Theorem harmonicbnd4 23929

Description: The asymptotic behavior of sum_ m <_ A , 1 / m = log A + gamma + O ( 1 / A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd4	|- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Distinct variable group:   A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12183	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
2		elfznn 11825	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> m e. NN )
3	2	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> m e. NN )
4	3	nnrecred 10652	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
5	1, 4	fsumrecl 13793	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. RR )
6	5	recnd 9666	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. CC )
7		relogcl 23518	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
8	7	recnd 9666	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. CC )
9		emre 23924	. . . . . 6 |- gamma e. RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> gamma e. RR )
11	10	recnd 9666	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> gamma e. CC )
12	6, 8, 11	subsub4d 10014	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) )
13	12	fveq2d 5867	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) )
14		rpreccl 11323	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR+ )
15	14	rpred 11338	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR )
16		resubcl 9935	. . . . 5 |- ( ( gamma e. RR /\ ( 1 / A ) e. RR ) -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
17	9, 15, 16	sylancr 668	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
18		rprege0 11313	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
19		flge0nn0 12051	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
21		nn0p1nn 10906	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
23	22	nnrpd 11336	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ )
24		relogcl 23518	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
26	5, 25	resubcld 10044	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
27	5, 7	resubcld 10044	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) e. RR )
28	22	nnrecred 10652	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
29		fzfid 12183	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
30		elfznn 11825	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> m e. NN )
31	30	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	31	nnrecred 10652	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
33	29, 32	fsumrecl 13793	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. RR )
34	33, 25	resubcld 10044	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
35		harmonicbnd 23922	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
36	22, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
37		1re 9639	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
38	9, 37	elicc2i 11697	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ 1 ) )
39	38	simp2bi 1023	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
40	36, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
41		rpre 11305	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
42		fllep1 12034	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
44		rpregt0 11312	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
45	22	nnred 10621	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
46	22	nngt0d 10650	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
47		lerec 10486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
48	44, 45, 46, 47	syl12anc 1265	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
49	43, 48	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) )
50	10, 28, 34, 15, 40, 49	le2subd 10230	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
51	33	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. CC )
52	25	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
53	28	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
54	51, 52, 53	sub32d 10015	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
55		nnuz 11191	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
56	22, 55	syl6eleq 2538	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
57	32	recnd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
58		oveq2 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	56, 57, 58	fsumm1 13805	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
60	20	nn0cnd 10924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. CC )
61		ax-1cn 9594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
62		pncan 9878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
63	60, 61, 62	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
64	63	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
65	64	sumeq1d 13760	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
66	65	oveq1d 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
67	59, 66	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
68	67	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
69	6, 53	pncand 9984	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
70	68, 69	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
71	70	oveq1d 6303	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
72	54, 71	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
73	50, 72	breqtrd 4426	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
74		logleb 23545	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
75	23, 74	mpdan 673	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
76	43, 75	mpbid 214	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
77	7, 25, 5, 76	lesub2dd 10227	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
78	17, 26, 27, 73, 77	letrd 9789	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
79	27, 15	resubcld 10044	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) e. RR )
80	15	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. CC )
81	6, 8, 80	subsub4d 10014	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
82	7, 15	readdcld 9667	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) e. RR )
83		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> A e. RR+ )
84	23, 83	relogdivd 23568	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) = ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) )
85		rerpdivcl 11327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
86	45, 85	mpancom 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
87	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> 1 e. RR )
88	87, 15	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) e. RR )
89	15	reefcld 14135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR )
90	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> 1 e. CC )
91		rpcnne0 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
92		divdir 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
93	60, 90, 91, 92	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
94		reflcl 12029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
95	41, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. RR )
96		rerpdivcl 11327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
97	95, 96	mpancom 674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
98		flle 12032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
99	41, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ A )
100		rpcn 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR+ -> A e. CC )
101	100	mulid1d 9657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( A x. 1 ) = A )
102	99, 101	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) )
103		ledivmul 10478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
104	95, 87, 44, 103	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
105	102, 104	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 )
106	97, 87, 15, 105	leadd1dd 10224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
107	93, 106	eqbrtrd 4422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
108		efgt1p 14162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / A ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
109	14, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
110	88, 89, 109	ltled 9780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
111	86, 88, 89, 107, 110	letrd 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
112		rpdivcl 11322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
113	23, 112	mpancom 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
114	15	rpefcld 14152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR+ )
115	113, 114	logled 23569	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) <-> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) ) )
116	111, 115	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) )
117	15	relogefd 23570	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) = ( 1 / A ) )
118	116, 117	breqtrd 4426	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( 1 / A ) )
119	84, 118	eqbrtrrd 4424	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) )
120	25, 7, 15	lesubadd2d 10209	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
121	119, 120	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) )
122	25, 82, 5, 121	lesub2dd 10227	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
123	81, 122	eqbrtrd 4422	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
124		harmonicbnd3 23926	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
125	20, 124	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
126		0re 9640	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
127	126, 9	elicc2i 11697	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma ) )
128	127	simp3bi 1024	. . . . . 6 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
129	125, 128	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
130	79, 26, 10, 123, 129	letrd 9789	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma )
131	27, 15, 10	lesubaddd 10207	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma <-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) )
132	130, 131	mpbid 214	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) )
133	27, 10, 15	absdifled 13489	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) ) )
134	78, 132, 133	mpbir2and 932	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) )
135	13, 134	eqbrtrrd 4424	1 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   [,]cicc 11635   ...cfz 11781   |_cfl 12023   abscabs 13290   sum_csu 13745   expce 14107   logclog 23497   gammacem 23910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-em 23911

This theorem is referenced by:  mulogsumlem  24362  mulog2sumlem1  24365