Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harinf Structured version   Unicode version

Theorem harinf 29532
Description: The Hartogs number of an infinite set is at least  om. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harinf  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )

Proof of Theorem harinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 6593 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  On )
3 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  e.  Fin )
4 nnfi 7615 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  Fin )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  Fin )
6 sdomdom 7448 . . . . . . 7  |-  ( S 
~<  x  ->  S  ~<_  x )
7 domfi 7646 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  ~<_  x )  ->  S  e.  Fin )
87ex 434 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( S  ~<_  x  ->  S  e.  Fin ) )
95, 6, 8syl2im 38 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( S  ~<  x  ->  S  e.  Fin ) )
103, 9mtod 177 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  -.  S  ~<  x )
11 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  S  e.  V
)
12 fidomtri 8275 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  S  e.  V )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  ( x  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  x ) )
1410, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  ~<_  S )
15 elharval 7890 . . . 4  |-  ( x  e.  (har `  S
)  <->  ( x  e.  On  /\  x  ~<_  S ) )
162, 14, 15sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  (har
`  S ) )
1716ex 434 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( x  e. 
om  ->  x  e.  (har
`  S ) ) )
1817ssrdv 3471 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  C_  (har `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758    C_ wss 3437   class class class wbr 4401   Oncon0 4828   ` cfv 5527   omcom 6587    ~<_ cdom 7419    ~< csdm 7420   Fincfn 7421  harchar 7883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-om 6588  df-recs 6943  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-oi 7836  df-har 7885  df-card 8221
This theorem is referenced by:  ttac  29534
  Copyright terms: Public domain W3C validator