Theorem halfpos 6124

Description: A positive number is greater than its half.

Assertion

Ref	Expression
halfpos	|- (A e. RR -> (0 < A <-> (A / 2) < A))

Proof of Theorem halfpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2673	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < A <-> 0 < if(A e. RR, A, 0)))
2		opreq1 4044	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A / (1 + 1)) = (if(A e. RR, A, 0) / (1 + 1)))
3		id 59	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> A = if(A e. RR, A, 0))
4	2, 3	breq12d 2681	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A / (1 + 1)) < A <-> (if(A e. RR, A, 0) / (1 + 1)) < if(A e. RR, A, 0)))
5	1, 4	bibi12d 631	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 < A <-> (A / (1 + 1)) < A) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) <-> (if(A e. RR, A, 0) / (1 + 1)) < if(A e. RR, A, 0))))
6		0re 5529	. . . . 5 |- 0 e. RR
7	6	elimel 2439	. . . 4 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
8	7	halfposi 5991	. . 3 |- (0 < if(A e. RR, A, 0) <-> (if(A e. RR, A, 0) / (1 + 1)) < if(A e. RR, A, 0))
9	5, 8	dedth 2428	. 2 |- (A e. RR -> (0 < A <-> (A / (1 + 1)) < A))
10		df-2 6058	. . . 4 |- 2 = (1 + 1)
11	10	opreq2i 4048	. . 3 |- (A / 2) = (A / (1 + 1))
12	11	breq1i 2676	. 2 |- ((A / 2) < A <-> (A / (1 + 1)) < A)
13	9, 12	syl6bbr 540	1 |- (A e. RR -> (0 < A <-> (A / 2) < A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   = wceq 988   e. wcel 990  ifcif 2406   class class class wbr 2669  (class class class)co 4039  RRcr 5322  0cc0 5323  1c1 5324   + caddc 5326   / cdiv 5383   < clt 5575  2c2 6049

This theorem is referenced by:  nominpos 6131  cvg2i 7045  clm4lei 7204  ssblex 7976  metcnpi3 8012  metcnpi4 8013  metcni2 8015  bcthlem18 8136  bcthlem20 8138  ubthlem10 8657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-2 6058

Copyright terms: Public domain