MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pr Structured version   Unicode version

Theorem hash2pr 12190
Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2pr  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b  V  =  { a ,  b } )
Distinct variable group:    V, a, b
Allowed substitution hints:    W( a, b)

Proof of Theorem hash2pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 10608 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
2 hashvnfin 12141 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  2  ->  V  e.  Fin )
)
31, 2mpan2 671 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  V  e.  Fin ) )
43imp 429 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  V  e.  Fin )
5 hash2 12175 . . . . . . . 8  |-  ( # `  2o )  =  2
65eqcomi 2447 . . . . . . 7  |-  2  =  ( # `  2o )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  2  =  ( # `  2o ) )
87eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  2  <->  ( # `  V
)  =  ( # `  2o ) ) )
9 2onn 7091 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
10 nnfi 7515 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
12 hashen 12130 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  2o )  <->  V  ~~  2o ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  ( # `  2o ) 
<->  V  ~~  2o ) )
1413biimpd 207 . . . . 5  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  ( # `  2o )  ->  V  ~~  2o ) )
158, 14sylbid 215 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  V  ~~  2o ) )
1615adantld 467 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  =  2 )  ->  V  ~~  2o ) )
174, 16mpcom 36 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  V  ~~  2o )
18 en2 7560 . 2  |-  ( V 
~~  2o  ->  E. a E. b  V  =  { a ,  b } )
1917, 18syl 16 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b  V  =  { a ,  b } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cpr 3891   class class class wbr 4304   ` cfv 5430   omcom 6488   2oc2o 6926    ~~ cen 7319   Fincfn 7322   2c2 10383   NN0cn0 10591   #chash 12115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-hash 12116
This theorem is referenced by:  hash2prde  12191  usgraedg4  23317  hash2prv  30238  hash2sspr  30239  hash1to3  30247
  Copyright terms: Public domain W3C validator