MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Structured version   Unicode version

Theorem hash1snb 12598
Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
Distinct variable group:    V, a
Allowed substitution hint:    W( a)

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( # `
 V )  =  1 )
2 hash1 12588 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  1o )  =  1
31, 2syl6eqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( # `
 V )  =  ( # `  1o ) )
43adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  -> 
( # `  V )  =  ( # `  1o ) )
5 1onn 7352 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  om
6 nnfi 7775 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
75, 6mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  1o  e.  Fin )
8 hashen 12537 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  1o )  <->  V  ~~  1o ) )
97, 8sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( # `  1o )  <->  V  ~~  1o ) )
104, 9mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  V  ~~  1o )
11 en1 7647 . . . . . 6  |-  ( V 
~~  1o  <->  E. a  V  =  { a } )
1210, 11sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  E. a  V  =  { a } )
1312ex 435 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
1413a1d 26 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  e.  W  ->  ( ( # `  V
)  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) ) )
15 hashinf 12527 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  ( # `  V
)  = +oo )
16 eqeq1 2426 . . . . . 6  |-  ( (
# `  V )  = +oo  ->  ( ( # `
 V )  =  1  <-> +oo  =  1 ) )
17 1re 9650 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
18 renepnf 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  =/= +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  =/= +oo
20 df-ne 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =/= +oo  <->  -.  1  = +oo )
21 pm2.21 111 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  1  = +oo  ->  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  {
a } ) )
2220, 21sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/= +oo  ->  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 1  = +oo  ->  E. a  V  =  { a } )
2423eqcoms 2434 . . . . . 6  |-  ( +oo  =  1  ->  E. a  V  =  { a } )
2516, 24syl6bi 231 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  = +oo  ->  ( ( # `
 V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2615, 25syl 17 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  ( ( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
2726expcom 436 . . 3  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( V  e.  W  -> 
( ( # `  V
)  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) ) )
2814, 27pm2.61i 167 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  ->  E. a  V  =  { a } ) )
29 fveq2 5882 . . . 4  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  ( # `  { a } ) )
30 vex 3083 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
31 hashsng 12556 . . . . 5  |-  ( a  e.  _V  ->  ( # `
 { a } )  =  1 )
3230, 31ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  { a } )  =  1
3329, 32syl6eq 2479 . . 3  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  1 )
3433exlimiv 1770 . 2  |-  ( E. a  V  =  {
a }  ->  ( # `
 V )  =  1 )
3528, 34impbid1 206 1  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080   {csn 3998   class class class wbr 4423   ` cfv 5601   omcom 6707   1oc1o 7187    ~~ cen 7578   Fincfn 7581   RRcr 9546   1c1 9548   +oocpnf 9680   #chash 12522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-fz 11793  df-hash 12523
This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  12643  hash1to3  12653  cshwrepswhash1  15073  mat1scmat  19563  tgldim0eq  24546  usgrafisindb1  25136  rusgrasn  25672  vdfrgra0  25749  vdn1frgrav2  25752  vdgn1frgrav2  25753  frgrawopreg1  25777  frgrawopreg2  25778  upgredg  39048  usgr1v0e  39186  nbgr1vtx  39220  uvtxa01vtx0  39257  cplgr1v  39283  usgo1s0ALT  39398  usgo1s0  39403  c0snmgmhm  39563
  Copyright terms: Public domain W3C validator