MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harcl Structured version   Unicode version

Theorem harcl 7999
Description: Closure of the Hartogs function in the ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harcl  |-  (har `  X )  e.  On

Proof of Theorem harcl
StepHypRef Expression
1 harf 7998 . 2  |- har : _V --> On
2 0elon 4937 . 2  |-  (/)  e.  On
31, 2f0cli 6043 1  |-  (har `  X )  e.  On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   Oncon0 4884   ` cfv 5594  harchar 7994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-recs 7054  df-en 7529  df-dom 7530  df-oi 7947  df-har 7996
This theorem is referenced by:  harndom  8002  harcard  8371  harsdom  8388  onsdom  8389  harval2  8390  alephon  8462  dfac12lem2  8536  dfac12r  8538  hsmexlem9  8817  hsmexlem6  8823  pwcfsdom  8970  pwfseq  9054  gchaleph2  9062  hargch  9063  gchhar  9069  gchacg  9070  ttac  30906  isnumbasgrplem2  30981  isnumbasabl  30983
  Copyright terms: Public domain W3C validator