HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hvs Structured version   Unicode version

Theorem h2hvs 25570
Description: The vector subtraction operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
h2h.4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
Assertion
Ref Expression
h2hvs  |-  -h  =  ( -v `  U )

Proof of Theorem h2hvs
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hvsub 25564 . 2  |-  -h  =  ( x  e.  ~H ,  y  e.  ~H  |->  ( x  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
2 h2h.2 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
3 h2h.4 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
4 h2h.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
54, 2h2hva 25567 . . . 4  |-  +h  =  ( +v `  U )
64, 2h2hsm 25568 . . . 4  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
83, 5, 6, 7nvmfval 25215 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( -v `  U )  =  ( x  e.  ~H , 
y  e.  ~H  |->  ( x  +h  ( -u
1  .h  y ) ) ) )
92, 8ax-mp 5 . 2  |-  ( -v
`  U )  =  ( x  e.  ~H ,  y  e.  ~H  |->  ( x  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
101, 9eqtr4i 2499 1  |-  -h  =  ( -v `  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4033   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   1c1 9489   -ucneg 9802   NrmCVeccnv 25153   BaseSetcba 25155   -vcnsb 25158   ~Hchil 25512    +h cva 25513    .h csm 25514   normhcno 25516    -h cmv 25518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-hvsub 25564
This theorem is referenced by:  h2hmetdval  25571  hhvs  25763
  Copyright terms: Public domain W3C validator