HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hmetdval Structured version   Unicode version

Theorem h2hmetdval 24331
Description: Value of the distance function of the metric space of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2h.2  |-  U  e.  NrmCVec
h2hm.4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
h2hm.5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
h2hmetdval  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B
) ) )

Proof of Theorem h2hmetdval
StepHypRef Expression
1 h2h.2 . 2  |-  U  e.  NrmCVec
2 h2hm.4 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
3 h2h.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43, 1, 2h2hvs 24330 . . 3  |-  -h  =  ( -v `  U )
53, 1h2hnm 24329 . . 3  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
6 h2hm.5 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
72, 4, 5, 6imsdval 24028 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B ) ) )
81, 7mp3an1 1301 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A D B )  =  ( normh `  ( A  -h  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3878   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   NrmCVeccnv 23913   BaseSetcba 23915   IndMetcims 23920   ~Hchil 24272    +h cva 24273    .h csm 24274   normhcno 24276    -h cmv 24278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-hvsub 24324
This theorem is referenced by:  h2hcau  24332  h2hlm  24333  hhmetdval  24529
  Copyright terms: Public domain W3C validator