Theorem harmonicbnd4 23666

Description: The asymptotic behavior of sum_ m <_ A , 1 / m = log A + gamma + O ( 1 / A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd4	|- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Distinct variable group:   A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12124	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
2		elfznn 11768	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> m e. NN )
3	2	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> m e. NN )
4	3	nnrecred 10622	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
5	1, 4	fsumrecl 13705	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. RR )
6	5	recnd 9652	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) e. CC )
7		relogcl 23255	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
8	7	recnd 9652	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. CC )
9		emre 23661	. . . . . 6 |- gamma e. RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> gamma e. RR )
11	10	recnd 9652	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> gamma e. CC )
12	6, 8, 11	subsub4d 9998	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) )
13	12	fveq2d 5853	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) )
14		rpreccl 11289	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR+ )
15	14	rpred 11304	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR )
16		resubcl 9919	. . . . 5 |- ( ( gamma e. RR /\ ( 1 / A ) e. RR ) -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
17	9, 15, 16	sylancr 661	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) e. RR )
18		rprege0 11279	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
19		flge0nn0 11992	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. NN0 )
21		nn0p1nn 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN )
23	22	nnrpd 11302	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ )
24		relogcl 23255	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
26	5, 25	resubcld 10028	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
27	5, 7	resubcld 10028	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) e. RR )
28	22	nnrecred 10622	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. RR )
29		fzfid 12124	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
30		elfznn 11768	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> m e. NN )
31	30	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	31	nnrecred 10622	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
33	29, 32	fsumrecl 13705	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. RR )
34	33, 25	resubcld 10028	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
35		harmonicbnd 23659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
36	22, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
37		1re 9625	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
38	9, 37	elicc2i 11644	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ 1 ) )
39	38	simp2bi 1013	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
40	36, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> gamma <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
41		rpre 11271	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
42		fllep1 11975	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
44		rpregt0 11278	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
45	22	nnred 10591	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
46	22	nngt0d 10620	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
47		lerec 10467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
48	44, 45, 46, 47	syl12anc 1228	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
49	43, 48	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( 1 / A ) )
50	10, 28, 34, 15, 40, 49	le2subd 10211	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
51	33	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) e. CC )
52	25	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
53	28	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) e. CC )
54	51, 52, 53	sub32d 9999	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
55		nnuz 11162	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
56	22, 55	syl6eleq 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
57	32	recnd 9652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
58		oveq2 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	56, 57, 58	fsumm1 13717	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
60	20	nn0cnd 10895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. CC )
61		ax-1cn 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
62		pncan 9862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
63	60, 61, 62	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` A ) )
64	63	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
65	64	sumeq1d 13672	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
66	65	oveq1d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
67	59, 66	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
68	67	oveq1d 6293	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
69	6, 53	pncand 9968	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
70	68, 69	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) )
71	70	oveq1d 6293	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
72	54, 71	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) - ( 1 / ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
73	50, 72	breqtrd 4419	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
74		logleb 23282	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ ) -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
75	23, 74	mpdan 666	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
76	43, 75	mpbid 210	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) <_ ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
77	7, 25, 5, 76	lesub2dd 10209	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
78	17, 26, 27, 73, 77	letrd 9773	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) )
79	27, 15	resubcld 10028	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) e. RR )
80	15	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. CC )
81	6, 8, 80	subsub4d 9998	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
82	7, 15	readdcld 9653	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) e. RR )
83		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> A e. RR+ )
84	23, 83	relogdivd 23305	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) = ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) )
85		rerpdivcl 11293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
86	45, 85	mpancom 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR )
87	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> 1 e. RR )
88	87, 15	readdcld 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) e. RR )
89	15	reefcld 14032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR )
90	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> 1 e. CC )
91		rpcnne0 11282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )
92		divdir 10271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( A e. CC /\ A =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
93	60, 90, 91, 92	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) = ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) )
94		reflcl 11970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
95	41, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) e. RR )
96		rerpdivcl 11293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR+ ) -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
97	95, 96	mpancom 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) e. RR )
98		flle 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
99	41, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ A )
100		rpcn 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR+ -> A e. CC )
101	100	mulid1d 9643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR+ -> ( A x. 1 ) = A )
102	99, 101	breqtrrd 4421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) )
103		ledivmul 10459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
104	95, 87, 44, 103	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) <_ ( A x. 1 ) ) )
105	102, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR+ -> ( ( |_ ` A ) / A ) <_ 1 )
106	97, 87, 15, 105	leadd1dd 10206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) / A ) + ( 1 / A ) ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
107	93, 106	eqbrtrd 4415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( 1 + ( 1 / A ) ) )
108		efgt1p 14059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / A ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
109	14, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) < ( exp ` ( 1 / A ) ) )
110	88, 89, 109	ltled 9765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / A ) ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
111	86, 88, 89, 107, 110	letrd 9773	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) )
112		rpdivcl 11288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
113	23, 112	mpancom 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) e. RR+ )
114	15	rpefcld 14049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR+ -> ( exp ` ( 1 / A ) ) e. RR+ )
115	113, 114	logled 23306	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) <_ ( exp ` ( 1 / A ) ) <-> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) ) )
116	111, 115	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) )
117	15	relogefd 23307	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( exp ` ( 1 / A ) ) ) = ( 1 / A ) )
118	116, 117	breqtrd 4419	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) / A ) ) <_ ( 1 / A ) )
119	84, 118	eqbrtrrd 4417	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) )
120	25, 7, 15	lesubadd2d 10191	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) - ( log ` A ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) )
121	119, 120	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ -> ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <_ ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) )
122	25, 82, 5, 121	lesub2dd 10209	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + ( 1 / A ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
123	81, 122	eqbrtrd 4415	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
124		harmonicbnd3 23663	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. NN0 -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
125	20, 124	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) )
126		0re 9626	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
127	126, 9	elicc2i 11644	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) <-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma ) )
128	127	simp3bi 1014	. . . . . 6 |- ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) e. ( 0 [,] gamma ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
129	125, 128	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) <_ gamma )
130	79, 26, 10, 123, 129	letrd 9773	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma )
131	27, 15, 10	lesubaddd 10189	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - ( 1 / A ) ) <_ gamma <-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) )
132	130, 131	mpbid 210	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) )
133	27, 10, 15	absdifled 13415	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) <-> ( ( gamma - ( 1 / A ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) /\ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) <_ ( gamma + ( 1 / A ) ) ) ) )
134	78, 132, 133	mpbir2and 923	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( log ` A ) ) - gamma ) ) <_ ( 1 / A ) )
135	13, 134	eqbrtrrd 4417	1 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` A ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   / cdiv 10247   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZ>=cuz 11127   RR+crp 11265   [,]cicc 11585   ...cfz 11726   |_cfl 11964   abscabs 13216   sum_csu 13657   expce 14006   logclog 23234   gammacem 23647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-e 14013  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-em 23648

This theorem is referenced by:  mulogsumlem  24097  mulog2sumlem1  24100