MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd3 Unicode version

Theorem harmonicbnd3 20799
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Distinct variable group:    m, N

Proof of Theorem harmonicbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10179 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 emre 20797 . . . . 5  |-  gamma  e.  RR
4 2re 10025 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
5 ere 12646 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR
6 egt2lt3 12760 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
76simpli 445 . . . . . . . . 9  |-  2  <  _e
84, 5, 7ltleii 9152 . . . . . . . 8  |-  2  <_  _e
9 2rp 10573 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
10 epr 12762 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR+
11 logleb 20451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) ) )
129, 10, 11mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) )
138, 12mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  <_ 
( log `  _e )
14 loge 20434 . . . . . . 7  |-  ( log `  _e )  =  1
1513, 14breqtri 4195 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  <_ 
1
16 1re 9046 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
17 relogcl 20426 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
189, 17ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  RR
1916, 18subge0i 9536 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( 1  -  ( log `  2
) )  <->  ( log `  2 )  <_  1
)
2015, 19mpbir 201 . . . . 5  |-  0  <_  ( 1  -  ( log `  2 ) )
213leidi 9517 . . . . 5  |-  gamma  <_  gamma
22 iccss 10934 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\ 
gamma  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  -  ( log `  2 ) )  /\  gamma  <_  gamma )
)  ->  ( (
1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
)
232, 3, 20, 21, 22mp4an 655 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
24 harmonicbnd2 20796 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
2523, 24sseldi 3306 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
26 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
27 fz10 11031 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
2928sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m ) )
30 sum0 12470 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m )  =  0
3129, 30syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  0 )
32 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
33 0p1e1 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3432, 33syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  1 )
3534fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  ( log `  1
) )
36 log1 20433 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
3735, 36syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
3831, 37oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
39 0cn 9040 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
4039subidi 9327 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4138, 40syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  0 )
422leidi 9517 . . . . 5  |-  0  <_  0
43 emgt0 20798 . . . . . 6  |-  0  <  gamma
442, 3, 43ltleii 9152 . . . . 5  |-  0  <_ 
gamma
452, 3elicc2i 10932 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,]
gamma )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0  /\  0  <_  gamma
) )
462, 42, 44, 45mpbir3an 1136 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] gamma )
4741, 46syl6eqel 2492 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
4825, 47jaoi 369 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
491, 48sylbi 188 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   sum_csu 12434   _eceu 12620   logclog 20405   gammacem 20783
This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  20800  harmonicbnd4  20802  logdivbnd  21203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-em 20784
  Copyright terms: Public domain W3C validator