Theorem harmonicbnd4 24015

Description: The asymptotic behavior of sum_ m <_ A , 1 / m = log A + gamma + O ( 1 / A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd4	|- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Distinct variable group:   A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12224	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
2		elfznn 11854	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> m e. NN )
3	2	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> m e. NN )
4	3	nnrecred 10677	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
5	1, 4	fsumrecl 13877	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. RR )
6	5	recnd 9687	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. CC )
7		relogcl 23604	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
8	7	recnd 9687	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. CC )
9		emre 24010	. . . . . 6 |- gamma e. RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> gamma e. RR )
11	10	recnd 9687	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> gamma e. CC )
12	6, 8, 11	subsub4d 10036	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) )
13	12	fveq2d 5883	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) )
14		rpreccl 11349	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR+ )
15	14	rpred 11364	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR )
16		resubcl 9958	. . . . 5 |- ( ( gamma e. RR /\ ( 1 / A ) e. RR ) -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
17	9, 15, 16	sylancr 676	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
18		rprege0 11339	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
19		flge0nn0 12087	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
21		nn0p1nn 10933	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
23	22	nnrpd 11362	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ )
24		relogcl 23604	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
26	5, 25	resubcld 10068	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
27	5, 7	resubcld 10068	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) e. RR )
28	22	nnrecred 10677	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
29		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
30		elfznn 11854	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> m e. NN )
31	30	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	31	nnrecred 10677	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
33	29, 32	fsumrecl 13877	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. RR )
34	33, 25	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
35		harmonicbnd 24008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
36	22, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
37		1re 9660	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
38	9, 37	elicc2i 11725	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ 1 ) )
39	38	simp2bi 1046	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
40	36, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
41		rpre 11331	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
42		fllep1 12070	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
44		rpregt0 11338	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
45	22	nnred 10646	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
46	22	nngt0d 10675	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
47		lerec 10511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
48	44, 45, 46, 47	syl12anc 1290	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
49	43, 48	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) )
50	10, 28, 34, 15, 40, 49	le2subd 10254	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
51	33	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. CC )
52	25	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
53	28	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
54	51, 52, 53	sub32d 10037	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
55		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
56	22, 55	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
57	32	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
58		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	56, 57, 58	fsumm1 13889	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
60	20	nn0cnd 10951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. CC )
61		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
62		pncan 9901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
63	60, 61, 62	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
64	63	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
65	64	sumeq1d 13844	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
66	65	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
67	59, 66	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
68	67	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
69	6, 53	pncand 10006	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
70	68, 69	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
71	70	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
72	54, 71	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
73	50, 72	breqtrd 4420	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
74		logleb 23631	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
75	23, 74	mpdan 681	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
76	43, 75	mpbid 215	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
77	7, 25, 5, 76	lesub2dd 10251	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
78	17, 26, 27, 73, 77	letrd 9809	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
79	27, 15	resubcld 10068	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) e. RR )
80	15	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. CC )
81	6, 8, 80	subsub4d 10036	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
82	7, 15	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) e. RR )
83		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> A e. RR+ )
84	23, 83	relogdivd 23654	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) = ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) )
85		rerpdivcl 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
86	45, 85	mpancom 682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
87	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> 1 e. RR )
88	87, 15	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) e. RR )
89	15	reefcld 14219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR )
90	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> 1 e. CC )
91		rpcnne0 11342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
92		divdir 10315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
93	60, 90, 91, 92	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
94		reflcl 12065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
95	41, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. RR )
96		rerpdivcl 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
97	95, 96	mpancom 682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
98		flle 12068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
99	41, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ A )
100		rpcn 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR+ -> A e. CC )
101	100	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( A x. 1 ) = A )
102	99, 101	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) )
103		ledivmul 10503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
104	95, 87, 44, 103	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
105	102, 104	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 )
106	97, 87, 15, 105	leadd1dd 10248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
107	93, 106	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
108		efgt1p 14246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / A ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
109	14, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
110	88, 89, 109	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
111	86, 88, 89, 107, 110	letrd 9809	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
112		rpdivcl 11348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
113	23, 112	mpancom 682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
114	15	rpefcld 14236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR+ )
115	113, 114	logled 23655	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) <-> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) ) )
116	111, 115	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) )
117	15	relogefd 23656	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) = ( 1 / A ) )
118	116, 117	breqtrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( 1 / A ) )
119	84, 118	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) )
120	25, 7, 15	lesubadd2d 10233	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
121	119, 120	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) )
122	25, 82, 5, 121	lesub2dd 10251	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
123	81, 122	eqbrtrd 4416	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
124		harmonicbnd3 24012	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
125	20, 124	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
126		0re 9661	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
127	126, 9	elicc2i 11725	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma ) )
128	127	simp3bi 1047	. . . . . 6 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
129	125, 128	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
130	79, 26, 10, 123, 129	letrd 9809	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma )
131	27, 15, 10	lesubaddd 10231	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma <-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) )
132	130, 131	mpbid 215	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) )
133	27, 10, 15	absdifled 13573	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) ) )
134	78, 132, 133	mpbir2and 936	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) )
135	13, 134	eqbrtrrd 4418	1 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,]cicc 11663   ...cfz 11810   |_cfl 12059   abscabs 13374   sum_csu 13829   expce 14191   logclog 23583   gammacem 23996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-em 23997

This theorem is referenced by:  mulogsumlem  24448  mulog2sumlem1  24451