Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem h2hlm 26714
 Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1
h2hl.2
h2hl.3
h2hl.4
h2hl.5
Assertion
Ref Expression
h2hlm

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 26706 . . 3
21relopabi 4964 . 2
3 relres 5138 . 2
41eleq2i 2541 . . 3
5 opabid 4708 . . 3
6 ancom 457 . . . . 5
7 h2hl.3 . . . . . . . 8
87hlex 26631 . . . . . . 7
9 nnex 10637 . . . . . . 7
108, 9elmap 7518 . . . . . 6
1110anbi1i 709 . . . . 5
12 df-br 4396 . . . . . . 7
13 h2hl.5 . . . . . . . . 9
14 h2hl.2 . . . . . . . . . 10
15 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11
167, 15imsxmet 26405 . . . . . . . . . 10
1714, 16mp1i 13 . . . . . . . . 9
18 nnuz 11218 . . . . . . . . 9
19 1zzd 10992 . . . . . . . . 9
20 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
21 id 22 . . . . . . . . 9
2213, 17, 18, 19, 20, 21lmmbrf 22310 . . . . . . . 8
23 eluznn 11252 . . . . . . . . . . . . . 14
24 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625, 14, 7, 15h2hmetdval 26712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2724, 26sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928an32s 821 . . . . . . . . . . . . . 14
3023, 29sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13
3130anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12
3231ralbidva 2828 . . . . . . . . . . 11
3332rexbidva 2889 . . . . . . . . . 10
3433ralbidv 2829 . . . . . . . . 9
3534pm5.32da 653 . . . . . . . 8
3622, 35bitrd 261 . . . . . . 7
3712, 36syl5bbr 267 . . . . . 6
3837pm5.32i 649 . . . . 5
396, 11, 383bitrri 280 . . . 4
40 anass 661 . . . 4
41 vex 3034 . . . . 5
4241opelres 5116 . . . 4
4339, 40, 423bitr4i 285 . . 3
444, 5, 433bitri 279 . 2
452, 3, 44eqrelriiv 4934 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cop 3965   class class class wbr 4395  copab 4453   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  c1 9558   clt 9693  cn 10631  cuz 11182  crp 11325  cxmt 19032  cmopn 19037  clm 20319  cnv 26284  cba 26286  cims 26291  chil 26653   cva 26654   csm 26655  cno 26657   cmv 26659   chli 26661 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-lm 20322  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-hvsub 26705  df-hlim 26706 This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  26732  hlimadd  26927  hhlm  26933
 Copyright terms: Public domain W3C validator