Theorem h2hnm 25566

Description: The norm function of Hilbert space. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
h2h.2	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
h2hnm	|- normh = ( normCV ` U )

Proof of Theorem h2hnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h2h.1	. . 3 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
2	1	fveq2i 5867	. 2 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
4	3	nmcvfval 25173	. 2 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
5		opex 4711	. . 3 |- <. +h , .h >. e. _V
6		h2h.2	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
7	1, 6	eqeltrri 2552	. . . . 5 |- <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec
8		nvex 25177	. . . . 5 |- ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec -> ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 |- ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V )
10	9	simp3i 1007	. . 3 |- normh e. _V
11	5, 10	op2nd 6790	. 2 |- ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = normh
12	2, 4, 11	3eqtrri 2501	1 |- normh = ( normCV ` U )

Syntax hints:   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   <.cop 4033   ` cfv 5586   2ndc2nd 6780   NrmCVeccnv 25150   norm_CVcnmcv 25156   +h cva 25510   .h csm 25511   normhcno 25513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-oprab 6286  df-2nd 6782  df-vc 25112  df-nv 25158  df-nmcv 25166

This theorem is referenced by:  h2hmetdval  25568  hhnm  25761