Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfnq Structured version   Unicode version

Theorem halfnq 9408
 Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
halfnq
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem halfnq
StepHypRef Expression
1 distrnq 9393 . . . 4
2 distrnq 9393 . . . . . . . 8
3 1nq 9360 . . . . . . . . . . 11
4 addclnq 9377 . . . . . . . . . . 11
53, 3, 4mp2an 676 . . . . . . . . . 10
6 recidnq 9397 . . . . . . . . . 10
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9
87, 7oveq12i 6317 . . . . . . . 8
92, 8eqtri 2451 . . . . . . 7
109oveq1i 6315 . . . . . 6
117oveq2i 6316 . . . . . . 7
12 mulassnq 9391 . . . . . . . 8
13 mulcomnq 9385 . . . . . . . . 9
1413oveq1i 6315 . . . . . . . 8
1512, 14eqtr3i 2453 . . . . . . 7
16 recclnq 9398 . . . . . . . . 9
17 addclnq 9377 . . . . . . . . 9
1816, 16, 17syl2anc 665 . . . . . . . 8
19 mulidnq 9395 . . . . . . . 8
205, 18, 19mp2b 10 . . . . . . 7
2111, 15, 203eqtr3i 2459 . . . . . 6
2210, 21, 73eqtr3i 2459 . . . . 5
2322oveq2i 6316 . . . 4
241, 23eqtr3i 2453 . . 3
25 mulidnq 9395 . . 3
2624, 25syl5eq 2475 . 2
27 ovex 6333 . . 3
28 oveq12 6314 . . . . 5
2928anidms 649 . . . 4
3029eqeq1d 2424 . . 3
3127, 30spcev 3173 . 2
3226, 31syl 17 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872  cfv 5601  (class class class)co 6305  cnq 9284  c1q 9285   cplq 9287   cmq 9288  crq 9289 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-ni 9304  df-pli 9305  df-mi 9306  df-lti 9307  df-plpq 9340  df-mpq 9341  df-enq 9343  df-nq 9344  df-erq 9345  df-plq 9346  df-mq 9347  df-1nq 9348  df-rq 9349 This theorem is referenced by:  nsmallnq  9409
 Copyright terms: Public domain W3C validator