HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hnm Structured version   Unicode version

Theorem h2hnm 25566
Description: The norm function of Hilbert space. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
h2hnm  |-  normh  =  (
normCV
`  U )

Proof of Theorem h2hnm
StepHypRef Expression
1 h2h.1 . . 3  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
21fveq2i 5867 . 2  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( normCV ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
normCV
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
43nmcvfval 25173 . 2  |-  ( normCV ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  ( 2nd `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
5 opex 4711 . . 3  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  _V
6 h2h.2 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
71, 6eqeltrri 2552 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
8 nvex 25177 . . . . 5  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  (  +h  e.  _V  /\  .h  e.  _V  /\  normh  e.  _V )
109simp3i 1007 . . 3  |-  normh  e.  _V
115, 10op2nd 6790 . 2  |-  ( 2nd `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  normh
122, 4, 113eqtrri 2501 1  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   <.cop 4033   ` cfv 5586   2ndc2nd 6780   NrmCVeccnv 25150   normCVcnmcv 25156    +h cva 25510    .h csm 25511   normhcno 25513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-oprab 6286  df-2nd 6782  df-vc 25112  df-nv 25158  df-nmcv 25166
This theorem is referenced by:  h2hmetdval  25568  hhnm  25761
  Copyright terms: Public domain W3C validator