Theorem h2hnm 26307

Description: The norm function of Hilbert space. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
h2h.2	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
h2hnm	|- normh = ( normCV ` U )

Proof of Theorem h2hnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h2h.1	. . 3 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
2	1	fveq2i 5852	. 2 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3		eqid 2402	. . 3 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
4	3	nmcvfval 25914	. 2 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
5		opex 4655	. . 3 |- <. +h , .h >. e. _V
6		h2h.2	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
7	1, 6	eqeltrri 2487	. . . . 5 |- <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec
8		nvex 25918	. . . . 5 |- ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec -> ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 |- ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V )
10	9	simp3i 1008	. . 3 |- normh e. _V
11	5, 10	op2nd 6793	. 2 |- ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = normh
12	2, 4, 11	3eqtrri 2436	1 |- normh = ( normCV ` U )

Syntax hints:   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3059   <.cop 3978   ` cfv 5569   2ndc2nd 6783   NrmCVeccnv 25891   norm_CVcnmcv 25897   +h cva 26251   .h csm 26252   normhcno 26254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-oprab 6282  df-2nd 6785  df-vc 25853  df-nv 25899  df-nmcv 25907

This theorem is referenced by:  h2hmetdval  26309  hhnm  26502