MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Structured version   Unicode version

Theorem hash1snb 12438
Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
Distinct variable group:    V, a
Allowed substitution hint:    W( a)

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( # `
 V )  =  1 )
2 hash1 12429 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  1o )  =  1
31, 2syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( # `
 V )  =  ( # `  1o ) )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  -> 
( # `  V )  =  ( # `  1o ) )
5 1onn 7285 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  om
6 nnfi 7707 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
75, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  1o  e.  Fin )
8 hashen 12382 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  1o )  <->  V  ~~  1o ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  1o )  <->  V  ~~  1o ) )
104, 9mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  V  ~~  1o )
11 en1 7579 . . . . . 6  |-  ( V 
~~  1o  <->  E. a  V  =  { a } )
1210, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  E. a  V  =  { a } )
1312ex 434 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
1413a1d 25 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  e.  W  ->  ( ( # `  V
)  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) ) )
15 hashinf 12372 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  ( # `  V
)  = +oo )
16 eqeq1 2471 . . . . . 6  |-  ( (
# `  V )  = +oo  ->  ( ( # `
 V )  =  1  <-> +oo  =  1 ) )
17 1re 9591 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
18 renepnf 9637 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  =/= +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  =/= +oo
20 df-ne 2664 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =/= +oo  <->  -.  1  = +oo )
21 pm2.21 108 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  1  = +oo  ->  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  {
a } ) )
2220, 21sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/= +oo  ->  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  { a } )
2423eqcoms 2479 . . . . . 6  |-  ( +oo  =  1  ->  E. a  V  =  { a } )
2516, 24syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  = +oo  ->  ( ( # `
 V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2615, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  ( ( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2726expcom 435 . . 3  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( V  e.  W  -> 
( ( # `  V
)  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) ) )
2814, 27pm2.61i 164 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
29 fveq2 5864 . . . 4  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  ( # `  { a } ) )
30 vex 3116 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
31 hashsng 12400 . . . . 5  |-  ( a  e.  _V  ->  ( # `
 { a } )  =  1 )
3230, 31ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  { a } )  =  1
3329, 32syl6eq 2524 . . 3  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  1 )
3433exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. a  V  =  {
a }  ->  ( # `
 V )  =  1 )
3528, 34impbid1 203 1  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   omcom 6678   1oc1o 7120    ~~ cen 7510   Fincfn 7513   RRcr 9487   1c1 9489   +oocpnf 9621   #chash 12367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12368
This theorem is referenced by:  hash1to3  12490  cshwrepswhash1  14438  mat1scmat  18805  tgldim0eq  23619  usgrafisindb1  24082  rusgrasn  24618  vdfrgra0  24695  vdgfrgra0  24696  vdn1frgrav2  24699  vdgn1frgrav2  24700  frgrawopreg1  24724  frgrawopreg2  24725  usgo1s0ALT  31906  usgo1s0  31911
  Copyright terms: Public domain W3C validator