MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Structured version   Unicode version

Theorem hash1snb 12169
Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
Distinct variable group:    V, a
Allowed substitution hint:    W( a)

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( # `
 V )  =  1 )
2 hash1 12160 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  1o )  =  1
31, 2syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( # `
 V )  =  ( # `  1o ) )
43adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  -> 
( # `  V )  =  ( # `  1o ) )
5 1onn 7076 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  om
6 nnfi 7501 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
75, 6mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  1o  e.  Fin )
8 hashen 12116 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  1o )  <->  V  ~~  1o ) )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  1o )  <->  V  ~~  1o ) )
104, 9mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  V  ~~  1o )
11 en1 7374 . . . . . 6  |-  ( V 
~~  1o  <->  E. a  V  =  { a } )
1210, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  E. a  V  =  { a } )
1312ex 434 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
1413a1d 25 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  e.  W  ->  ( ( # `  V
)  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) ) )
15 hashinf 12106 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  ( # `  V
)  = +oo )
16 eqeq1 2447 . . . . . 6  |-  ( (
# `  V )  = +oo  ->  ( ( # `
 V )  =  1  <-> +oo  =  1 ) )
17 1re 9383 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
18 renepnf 9429 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  =/= +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  =/= +oo
20 df-ne 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =/= +oo  <->  -.  1  = +oo )
21 pm2.21 108 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  1  = +oo  ->  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  {
a } ) )
2220, 21sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/= +oo  ->  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  { a } )
2423eqcoms 2444 . . . . . 6  |-  ( +oo  =  1  ->  E. a  V  =  { a } )
2516, 24syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  = +oo  ->  ( ( # `
 V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2615, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  ( ( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2726expcom 435 . . 3  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( V  e.  W  -> 
( ( # `  V
)  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) ) )
2814, 27pm2.61i 164 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
29 fveq2 5689 . . . 4  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  ( # `  { a } ) )
30 vex 2973 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
31 hashsng 12134 . . . . 5  |-  ( a  e.  _V  ->  ( # `
 { a } )  =  1 )
3230, 31ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  { a } )  =  1
3329, 32syl6eq 2489 . . 3  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  1 )
3433exlimiv 1688 . 2  |-  ( E. a  V  =  {
a }  ->  ( # `
 V )  =  1 )
3528, 34impbid1 203 1  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2604   _Vcvv 2970   {csn 3875   class class class wbr 4290   ` cfv 5416   omcom 6474   1oc1o 6911    ~~ cen 7305   Fincfn 7308   RRcr 9279   1c1 9281   +oocpnf 9413   #chash 12101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102
This theorem is referenced by:  cshwrepswhash1  14127  tgldim0eq  22954  usgrafisindb1  23320  hash1to3  30232  rusgrasn  30554  vdfrgra0  30611  vdgfrgra0  30612  vdn1frgrav2  30615  vdgn1frgrav2  30616  frgrawopreg1  30640  frgrawopreg2  30641
  Copyright terms: Public domain W3C validator