MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harword Structured version   Unicode version

Theorem harword 7987
Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harword  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )

Proof of Theorem harword
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtr 7565 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<_  X  /\  X  ~<_  Y )  ->  y  ~<_  Y )
21expcom 435 . . . 4  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  ~<_  Y  /\  y  e.  On )  ->  (
y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
43ss2rabdv 3581 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  { y  e.  On  |  y  ~<_  X }  C_  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
5 reldom 7519 . . . 4  |-  Rel  ~<_
65brrelexi 5039 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  e.  _V )
7 harval 7984 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  X } )
95brrelex2i 5040 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  Y  e.  _V )
10 harval 7984 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  (har `  Y )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  Y } )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  Y
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
124, 8, 113sstr4d 3547 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   Oncon0 4878   ` cfv 5586    ~<_ cdom 7511  harchar 7978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-recs 7039  df-en 7514  df-dom 7515  df-oi 7931  df-har 7980
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8804
  Copyright terms: Public domain W3C validator