Theorem halfpm6th 6120

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	|- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 6088	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
2	1	nncni 6019	. . . . . 6 |- 3 e. CC
3		ax1cn 5358	. . . . . 6 |- 1 e. CC
4		2cn 6068	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5	1	nnne0i 6038	. . . . . 6 |- 3 =/= 0
6		2ne0 6078	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
7	2, 2, 3, 4, 5, 6	divmuldivi 5869	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = ((3 x. 1) / (3 x. 2))
8	2, 5	dividi 5849	. . . . . . 7 |- (3 / 3) = 1
9	8	opreq1i 4047	. . . . . 6 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 x. (1 / 2))
10		2re 6067	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
11	10, 6	rereccli 5885	. . . . . . . 8 |- (1 / 2) e. RR
12	11	recni 5403	. . . . . . 7 |- (1 / 2) e. CC
13	12	mulid2i 5422	. . . . . 6 |- (1 x. (1 / 2)) = (1 / 2)
14	9, 13	eqtri 1532	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 / 2)
15	2	mulid1i 5421	. . . . . 6 |- (3 x. 1) = 3
16		3t2e6 6111	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
17	15, 16	opreq12i 4049	. . . . 5 |- ((3 x. 1) / (3 x. 2)) = (3 / 6)
18	7, 14, 17	3eqtr3i 1540	. . . 4 |- (1 / 2) = (3 / 6)
19	18	opreq1i 4047	. . 3 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = ((3 / 6) - (1 / 6))
20		6re 6072	. . . . 5 |- 6 e. RR
21	20	recni 5403	. . . 4 |- 6 e. CC
22		6pos 6082	. . . . . 6 |- 0 < 6
23	20, 22	gt0ne0ii 5706	. . . . 5 |- 6 =/= 0
24		divsubdirOLD 5855	. . . . 5 |- (((3 e. CC /\ 1 e. CC /\ 6 e. CC) /\ 6 =/= 0) -> ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6)))
25	23, 24	mpan2 699	. . . 4 |- ((3 e. CC /\ 1 e. CC /\ 6 e. CC) -> ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6)))
26	2, 3, 21, 25	mp3an 919	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6))
27		df-3 6059	. . . . . . 7 |- 3 = (2 + 1)
28	27	opreq1i 4047	. . . . . 6 |- (3 - 1) = ((2 + 1) - 1)
29		pncan 5486	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((2 + 1) - 1) = 2)
30	4, 3, 29	mp2an 700	. . . . . 6 |- ((2 + 1) - 1) = 2
31	28, 30	eqtri 1532	. . . . 5 |- (3 - 1) = 2
32	31	opreq1i 4047	. . . 4 |- ((3 - 1) / 6) = (2 / 6)
33	4	mulid2i 5422	. . . . 5 |- (1 x. 2) = 2
34	33, 16	opreq12i 4049	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 6)
35	4, 6	dividi 5849	. . . . . 6 |- (2 / 2) = 1
36	35	opreq2i 4048	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 / 3) x. 1)
37	3, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldivi 5869	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 x. 2) / (3 x. 2))
38	2, 5	reccli 5802	. . . . . 6 |- (1 / 3) e. CC
39	38	mulid1i 5421	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. 1) = (1 / 3)
40	36, 37, 39	3eqtr3i 1540	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (1 / 3)
41	32, 34, 40	3eqtr2i 1538	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = (1 / 3)
42	19, 26, 41	3eqtr2i 1538	. 2 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3)
43	2, 3, 21, 23	divdiri 5832	. . . 4 |- ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
44		df-4 6060	. . . . 5 |- 4 = (3 + 1)
45	44	opreq1i 4047	. . . 4 |- (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
46	18	opreq1i 4047	. . . 4 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
47	43, 45, 46	3eqtr4ri 1543	. . 3 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
48		2t2e4 6110	. . . 4 |- (2 x. 2) = 4
49	48, 16	opreq12i 4049	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (4 / 6)
50	35	opreq2i 4048	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 / 3) x. 1)
51	4, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldivi 5869	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 x. 2) / (3 x. 2))
52	4, 2, 5	divcli 5799	. . . . 5 |- (2 / 3) e. CC
53	52	mulid1i 5421	. . . 4 |- ((2 / 3) x. 1) = (2 / 3)
54	50, 51, 53	3eqtr3i 1540	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 3)
55	47, 49, 54	3eqtr2i 1538	. 2 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
56	42, 55	pm3.2i 283	1 |- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   /\ wa 221   /\ w3a 778   = wceq 988   e. wcel 990   =/= wne 1622  (class class class)co 4039  CCcc 5321  0cc0 5323  1c1 5324   + caddc 5326   x. cmul 5328   - cmin 5381   / cdiv 5383  2c2 6049  3c3 6050  4c4 6051  6c6 6053

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 7596

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-3 6059  df-4 6060  df-5 6061  df-6 6062

Copyright terms: Public domain