MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfcld Structured version   Unicode version

Theorem halfcld 10823
Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
2timesd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
halfcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )

Proof of Theorem halfcld
StepHypRef Expression
1 2timesd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 halfcl 10804 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   CCcc 9519    / cdiv 10246   2c2 10625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-2 10634
This theorem is referenced by:  zeo  10988  zesq  12331  faclbnd2  12411  crre  13094  ef4p  14055  cosf  14067  efi4p  14079  sinhval  14096  addsin  14112  4sqlem10  14672  lhop1lem  22704  chordthmlem  23486  chordthmlem2  23487  chordthmlem3  23488  chordthmlem4  23489  chordthmlem5  23490  dcubic2  23498  dcubic1  23499  dcubic  23500  mcubic  23501  cubic  23503  dquartlem1  23505  dquart  23507  quart1cl  23508  quart1lem  23509  quart1  23510  quartlem3  23513  quartlem4  23514  quart  23515  lgsquad2lem2  24013  lgsquad2  24014  logdivsum  24097  mulog2sumlem2  24099  mulog2sumlem3  24100  vmalogdivsum2  24102  selberg34r  24135  pntlemr  24166  lt2addrd  27996  sin2h  31397  cos2h  31398  tan2h  31399  itg2addnclem  31419  oddfl  36813  coseq0  37013  sinaover2ne0  37017  wallispilem4  37199  wallispi  37201  stirlinglem1  37205  stirlinglem4  37208  stirlinglem7  37211  stirlinglem15  37219  dirker2re  37223  dirkerdenne0  37224  dirkerper  37227  dirkertrigeqlem2  37230  dirkertrigeqlem3  37231  dirkeritg  37233  dirkercncflem1  37234  dirkercncflem2  37235  dirkercncflem4  37237  fourierdlem43  37281  fourierdlem44  37282  fourierdlem56  37294  fourierdlem58  37296  fourierdlem62  37300  fourierdlem68  37306  fourierdlem72  37310  fourierdlem76  37314  fourierdlem79  37317  fourierdlem80  37318  fourierdlem103  37341  fourierdlem104  37342  fourierdlem112  37350  xp1d2m1eqxm1d2  37643  zob  37697  nn0ob  38631  dignn0flhalflem1  38727
  Copyright terms: Public domain W3C validator