MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harword Structured version   Unicode version

Theorem harword 8089
Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harword  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )

Proof of Theorem harword
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtr 7632 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<_  X  /\  X  ~<_  Y )  ->  y  ~<_  Y )
21expcom 436 . . . 4  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
32adantr 466 . . 3  |-  ( ( X  ~<_  Y  /\  y  e.  On )  ->  (
y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
43ss2rabdv 3542 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  { y  e.  On  |  y  ~<_  X }  C_  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
5 reldom 7586 . . . 4  |-  Rel  ~<_
65brrelexi 4894 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  e.  _V )
7 harval 8086 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  X } )
95brrelex2i 4895 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  Y  e.  _V )
10 harval 8086 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  (har `  Y )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  Y } )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  Y
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
124, 8, 113sstr4d 3507 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2775   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   class class class wbr 4423   Oncon0 5442   ` cfv 5601    ~<_ cdom 7578  harchar 8080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-en 7581  df-dom 7582  df-oi 8034  df-har 8082
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8865
  Copyright terms: Public domain W3C validator