MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd3 Structured version   Unicode version

Theorem harmonicbnd3 23093
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Distinct variable group:    m, N

Proof of Theorem harmonicbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10797 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 0re 9596 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 emre 23091 . . . . 5  |-  gamma  e.  RR
4 2re 10605 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
5 ere 13686 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR
6 egt2lt3 13800 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
76simpli 458 . . . . . . . . 9  |-  2  <  _e
84, 5, 7ltleii 9707 . . . . . . . 8  |-  2  <_  _e
9 2rp 11225 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
10 epr 13802 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR+
11 logleb 22744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) ) )
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) )
138, 12mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  <_ 
( log `  _e )
14 loge 22727 . . . . . . 7  |-  ( log `  _e )  =  1
1513, 14breqtri 4470 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  <_ 
1
16 1re 9595 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
17 relogcl 22719 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
189, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  RR
1916, 18subge0i 10106 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( 1  -  ( log `  2
) )  <->  ( log `  2 )  <_  1
)
2015, 19mpbir 209 . . . . 5  |-  0  <_  ( 1  -  ( log `  2 ) )
213leidi 10087 . . . . 5  |-  gamma  <_  gamma
22 iccss 11592 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\ 
gamma  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  -  ( log `  2 ) )  /\  gamma  <_  gamma )
)  ->  ( (
1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
)
232, 3, 20, 21, 22mp4an 673 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
24 harmonicbnd2 23090 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
2523, 24sseldi 3502 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
26 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
27 fz10 11706 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
2928sumeq1d 13486 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m ) )
30 sum0 13506 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m )  =  0
3129, 30syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  0 )
32 oveq1 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
33 0p1e1 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3432, 33syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  1 )
3534fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  ( log `  1
) )
36 log1 22726 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
3735, 36syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
3831, 37oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
39 0m0e0 10645 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4038, 39syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  0 )
412leidi 10087 . . . . 5  |-  0  <_  0
42 emgt0 23092 . . . . . 6  |-  0  <  gamma
432, 3, 42ltleii 9707 . . . . 5  |-  0  <_ 
gamma
442, 3elicc2i 11590 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,]
gamma )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0  /\  0  <_  gamma
) )
452, 41, 43, 44mpbir3an 1178 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] gamma )
4640, 45syl6eqel 2563 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
4725, 46jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
481, 47sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   3c3 10586   NN0cn0 10795   RR+crp 11220   [,]cicc 11532   ...cfz 11672   sum_csu 13471   _eceu 13660   logclog 22698   gammacem 23077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-em 23078
This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  23094  harmonicbnd4  23096  logdivbnd  23497
  Copyright terms: Public domain W3C validator