HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hsm Structured version   Unicode version

Theorem h2hsm 25706
Description: The scalar product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hsm  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)

Proof of Theorem h2hsm
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( .sOLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
21smfval 25312 . . 3  |-  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
3 opex 4717 . . . . 5  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
4 h2h.1 . . . . . . . 8  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 h2h.2 . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
64, 5eqeltrri 2552 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
7 nvex 25318 . . . . . . 7  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
98simp3i 1007 . . . . 5  |-  normh  e.  _V
103, 9op1st 6803 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  <.  +h  ,  .h  >.
1110fveq2i 5875 . . 3  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  =  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )
128simp1i 1005 . . . 4  |-  +h  e.  _V
138simp2i 1006 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1412, 13op2nd 6804 . . 3  |-  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )  =  .h
152, 11, 143eqtrri 2501 . 2  |-  .h  =  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
164fveq2i 5875 . 2  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
1715, 16eqtr4i 2499 1  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   <.cop 4039   ` cfv 5594   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   NrmCVeccnv 25291   .sOLDcns 25294    +h cva 25651    .h csm 25652   normhcno 25654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fo 5600  df-fv 5602  df-oprab 6299  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-vc 25253  df-nv 25299  df-sm 25304
This theorem is referenced by:  h2hvs  25708  axhfvmul-zf  25718  axhvmulid-zf  25719  axhvmulass-zf  25720  axhvdistr1-zf  25721  axhvdistr2-zf  25722  axhvmul0-zf  25723  axhis3-zf  25727  hhsm  25900
  Copyright terms: Public domain W3C validator