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Theorem harmonicbnd4 23929
Description: The asymptotic behavior of  sum_ m  <_  A ,  1  /  m  =  log A  +  gamma  +  O ( 1  /  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Distinct variable group:    A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 12183 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11825 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
32adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
43nnrecred 10652 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
51, 4fsumrecl 13793 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
65recnd 9666 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
7 relogcl 23518 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
87recnd 9666 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
9 emre 23924 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  RR )
1110recnd 9666 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
126, 8, 11subsub4d 10014 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )
1312fveq2d 5867 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) ) )
14 rpreccl 11323 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
1514rpred 11338 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR )
16 resubcl 9935 . . . . 5  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  (
1  /  A )  e.  RR )  -> 
( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
179, 15, 16sylancr 668 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
18 rprege0 11313 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
19 flge0nn0 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
21 nn0p1nn 10906 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2322nnrpd 11336 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
24 relogcl 23518 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
2523, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
265, 25resubcld 10044 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
275, 7resubcld 10044 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
2822nnrecred 10652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  RR )
29 fzfid 12183 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e. 
Fin )
30 elfznn 11825 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
3130adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3231nnrecred 10652 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3329, 32fsumrecl 13793 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
3433, 25resubcld 10044 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
35 harmonicbnd 23922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
3622, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
37 1re 9639 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
389, 37elicc2i 11697 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
3938simp2bi 1023 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
4036, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ) )
41 rpre 11305 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
42 fllep1 12034 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
44 rpregt0 11312 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
4522nnred 10621 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
4622nngt0d 10650 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
47 lerec 10486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  A ) ) )
4844, 45, 46, 47syl12anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
4943, 48mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) )
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 10230 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
5133recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  CC )
5225recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5328recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5451, 52, 53sub32d 10015 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
55 nnuz 11191 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5622, 55syl6eleq 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5732recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
58 oveq2 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5956, 57, 58fsumm1 13805 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6020nn0cnd 10924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
61 ax-1cn 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
62 pncan 9878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  A ) )
6360, 61, 62sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  A
) )
6463oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
6564sumeq1d 13760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( ( |_ `  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
6665oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6759, 66eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6867oveq1d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  +  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
696, 53pncand 9984 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7068, 69eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7170oveq1d 6303 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7254, 71eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7350, 72breqtrd 4426 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
74 logleb 23545 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7523, 74mpdan 673 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7643, 75mpbid 214 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
777, 25, 5, 76lesub2dd 10227 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) ) )
7817, 26, 27, 73, 77letrd 9789 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) ) )
7927, 15resubcld 10044 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  e.  RR )
8015recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
816, 8, 80subsub4d 10014 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) ) )
827, 15readdcld 9667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
83 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR+ )
8423, 83relogdivd 23568 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  =  ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) ) )
85 rerpdivcl 11327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  e.  RR )
8645, 85mpancom 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR )
8737a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
8887, 15readdcld 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
8915reefcld 14135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR )
9061a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  CC )
91 rpcnne0 11316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
92 divdir 10290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
9360, 90, 91, 92syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
94 reflcl 12029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
9541, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
96 rerpdivcl 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  A )  /  A
)  e.  RR )
9795, 96mpancom 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  e.  RR )
98 flle 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
9941, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
100 rpcn 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
101100mulid1d 9657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
10299, 101breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_ 
( A  x.  1 ) )
103 ledivmul 10478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
10495, 87, 44, 103syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
105102, 104mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  <_ 
1 )
10697, 87, 15, 105leadd1dd 10224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
10793, 106eqbrtrd 4422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
108 efgt1p 14162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
10914, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11088, 89, 109ltled 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11186, 88, 89, 107, 110letrd 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
112 rpdivcl 11322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11323, 112mpancom 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11415rpefcld 14152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR+ )
115113, 114logled 23569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  <_  ( exp `  (
1  /  A ) )  <->  ( log `  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A ) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) ) )
116111, 115mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) )
11715relogefd 23570 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) )  =  ( 1  /  A ) )
118116, 117breqtrd 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
11984, 118eqbrtrrd 4424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  -  ( log `  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
12025, 7, 15lesubadd2d 10209 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) )  <_ 
( 1  /  A
)  <->  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A
) ) ) )
121119, 120mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <_  (
( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )
12225, 82, 5, 121lesub2dd 10227 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
12381, 122eqbrtrd 4422 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
124 harmonicbnd3 23926 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
12520, 124syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
126 0re 9640 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
127126, 9elicc2i 11697 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma ) )
128127simp3bi 1024 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
129125, 128syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
13079, 26, 10, 123, 129letrd 9789 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  gamma )
13127, 15, 10lesubaddd 10207 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  ( 1  /  A
) )  <_  gamma  <->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) ) )
132130, 131mpbid 214 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) )
13327, 10, 15absdifled 13489 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma ) )  <_  ( 1  /  A )  <->  ( ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  <_ 
( gamma  +  ( 1  /  A ) ) ) ) )
13478, 132, 133mpbir2and 932 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  <_  (
1  /  A ) )
13513, 134eqbrtrrd 4424 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   [,]cicc 11635   ...cfz 11781   |_cfl 12023   abscabs 13290   sum_csu 13745   expce 14107   logclog 23497   gammacem 23910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-em 23911
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  24362  mulog2sumlem1  24365
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