MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfcl Structured version   Unicode version

Theorem halfcl 10764
Description: Closure of half of a number (common case). (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
halfcl  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )

Proof of Theorem halfcl
StepHypRef Expression
1 2cn 10606 . 2  |-  2  e.  CC
2 2ne0 10628 . 2  |-  2  =/=  0
3 divcl 10213 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
41, 2, 3mp3an23 1316 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    / cdiv 10206   2c2 10585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594
This theorem is referenced by:  halfaddsubcl  10771  halfcld  10783  geo2sum  13645  efhalfpi  22625  cosq14gt0  22664  cosq14ge0  22665  abssinper  22672  coseq1  22676  efeq1  22677  sqrtcn  22880  1cubr  22929  dquartlem1  22938  acosf  22961  atanf  22967  acosneg  22974  acoscos  22980  acos1  22982  sinacos  22992  atanneg  22994  atancj  22997  efiatan  22999  efiatan2  23004  2efiatan  23005  atantan  23010  atanbndlem  23012  dvatan  23022  atantayl  23024  minvecolem2  25495  sin2h  29650  cos2h  29651  dirkerper  31424  dirkertrigeqlem3  31428  dirkercncflem2  31432  fourierdlem18  31453  fourierdlem43  31478  fourierdlem44  31479  fourierdlem57  31492  fourierdlem58  31493  fourierdlem62  31497  fourierdlem76  31511  fourierdlem79  31514  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  fourierdlem112  31547
  Copyright terms: Public domain W3C validator