HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hsm Structured version   Unicode version

Theorem h2hsm 24530
Description: The scalar product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hsm  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)

Proof of Theorem h2hsm
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( .sOLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
21smfval 24136 . . 3  |-  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
3 opex 4665 . . . . 5  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
4 h2h.1 . . . . . . . 8  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 h2h.2 . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
64, 5eqeltrri 2539 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
7 nvex 24142 . . . . . . 7  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
98simp3i 999 . . . . 5  |-  normh  e.  _V
103, 9op1st 6696 . . . 4  |-  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  <.  +h  ,  .h  >.
1110fveq2i 5803 . . 3  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  =  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )
128simp1i 997 . . . 4  |-  +h  e.  _V
138simp2i 998 . . . 4  |-  .h  e.  _V
1412, 13op2nd 6697 . . 3  |-  ( 2nd `  <.  +h  ,  .h  >. )  =  .h
152, 11, 143eqtrri 2488 . 2  |-  .h  =  ( .sOLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
164fveq2i 5803 . 2  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
1715, 16eqtr4i 2486 1  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   <.cop 3992   ` cfv 5527   1stc1st 6686   2ndc2nd 6687   NrmCVeccnv 24115   .sOLDcns 24118    +h cva 24475    .h csm 24476   normhcno 24478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-fo 5533  df-fv 5535  df-oprab 6205  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-vc 24077  df-nv 24123  df-sm 24128
This theorem is referenced by:  h2hvs  24532  axhfvmul-zf  24542  axhvmulid-zf  24543  axhvmulass-zf  24544  axhvdistr1-zf  24545  axhvdistr2-zf  24546  axhvmul0-zf  24547  axhis3-zf  24551  hhsm  24724
  Copyright terms: Public domain W3C validator