Theorem h2hnm 24510

Description: The norm function of Hilbert space. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
h2h.2	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
h2hnm	|- normh = ( normCV ` U )

Proof of Theorem h2hnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h2h.1	. . 3 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
2	1	fveq2i 5789	. 2 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3		eqid 2451	. . 3 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
4	3	nmcvfval 24117	. 2 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
5		opex 4651	. . 3 |- <. +h , .h >. e. _V
6		h2h.2	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
7	1, 6	eqeltrri 2534	. . . . 5 |- <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec
8		nvex 24121	. . . . 5 |- ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec -> ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 |- ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V )
10	9	simp3i 999	. . 3 |- normh e. _V
11	5, 10	op2nd 6683	. 2 |- ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = normh
12	2, 4, 11	3eqtrri 2484	1 |- normh = ( normCV ` U )

Syntax hints:   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3065   <.cop 3978   ` cfv 5513   2ndc2nd 6673   NrmCVeccnv 24094   norm_CVcnmcv 24100   +h cva 24454   .h csm 24455   normhcno 24457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fv 5521  df-oprab 6191  df-2nd 6675  df-vc 24056  df-nv 24102  df-nmcv 24110

This theorem is referenced by:  h2hmetdval  24512  hhnm  24705