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Theorem harmonicbnd4 20802
Description: The asymptotic behavior of  sum_ m  <_  A ,  1  /  m  =  log A  +  gamma  +  O ( 1  /  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Distinct variable group:    A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11036 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
32adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
43nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
51, 4fsumrecl 12483 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
65recnd 9070 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
7 relogcl 20426 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
87recnd 9070 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
9 emre 20797 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  RR )
1110recnd 9070 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
126, 8, 11subsub4d 9398 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )
1312fveq2d 5691 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) ) )
14 rpreccl 10591 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
1514rpred 10604 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR )
16 resubcl 9321 . . . . 5  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  (
1  /  A )  e.  RR )  -> 
( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
179, 15, 16sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
18 rprege0 10582 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
19 flge0nn0 11180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
21 nn0p1nn 10215 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2322nnrpd 10603 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
24 relogcl 20426 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
265, 25resubcld 9421 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
275, 7resubcld 9421 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
2822nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  RR )
29 fzfid 11267 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e. 
Fin )
30 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3231nnrecred 10001 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3329, 32fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
3433, 25resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
35 harmonicbnd 20795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
3622, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
37 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
389, 37elicc2i 10932 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
3938simp2bi 973 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
4036, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ) )
41 rpre 10574 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
42 fllep1 11165 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
44 rpregt0 10581 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
4522nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
4622nngt0d 9999 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
47 lerec 9848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  A ) ) )
4844, 45, 46, 47syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
4943, 48mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) )
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 9601 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
5133recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  CC )
5225recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5328recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5451, 52, 53sub32d 9399 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
55 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5622, 55syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5732recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
58 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5956, 57, 58fsumm1 12492 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6020nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
61 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
62 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  A ) )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  A
) )
6463oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
6564sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( ( |_ `  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
6665oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6759, 66eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6867oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  +  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
696, 53pncand 9368 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7068, 69eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7170oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7254, 71eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7350, 72breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
74 logleb 20451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7523, 74mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7643, 75mpbid 202 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
777, 25, 5, 76lesub2dd 9599 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) ) )
7817, 26, 27, 73, 77letrd 9183 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) ) )
7927, 15resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  e.  RR )
8015recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
816, 8, 80subsub4d 9398 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) ) )
827, 15readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
83 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR+ )
8423, 83relogdivd 20474 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  =  ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) ) )
85 rerpdivcl 10595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  e.  RR )
8645, 85mpancom 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR )
8737a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
8887, 15readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
8915reefcld 12645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR )
9061a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  CC )
91 rpcnne0 10585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
92 divdir 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
9360, 90, 91, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
94 reflcl 11160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
9541, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
96 rerpdivcl 10595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  A )  /  A
)  e.  RR )
9795, 96mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  e.  RR )
98 flle 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
9941, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
100 rpcn 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
101100mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
10299, 101breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_ 
( A  x.  1 ) )
103 ledivmul 9839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
10495, 87, 44, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
105102, 104mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  <_ 
1 )
10697, 87, 15, 105leadd1dd 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
10793, 106eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
108 efgt1p 12671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
10914, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11088, 89, 109ltled 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11186, 88, 89, 107, 110letrd 9183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
112 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11323, 112mpancom 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11415rpefcld 12661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR+ )
115113, 114logled 20475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  <_  ( exp `  (
1  /  A ) )  <->  ( log `  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A ) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) ) )
116111, 115mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) )
11715relogefd 20476 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) )  =  ( 1  /  A ) )
118116, 117breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
11984, 118eqbrtrrd 4194 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  -  ( log `  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
12025, 7, 15lesubadd2d 9581 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) )  <_ 
( 1  /  A
)  <->  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A
) ) ) )
121119, 120mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <_  (
( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )
12225, 82, 5, 121lesub2dd 9599 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
12381, 122eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
124 harmonicbnd3 20799 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
12520, 124syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
126 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
127126, 9elicc2i 10932 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma ) )
128127simp3bi 974 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
129125, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
13079, 26, 10, 123, 129letrd 9183 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  gamma )
13127, 15, 10lesubaddd 9579 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  ( 1  /  A
) )  <_  gamma  <->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) ) )
132130, 131mpbid 202 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) )
13327, 10, 15absdifled 12192 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma ) )  <_  ( 1  /  A )  <->  ( ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  <_ 
( gamma  +  ( 1  /  A ) ) ) ) )
13478, 132, 133mpbir2and 889 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  <_  (
1  /  A ) )
13513, 134eqbrtrrd 4194 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   |_cfl 11156   abscabs 11994   sum_csu 12434   expce 12619   logclog 20405   gammacem 20783
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  21178  mulog2sumlem1  21181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-em 20784
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