MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1to3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hash1to3 12680
Description: If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash1to3  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
Distinct variable group:    V, a, b, c

Proof of Theorem hash1to3
StepHypRef Expression
1 hashcl 12569 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 nn01to3 11285 . . 3  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 )  ->  ( ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  2  \/  ( # `  V
)  =  3 ) )
31, 2syl3an1 1309 . 2  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 )  ->  ( ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  2  \/  ( # `  V
)  =  3 ) )
4 hash1snb 12625 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
54biimpa 491 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  E. a  V  =  { a } )
6 3mix1 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  =  { a }  ->  ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
762eximi 1718 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b E. c  V  =  { a }  ->  E. b E. c
( V  =  {
a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
8719.23bi 1959 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  V  =  {
a }  ->  E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
9819.23bi 1959 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { a }  ->  E. b E. c
( V  =  {
a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
109eximi 1717 . . . . . . 7  |-  ( E. a  V  =  {
a }  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
115, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
1211expcom 441 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( V  e.  Fin  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) ) )
13 hash2pr 12662 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b  V  =  { a ,  b } )
14 3mix2 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
1514eximi 1717 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  V  =  {
a ,  b }  ->  E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  {
a ,  b }  \/  V  =  {
a ,  b ,  c } ) )
161519.23bi 1959 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  E. c
( V  =  {
a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
17162eximi 1718 . . . . . . 7  |-  ( E. a E. b  V  =  { a ,  b }  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
1813, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
1918expcom 441 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  2  ->  ( V  e.  Fin  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) ) )
20 hash3tr 12679 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  3 )  ->  E. a E. b E. c  V  =  {
a ,  b ,  c } )
21 3mix3 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { a ,  b ,  c }  ->  ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
2221eximi 1717 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  V  =  {
a ,  b ,  c }  ->  E. c
( V  =  {
a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
23222eximi 1718 . . . . . . 7  |-  ( E. a E. b E. c  V  =  {
a ,  b ,  c }  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
2420, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  3 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
2524expcom 441 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  3  ->  ( V  e.  Fin  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) ) )
2612, 19, 253jaoi 1340 . . . 4  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  2  \/  ( # `  V
)  =  3 )  ->  ( V  e. 
Fin  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) ) )
2726com12 32 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  2  \/  ( # `  V
)  =  3 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) ) )
28273ad2ant1 1035 . 2  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 )  ->  ( ( (
# `  V )  =  1  \/  ( # `
 V )  =  2  \/  ( # `  V )  =  3 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) ) )
293, 28mpd 15 1  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  <_  3 )  ->  E. a E. b E. c ( V  =  { a }  \/  V  =  { a ,  b }  \/  V  =  { a ,  b ,  c } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    \/ w3o 990    /\ w3a 991    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   {csn 3979   {cpr 3981   {ctp 3983   class class class wbr 4415   ` cfv 5600   Fincfn 7594   1c1 9565    <_ cle 9701   2c2 10686   3c3 10687   NN0cn0 10897   #chash 12546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-3o 7209  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-hash 12547
This theorem is referenced by:  friendship  25898
  Copyright terms: Public domain W3C validator