HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hva Structured version   Unicode version

Theorem h2hva 24548
Description: The group (addition) operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hva  |-  +h  =  ( +v `  U )

Proof of Theorem h2hva
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +v
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
21vafval 24153 . . 3  |-  ( +v
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 1st `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
3 opex 4667 . . . . 5  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
4 h2h.1 . . . . . . . 8  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 h2h.2 . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
64, 5eqeltrri 2539 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
7 nvex 24161 . . . . . . 7  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
98simp3i 999 . . . . 5  |-  normh  e.  _V
103, 9op1st 6698 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  <.  +h  ,  .h  >.
1110fveq2i 5805 . . 3  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  =  ( 1st `  <.  +h  ,  .h  >. )
128simp1i 997 . . . 4  |-  +h  e.  _V
138simp2i 998 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1412, 13op1st 6698 . . 3  |-  ( 1st `  <.  +h  ,  .h  >. )  =  +h
152, 11, 143eqtrri 2488 . 2  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
164fveq2i 5805 . 2  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
1715, 16eqtr4i 2486 1  |-  +h  =  ( +v `  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   <.cop 3994   ` cfv 5529   1stc1st 6688   NrmCVeccnv 24134   +vcpv 24135    +h cva 24494    .h csm 24495   normhcno 24497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fo 5535  df-fv 5537  df-oprab 6207  df-1st 6690  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145
This theorem is referenced by:  h2hvs  24551  axhfvadd-zf  24556  axhvcom-zf  24557  axhvass-zf  24558  axhvaddid-zf  24560  axhvdistr1-zf  24564  axhvdistr2-zf  24565  axhis2-zf  24569  hhva  24740
  Copyright terms: Public domain W3C validator