . 8 |- a e. { a , b }
4		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
5	4	prid2 4094	. . . . . . . 8 |- b e. { a , b }
6	3, 5	pm3.2i 461	. . . . . . 7 |- ( a e. { a , b } /\ b e. { a , b } )
7		eleq2 2529	. . . . . . . 8 |- ( V = { a , b } -> ( a e. V <-> a e. { a , b } ) )
8		eleq2 2529	. . . . . . . 8 |- ( V = { a , b } -> ( b e. V <-> b e. { a , b } ) )
9	7, 8	anbi12d 722	. . . . . . 7 |- ( V = { a , b } -> ( ( a e. V /\ b e. V ) <-> ( a e. { a , b } /\ b e. { a , b } ) ) )
10	6, 9	mpbiri 241	. . . . . 6 |- ( V = { a , b } -> ( a e. V /\ b e. V ) )
11	10	adantl 472	. . . . 5 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( a e. V /\ b e. V ) )
12	11	pm4.71ri 643	. . . 4 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
13	12	2exbii 1730	. . 3 |- ( E. a E. b ( a =/= b /\ V = { a , b } ) <-> E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
14	13	a1i 11	. 2 |- ( V e. W -> ( E. a E. b ( a =/= b /\ V = { a , b } ) <-> E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) ) )
15		r2ex 2925	. . . 4 |- ( E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) <-> E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
16	15	bicomi 207	. . 3 |- ( E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) )
17	16	a1i 11	. 2 |- ( V e. W -> ( E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
18	1, 14, 17	3bitrd 287	1 |- ( V e. W -> ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   =/= wne 2633   E.wrex 2750   {cpr 3982   ` cfv 5601   2c2 10687   #chash 12547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-hash 12548

This theorem is referenced by:  hash2prd  12667  elss2prb  12676  nbgr2vtx1edg  39468  nbuhgr2vtx1edgb  39470