MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harword Structured version   Unicode version

Theorem harword 8024
Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harword  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )

Proof of Theorem harword
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtr 7605 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<_  X  /\  X  ~<_  Y )  ->  y  ~<_  Y )
21expcom 433 . . . 4  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
32adantr 463 . . 3  |-  ( ( X  ~<_  Y  /\  y  e.  On )  ->  (
y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
43ss2rabdv 3519 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  { y  e.  On  |  y  ~<_  X }  C_  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
5 reldom 7559 . . . 4  |-  Rel  ~<_
65brrelexi 4863 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  e.  _V )
7 harval 8021 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  X } )
95brrelex2i 4864 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  Y  e.  _V )
10 harval 8021 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  (har `  Y )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  Y } )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  Y
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
124, 8, 113sstr4d 3484 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   Oncon0 5409   ` cfv 5568    ~<_ cdom 7551  harchar 8015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-en 7554  df-dom 7555  df-oi 7968  df-har 8017
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8839
  Copyright terms: Public domain W3C validator