HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hsm Structured version   Unicode version

Theorem h2hsm 26090
Description: The scalar product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hsm  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)

Proof of Theorem h2hsm
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( .sOLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
21smfval 25696 . . 3  |-  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
3 opex 4701 . . . . 5  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
4 h2h.1 . . . . . . . 8  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 h2h.2 . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
64, 5eqeltrri 2539 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
7 nvex 25702 . . . . . . 7  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
98simp3i 1005 . . . . 5  |-  normh  e.  _V
103, 9op1st 6781 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  <.  +h  ,  .h  >.
1110fveq2i 5851 . . 3  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  =  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )
128simp1i 1003 . . . 4  |-  +h  e.  _V
138simp2i 1004 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1412, 13op2nd 6782 . . 3  |-  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )  =  .h
152, 11, 143eqtrri 2488 . 2  |-  .h  =  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
164fveq2i 5851 . 2  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
1715, 16eqtr4i 2486 1  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   <.cop 4022   ` cfv 5570   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   NrmCVeccnv 25675   .sOLDcns 25678    +h cva 26035    .h csm 26036   normhcno 26038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fo 5576  df-fv 5578  df-oprab 6274  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-vc 25637  df-nv 25683  df-sm 25688
This theorem is referenced by:  h2hvs  26092  axhfvmul-zf  26102  axhvmulid-zf  26103  axhvmulass-zf  26104  axhvdistr1-zf  26105  axhvdistr2-zf  26106  axhvmul0-zf  26107  axhis3-zf  26111  hhsm  26284
  Copyright terms: Public domain W3C validator