Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harinf Structured version   Unicode version

Theorem harinf 31182
Description: The Hartogs number of an infinite set is at least  om. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harinf  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )

Proof of Theorem harinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 6627 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
21adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  On )
3 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  e.  Fin )
4 nnfi 7651 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  Fin )
54adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  Fin )
6 sdomdom 7484 . . . . . . 7  |-  ( S 
~<  x  ->  S  ~<_  x )
7 domfi 7679 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  ~<_  x )  ->  S  e.  Fin )
87ex 432 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( S  ~<_  x  ->  S  e.  Fin ) )
95, 6, 8syl2im 38 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( S  ~<  x  ->  S  e.  Fin ) )
103, 9mtod 177 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  ~<  x )
11 simpll 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  S  e.  V
)
12 fidomtri 8309 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  e.  V )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
135, 11, 12syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
1410, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  ~<_  S )
15 elharval 7926 . . . 4  |-  ( x  e.  (har `  S
)  <->  ( x  e.  On  /\  x  ~<_  S ) )
162, 14, 15sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  (har
`  S ) )
1716ex 432 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( x  e. 
om  ->  x  e.  (har
`  S ) ) )
1817ssrdv 3440 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1836    C_ wss 3406   class class class wbr 4384   Oncon0 4809   ` cfv 5513   omcom 6621    ~<_ cdom 7455    ~< csdm 7456   Fincfn 7457  harchar 7919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-om 6622  df-recs 6982  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-oi 7872  df-har 7921  df-card 8255
This theorem is referenced by:  ttac  31184
  Copyright terms: Public domain W3C validator