MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hash2prb 12666
Description: A set of size two is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
hash2prb  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  2  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
Distinct variable groups:    V, a,
b    W, a, b

Proof of Theorem hash2prb
StepHypRef Expression
1 hash2exprb 12665 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  2  <->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
2 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
32prid1 4093 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
{ a ,  b }
4 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
54prid2 4094 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
{ a ,  b }
63, 5pm3.2i 461 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { a ,  b }  /\  b  e.  { a ,  b } )
7 eleq2 2529 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  V  <->  a  e.  { a ,  b } ) )
8 eleq2 2529 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
b  e.  V  <->  b  e.  { a ,  b } ) )
97, 8anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  <->  ( a  e. 
{ a ,  b }  /\  b  e. 
{ a ,  b } ) ) )
106, 9mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)
1110adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )
1211pm4.71ri 643 . . . 4  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  <-> 
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
13122exbii 1730 . . 3  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  <->  E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
1413a1i 11 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  <->  E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) ) )
15 r2ex 2925 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  <->  E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
1615bicomi 207 . . 3  |-  ( E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )
1716a1i 11 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  ( E. a E. b ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
181, 14, 173bitrd 287 1  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  2  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898    =/= wne 2633   E.wrex 2750   {cpr 3982   ` cfv 5601   2c2 10687   #chash 12547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-hash 12548
This theorem is referenced by:  hash2prd  12667  elss2prb  12676  nbgr2vtx1edg  39468  nbuhgr2vtx1edgb  39470
  Copyright terms: Public domain W3C validator