HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hnm Structured version   Unicode version

Theorem h2hnm 24510
Description: The norm function of Hilbert space. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hnm  |-  normh  =  (
normCV
`  U )

Proof of Theorem h2hnm
StepHypRef Expression
1 h2h.1 . . 3  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
21fveq2i 5789 . 2  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 eqid 2451 . . 3  |-  ( normCV ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
normCV
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
43nmcvfval 24117 . 2  |-  ( normCV ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 2nd `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
5 opex 4651 . . 3  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
6 h2h.2 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
71, 6eqeltrri 2534 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
8 nvex 24121 . . . . 5  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
109simp3i 999 . . 3  |-  normh  e.  _V
115, 10op2nd 6683 . 2  |-  ( 2nd `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  normh
122, 4, 113eqtrri 2484 1  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3065   <.cop 3978   ` cfv 5513   2ndc2nd 6673   NrmCVeccnv 24094   normCVcnmcv 24100    +h cva 24454    .h csm 24455   normhcno 24457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fv 5521  df-oprab 6191  df-2nd 6675  df-vc 24056  df-nv 24102  df-nmcv 24110
This theorem is referenced by:  h2hmetdval  24512  hhnm  24705
  Copyright terms: Public domain W3C validator