Theorem harmonicbnd4 22384

Description: The asymptotic behavior of sum_ m <_ A , 1 / m = log A + gamma + O ( 1 / A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd4	|- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Distinct variable group:   A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11787	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
2		elfznn 11470	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> m e. NN )
3	2	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> m e. NN )
4	3	nnrecred 10359	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
5	1, 4	fsumrecl 13203	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. RR )
6	5	recnd 9404	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. CC )
7		relogcl 22007	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
8	7	recnd 9404	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. CC )
9		emre 22379	. . . . . 6 |- gamma e. RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> gamma e. RR )
11	10	recnd 9404	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> gamma e. CC )
12	6, 8, 11	subsub4d 9742	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) )
13	12	fveq2d 5690	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) )
14		rpreccl 11006	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR+ )
15	14	rpred 11019	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR )
16		resubcl 9665	. . . . 5 |- ( ( gamma e. RR /\ ( 1 / A ) e. RR ) -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
17	9, 15, 16	sylancr 663	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
18		rprege0 10997	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
19		flge0nn0 11658	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
21		nn0p1nn 10611	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
23	22	nnrpd 11018	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ )
24		relogcl 22007	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
25	23, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
26	5, 25	resubcld 9768	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
27	5, 7	resubcld 9768	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) e. RR )
28	22	nnrecred 10359	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
29		fzfid 11787	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
30		elfznn 11470	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> m e. NN )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	31	nnrecred 10359	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
33	29, 32	fsumrecl 13203	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. RR )
34	33, 25	resubcld 9768	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
35		harmonicbnd 22377	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
36	22, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
37		1re 9377	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
38	9, 37	elicc2i 11353	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ 1 ) )
39	38	simp2bi 1004	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
40	36, 39	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
41		rpre 10989	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
42		fllep1 11643	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
44		rpregt0 10996	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
45	22	nnred 10329	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
46	22	nngt0d 10357	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
47		lerec 10206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
48	44, 45, 46, 47	syl12anc 1216	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
49	43, 48	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) )
50	10, 28, 34, 15, 40, 49	le2subd 9950	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
51	33	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. CC )
52	25	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
53	28	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
54	51, 52, 53	sub32d 9743	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
55		nnuz 10888	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
56	22, 55	syl6eleq 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
57	32	recnd 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
58		oveq2 6094	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	56, 57, 58	fsumm1 13212	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
60	20	nn0cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. CC )
61		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
62		pncan 9608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
63	60, 61, 62	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
64	63	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
65	64	sumeq1d 13170	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
66	65	oveq1d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
67	59, 66	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
68	67	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
69	6, 53	pncand 9712	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
70	68, 69	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
71	70	oveq1d 6101	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
72	54, 71	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
73	50, 72	breqtrd 4311	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
74		logleb 22032	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
75	23, 74	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
76	43, 75	mpbid 210	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
77	7, 25, 5, 76	lesub2dd 9948	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
78	17, 26, 27, 73, 77	letrd 9520	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
79	27, 15	resubcld 9768	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) e. RR )
80	15	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. CC )
81	6, 8, 80	subsub4d 9742	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
82	7, 15	readdcld 9405	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) e. RR )
83		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> A e. RR+ )
84	23, 83	relogdivd 22055	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) = ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) )
85		rerpdivcl 11010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
86	45, 85	mpancom 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
87	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> 1 e. RR )
88	87, 15	readdcld 9405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) e. RR )
89	15	reefcld 13365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR )
90	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> 1 e. CC )
91		rpcnne0 11000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
92		divdir 10009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
93	60, 90, 91, 92	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
94		reflcl 11638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
95	41, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. RR )
96		rerpdivcl 11010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
97	95, 96	mpancom 669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
98		flle 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
99	41, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ A )
100		rpcn 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR+ -> A e. CC )
101	100	mulid1d 9395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( A x. 1 ) = A )
102	99, 101	breqtrrd 4313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) )
103		ledivmul 10197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
104	95, 87, 44, 103	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
105	102, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 )
106	97, 87, 15, 105	leadd1dd 9945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
107	93, 106	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
108		efgt1p 13391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / A ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
109	14, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
110	88, 89, 109	ltled 9514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
111	86, 88, 89, 107, 110	letrd 9520	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
112		rpdivcl 11005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
113	23, 112	mpancom 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
114	15	rpefcld 13381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR+ )
115	113, 114	logled 22056	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) <-> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) ) )
116	111, 115	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) )
117	15	relogefd 22057	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) = ( 1 / A ) )
118	116, 117	breqtrd 4311	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( 1 / A ) )
119	84, 118	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) )
120	25, 7, 15	lesubadd2d 9930	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
121	119, 120	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) )
122	25, 82, 5, 121	lesub2dd 9948	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
123	81, 122	eqbrtrd 4307	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
124		harmonicbnd3 22381	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
125	20, 124	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
126		0re 9378	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
127	126, 9	elicc2i 11353	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma ) )
128	127	simp3bi 1005	. . . . . 6 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
129	125, 128	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
130	79, 26, 10, 123, 129	letrd 9520	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma )
131	27, 15, 10	lesubaddd 9928	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma <-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) )
132	130, 131	mpbid 210	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) )
133	27, 10, 15	absdifled 12913	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) ) )
134	78, 132, 133	mpbir2and 913	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) )
135	13, 134	eqbrtrrd 4309	1 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   [,]cicc 11295   ...cfz 11429   |_cfl 11632   abscabs 12715   sum_csu 13155   expce 13339   logclog 21986   gammacem 22365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-em 22366

This theorem is referenced by:  mulogsumlem  22760  mulog2sumlem1  22763