Theorem halfpm6th 7218

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	|- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 7184	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
2	1	nncni 7115	. . . . . 6 |- 3 e. CC
3		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
4		2cn 7164	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5	1	nnne0i 7134	. . . . . 6 |- 3 =/= 0
6		2ne0 7174	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
7	2, 2, 3, 4, 5, 6	divmuldivi 6963	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = ((3 x. 1) / (3 x. 2))
8	2, 5	dividi 6946	. . . . . . 7 |- (3 / 3) = 1
9	8	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 x. (1 / 2))
10		2re 7163	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
11	10, 6	rereccli 6979	. . . . . . . 8 |- (1 / 2) e. RR
12	11	recni 6467	. . . . . . 7 |- (1 / 2) e. CC
13	12	mulid2i 6486	. . . . . 6 |- (1 x. (1 / 2)) = (1 / 2)
14	9, 13	eqtri 1908	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 / 2)
15	2	mulid1i 6485	. . . . . 6 |- (3 x. 1) = 3
16		3t2e6 7207	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
17	15, 16	opreq12i 4894	. . . . 5 |- ((3 x. 1) / (3 x. 2)) = (3 / 6)
18	7, 14, 17	3eqtr3i 1918	. . . 4 |- (1 / 2) = (3 / 6)
19	18	opreq1i 4892	. . 3 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = ((3 / 6) - (1 / 6))
20		6re 7168	. . . . . 6 |- 6 e. RR
21	20	recni 6467	. . . . 5 |- 6 e. CC
22		6pos 7178	. . . . . 6 |- 0 < 6
23	20, 22	gt0ne0ii 6799	. . . . 5 |- 6 =/= 0
24	21, 23	pm3.2i 307	. . . 4 |- (6 e. CC /\ 6 =/= 0)
25		divsubdir 6951	. . . 4 |- ((3 e. CC /\ 1 e. CC /\ (6 e. CC /\ 6 =/= 0)) -> ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6)))
26	2, 3, 24, 25	mp3an 1191	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6))
27		df-3 7155	. . . . . . 7 |- 3 = (2 + 1)
28	27	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- (3 - 1) = ((2 + 1) - 1)
29		pncan 6557	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((2 + 1) - 1) = 2)
30	4, 3, 29	mp2an 761	. . . . . 6 |- ((2 + 1) - 1) = 2
31	28, 30	eqtri 1908	. . . . 5 |- (3 - 1) = 2
32	31	opreq1i 4892	. . . 4 |- ((3 - 1) / 6) = (2 / 6)
33	4	mulid2i 6486	. . . . 5 |- (1 x. 2) = 2
34	33, 16	opreq12i 4894	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 6)
35	4, 6	dividi 6946	. . . . . 6 |- (2 / 2) = 1
36	35	opreq2i 4893	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 / 3) x. 1)
37	3, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldivi 6963	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 x. 2) / (3 x. 2))
38	2, 5	reccli 6902	. . . . . 6 |- (1 / 3) e. CC
39	38	mulid1i 6485	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. 1) = (1 / 3)
40	36, 37, 39	3eqtr3i 1918	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (1 / 3)
41	32, 34, 40	3eqtr2i 1915	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = (1 / 3)
42	19, 26, 41	3eqtr2i 1915	. 2 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3)
43	2, 3, 21, 23	divdiri 6930	. . . 4 |- ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
44		df-4 7156	. . . . 5 |- 4 = (3 + 1)
45	44	opreq1i 4892	. . . 4 |- (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
46	18	opreq1i 4892	. . . 4 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
47	43, 45, 46	3eqtr4ri 1923	. . 3 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
48		2t2e4 7206	. . . 4 |- (2 x. 2) = 4
49	48, 16	opreq12i 4894	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (4 / 6)
50	35	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 / 3) x. 1)
51	4, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldivi 6963	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 x. 2) / (3 x. 2))
52	4, 2, 5	divcli 6899	. . . . 5 |- (2 / 3) e. CC
53	52	mulid1i 6485	. . . 4 |- ((2 / 3) x. 1) = (2 / 3)
54	50, 51, 53	3eqtr3i 1918	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 3)
55	47, 49, 54	3eqtr2i 1915	. 2 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
56	42, 55	pm3.2i 307	1 |- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  2c2 7145  3c3 7146  4c4 7147  6c6 7149

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 8737

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158

Copyright terms: Public domain