MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harcl Structured version   Unicode version

Theorem harcl 7890
Description: Closure of the Hartogs function in the ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harcl  |-  (har `  X )  e.  On

Proof of Theorem harcl
StepHypRef Expression
1 harf 7889 . 2  |- har : _V --> On
2 0elon 4883 . 2  |-  (/)  e.  On
31, 2f0cli 5966 1  |-  (har `  X )  e.  On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   Oncon0 4830   ` cfv 5529  harchar 7885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-recs 6945  df-en 7424  df-dom 7425  df-oi 7838  df-har 7887
This theorem is referenced by:  harndom  7893  harcard  8262  harsdom  8279  onsdom  8280  harval2  8281  alephon  8353  dfac12lem2  8427  dfac12r  8429  hsmexlem9  8708  hsmexlem6  8714  pwcfsdom  8861  pwfseq  8945  gchaleph2  8953  hargch  8954  gchhar  8960  gchacg  8961  ttac  29553  isnumbasgrplem2  29628  isnumbasabl  29630
  Copyright terms: Public domain W3C validator