MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd3 Structured version   Unicode version

Theorem harmonicbnd3 22376
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Distinct variable group:    m, N

Proof of Theorem harmonicbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10573 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 0re 9378 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 emre 22374 . . . . 5  |-  gamma  e.  RR
4 2re 10383 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
5 ere 13366 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR
6 egt2lt3 13480 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
76simpli 458 . . . . . . . . 9  |-  2  <  _e
84, 5, 7ltleii 9489 . . . . . . . 8  |-  2  <_  _e
9 2rp 10988 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
10 epr 13482 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR+
11 logleb 22027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) ) )
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) )
138, 12mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  <_ 
( log `  _e )
14 loge 22010 . . . . . . 7  |-  ( log `  _e )  =  1
1513, 14breqtri 4310 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  <_ 
1
16 1re 9377 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
17 relogcl 22002 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
189, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  RR
1916, 18subge0i 9885 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( 1  -  ( log `  2
) )  <->  ( log `  2 )  <_  1
)
2015, 19mpbir 209 . . . . 5  |-  0  <_  ( 1  -  ( log `  2 ) )
213leidi 9866 . . . . 5  |-  gamma  <_  gamma
22 iccss 11355 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\ 
gamma  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  -  ( log `  2 ) )  /\  gamma  <_  gamma )
)  ->  ( (
1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
)
232, 3, 20, 21, 22mp4an 673 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
24 harmonicbnd2 22373 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
2523, 24sseldi 3349 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
26 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
27 fz10 11462 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
2928sumeq1d 13170 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m ) )
30 sum0 13190 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m )  =  0
3129, 30syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  0 )
32 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
33 0p1e1 10425 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3432, 33syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  1 )
3534fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  ( log `  1
) )
36 log1 22009 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
3735, 36syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
3831, 37oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
39 0m0e0 10423 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4038, 39syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  0 )
412leidi 9866 . . . . 5  |-  0  <_  0
42 emgt0 22375 . . . . . 6  |-  0  <  gamma
432, 3, 42ltleii 9489 . . . . 5  |-  0  <_ 
gamma
442, 3elicc2i 11353 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,]
gamma )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0  /\  0  <_  gamma
) )
452, 41, 43, 44mpbir3an 1170 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] gamma )
4640, 45syl6eqel 2526 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
4725, 46jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
481, 47sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   NN0cn0 10571   RR+crp 10983   [,]cicc 11295   ...cfz 11429   sum_csu 13155   _eceu 13340   logclog 21981   gammacem 22360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-em 22361
This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  22377  harmonicbnd4  22379  logdivbnd  22780
  Copyright terms: Public domain W3C validator