Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harn0 Structured version   Unicode version

Theorem harn0 29607
Description: The Hartogs number of a set is never zero. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harn0  |-  ( S  e.  V  ->  (har `  S )  =/=  (/) )

Proof of Theorem harn0
StepHypRef Expression
1 0elon 4881 . . . 4  |-  (/)  e.  On
21a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (/)  e.  On )
3 0domg 7549 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (/)  ~<_  S )
4 elharval 7890 . . 3  |-  ( (/)  e.  (har `  S )  <->  (
(/)  e.  On  /\  (/)  ~<_  S ) )
52, 3, 4sylanbrc 664 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (/)  e.  (har
`  S ) )
6 ne0i 3752 . 2  |-  ( (/)  e.  (har `  S )  ->  (har `  S )  =/=  (/) )
75, 6syl 16 1  |-  ( S  e.  V  ->  (har `  S )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2648   (/)c0 3746   class class class wbr 4401   Oncon0 4828   ` cfv 5527    ~<_ cdom 7419  harchar 7883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-recs 6943  df-en 7422  df-dom 7423  df-oi 7836  df-har 7885
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  29611  dfacbasgrp  29613
  Copyright terms: Public domain W3C validator