Theorem harmonicbnd4 22520

Description: The asymptotic behavior of sum_ m <_ A , 1 / m = log A + gamma + O ( 1 / A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd4	|- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Distinct variable group:   A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11896	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
2		elfznn 11579	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> m e. NN )
3	2	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> m e. NN )
4	3	nnrecred 10468	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
5	1, 4	fsumrecl 13313	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. RR )
6	5	recnd 9513	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. CC )
7		relogcl 22143	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
8	7	recnd 9513	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. CC )
9		emre 22515	. . . . . 6 |- gamma e. RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> gamma e. RR )
11	10	recnd 9513	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> gamma e. CC )
12	6, 8, 11	subsub4d 9851	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) )
13	12	fveq2d 5793	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) )
14		rpreccl 11115	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR+ )
15	14	rpred 11128	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR )
16		resubcl 9774	. . . . 5 |- ( ( gamma e. RR /\ ( 1 / A ) e. RR ) -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
17	9, 15, 16	sylancr 663	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
18		rprege0 11106	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
19		flge0nn0 11767	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
21		nn0p1nn 10720	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
23	22	nnrpd 11127	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ )
24		relogcl 22143	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
25	23, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
26	5, 25	resubcld 9877	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
27	5, 7	resubcld 9877	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) e. RR )
28	22	nnrecred 10468	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
29		fzfid 11896	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
30		elfznn 11579	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> m e. NN )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	31	nnrecred 10468	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
33	29, 32	fsumrecl 13313	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. RR )
34	33, 25	resubcld 9877	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
35		harmonicbnd 22513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
36	22, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
37		1re 9486	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
38	9, 37	elicc2i 11462	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ 1 ) )
39	38	simp2bi 1004	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
40	36, 39	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
41		rpre 11098	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
42		fllep1 11752	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
44		rpregt0 11105	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
45	22	nnred 10438	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
46	22	nngt0d 10466	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
47		lerec 10315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
48	44, 45, 46, 47	syl12anc 1217	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
49	43, 48	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) )
50	10, 28, 34, 15, 40, 49	le2subd 10059	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
51	33	recnd 9513	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. CC )
52	25	recnd 9513	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
53	28	recnd 9513	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
54	51, 52, 53	sub32d 9852	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
55		nnuz 10997	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
56	22, 55	syl6eleq 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
57	32	recnd 9513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
58		oveq2 6198	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	56, 57, 58	fsumm1 13322	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
60	20	nn0cnd 10739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. CC )
61		ax-1cn 9441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
62		pncan 9717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
63	60, 61, 62	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
64	63	oveq2d 6206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
65	64	sumeq1d 13280	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
66	65	oveq1d 6205	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
67	59, 66	eqtrd 2492	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
68	67	oveq1d 6205	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
69	6, 53	pncand 9821	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
70	68, 69	eqtrd 2492	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
71	70	oveq1d 6205	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
72	54, 71	eqtrd 2492	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
73	50, 72	breqtrd 4414	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
74		logleb 22168	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
75	23, 74	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
76	43, 75	mpbid 210	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
77	7, 25, 5, 76	lesub2dd 10057	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
78	17, 26, 27, 73, 77	letrd 9629	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
79	27, 15	resubcld 9877	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) e. RR )
80	15	recnd 9513	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. CC )
81	6, 8, 80	subsub4d 9851	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
82	7, 15	readdcld 9514	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) e. RR )
83		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> A e. RR+ )
84	23, 83	relogdivd 22191	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) = ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) )
85		rerpdivcl 11119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
86	45, 85	mpancom 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
87	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> 1 e. RR )
88	87, 15	readdcld 9514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) e. RR )
89	15	reefcld 13475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR )
90	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> 1 e. CC )
91		rpcnne0 11109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
92		divdir 10118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
93	60, 90, 91, 92	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
94		reflcl 11747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
95	41, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. RR )
96		rerpdivcl 11119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
97	95, 96	mpancom 669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
98		flle 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
99	41, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ A )
100		rpcn 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR+ -> A e. CC )
101	100	mulid1d 9504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( A x. 1 ) = A )
102	99, 101	breqtrrd 4416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) )
103		ledivmul 10306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
104	95, 87, 44, 103	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
105	102, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 )
106	97, 87, 15, 105	leadd1dd 10054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
107	93, 106	eqbrtrd 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
108		efgt1p 13501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / A ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
109	14, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
110	88, 89, 109	ltled 9623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
111	86, 88, 89, 107, 110	letrd 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
112		rpdivcl 11114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
113	23, 112	mpancom 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
114	15	rpefcld 13491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR+ )
115	113, 114	logled 22192	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) <-> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) ) )
116	111, 115	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) )
117	15	relogefd 22193	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) = ( 1 / A ) )
118	116, 117	breqtrd 4414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( 1 / A ) )
119	84, 118	eqbrtrrd 4412	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) )
120	25, 7, 15	lesubadd2d 10039	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
121	119, 120	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) )
122	25, 82, 5, 121	lesub2dd 10057	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
123	81, 122	eqbrtrd 4410	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
124		harmonicbnd3 22517	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
125	20, 124	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
126		0re 9487	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
127	126, 9	elicc2i 11462	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma ) )
128	127	simp3bi 1005	. . . . . 6 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
129	125, 128	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
130	79, 26, 10, 123, 129	letrd 9629	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma )
131	27, 15, 10	lesubaddd 10037	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma <-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) )
132	130, 131	mpbid 210	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) )
133	27, 10, 15	absdifled 13023	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) ) )
134	78, 132, 133	mpbir2and 913	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) )
135	13, 134	eqbrtrrd 4412	1 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   x. cmul 9388   < clt 9519   <_ cle 9520   - cmin 9696   / cdiv 10094   NNcn 10423   NN0cn0 10680   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   [,]cicc 11404   ...cfz 11538   |_cfl 11741   abscabs 12825   sum_csu 13265   expce 13449   logclog 22122   gammacem 22501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-e 13456  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124  df-em 22502

This theorem is referenced by:  mulogsumlem  22896  mulog2sumlem1  22899