HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hmetdval Structured version   Unicode version

Theorem h2hmetdval 24531
Description: Value of the distance function of the metric space of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
h2hm.4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
h2hm.5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
h2hmetdval  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B
) ) )

Proof of Theorem h2hmetdval
StepHypRef Expression
1 h2h.2 . 2  |-  U  e.  NrmCVec
2 h2hm.4 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
3 h2h.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43, 1, 2h2hvs 24530 . . 3  |-  -h  =  ( -v `  U )
53, 1h2hnm 24529 . . 3  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
6 h2hm.5 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
72, 4, 5, 6imsdval 24228 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B ) ) )
81, 7mp3an1 1302 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3990   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   NrmCVeccnv 24113   BaseSetcba 24115   IndMetcims 24120   ~Hchil 24472    +h cva 24473    .h csm 24474   normhcno 24476    -h cmv 24478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-ltxr 9533  df-sub 9707  df-neg 9708  df-grpo 23829  df-gid 23830  df-ginv 23831  df-gdiv 23832  df-ablo 23920  df-vc 24075  df-nv 24121  df-va 24124  df-ba 24125  df-sm 24126  df-0v 24127  df-vs 24128  df-nmcv 24129  df-ims 24130  df-hvsub 24524
This theorem is referenced by:  h2hcau  24532  h2hlm  24533  hhmetdval  24729
  Copyright terms: Public domain W3C validator