Theorem h2hvs 8965

Description: The vector subtraction operation of Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
h2h.2	|- U e. NrmCVec
h2h.4	|- H~ = (BaseSet` U)

Assertion

Ref	Expression
h2hvs	|- -h = (-v` U)

Proof of Theorem h2hvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hvsub 8959	. 2 |- -h = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ z = (x +h (-u1 .h y)))}
2		h2h.2	. . 3 |- U e. NrmCVec
3		h2h.4	. . . 4 |- H~ = (BaseSet` U)
4		h2h.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4, 2	h2hva 8962	. . . 4 |- +h = (+v` U)
6	4, 2	h2hsm 8963	. . . 4 |- .h = (.s` U)
7		eqid 1512	. . . 4 |- (-v` U) = (-v` U)
8	3, 5, 6, 7	nvmfval 8383	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (-v` U) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ z = (x +h (-u1 .h y)))})
9	2, 8	ax-mp 7	. 2 |- (-v` U) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ z = (x +h (-u1 .h y)))}
10	1, 9	eqtr4i 1535	1 |- -h = (-v` U)

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  <.cop 2456  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  {copab2 4040  1c1 5324  -ucneg 5382  NrmCVeccnv 8322  BaseSetcba 8324  -vcnsb 8327  H~chil 8907   +h cva 8908   .h csm 8909   -h cmv 8911  normhcno 8913

This theorem is referenced by:  h2hmetdval 8967  hhvs 9157

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-fo 3251  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-sub 5445  df-neg 5447  df-grp 8157  df-gid 8158  df-ginv 8159  df-gdiv 8160  df-abl 8219  df-vc 8284  df-nv 8330  df-va 8333  df-ba 8334  df-sm 8335  df-0v 8336  df-vs 8337  df-nm 8338  df-hvsub 8959

Copyright terms: Public domain