HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Unicode version

Theorem h2hlm 25670
Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2hl.2  |-  U  e.  NrmCVec
h2hl.3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
h2hl.4  |-  D  =  ( IndMet `  U )
h2hl.5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
h2hlm  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  J
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) )

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables  x  f  y  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 25662 . . 3  |-  ~~>v  =  { <. f ,  x >.  |  ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) }
21relopabi 5128 . 2  |-  Rel  ~~>v
3 relres 5301 . 2  |-  Rel  (
( ~~> t `  J
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
41eleq2i 2545 . . 3  |-  ( <.
f ,  x >.  e. 
~~>v  <->  <. f ,  x >.  e. 
{ <. f ,  x >.  |  ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
) } )
5 opabid 4754 . . 3  |-  ( <.
f ,  x >.  e. 
{ <. f ,  x >.  |  ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
) }  <->  ( (
f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
) )
6 ancom 450 . . . . 5  |-  ( (
<. f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J
)  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  /\  <. f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J ) ) )
7 h2hl.3 . . . . . . . 8  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
87hlex 25587 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  _V
9 nnex 10543 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
108, 9elmap 7448 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  f : NN --> ~H )
1110anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ~H 
^m  NN )  /\  <.
f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J
) )  <->  ( f : NN --> ~H  /\  <. f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J )
) )
12 df-br 4448 . . . . . . 7  |-  ( f ( ~~> t `  J
) x  <->  <. f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J )
)
13 h2hl.5 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
14 h2hl.2 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
15 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( IndMet `  U )
167, 15imsxmet 25371 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  ~H ) )
1714, 16mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> ~H  ->  D  e.  ( *Met `  ~H ) )
18 nnuz 11118 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
19 1zzd 10896 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> ~H  ->  1  e.  ZZ )
20 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  =  ( f `
 k ) )
21 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> ~H  ->  f : NN --> ~H )
2213, 17, 18, 19, 20, 21lmmbrf 21528 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> ~H  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  <->  ( x  e.  ~H  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k ) D x )  <  y ) ) )
23 eluznn 11153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
24 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ~H )
25 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2625, 14, 7, 15h2hmetdval 25668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f `  k
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( f `  k ) D x )  =  ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) ) )
2724, 26sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( f `
 k ) D x )  =  (
normh `  ( ( f `
 k )  -h  x ) ) )
2827breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( f `  k ) D x )  < 
y  <->  ( normh `  (
( f `  k
)  -h  x ) )  <  y ) )
2928an32s 802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( f `  k ) D x )  < 
y  <->  ( normh `  (
( f `  k
)  -h  x ) )  <  y ) )
3023, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( f `  k ) D x )  <  y  <->  ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
) )
3130anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( f `  k
) D x )  <  y  <->  ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
) )
3231ralbidva 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k ) D x )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) )
3332rexbidva 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k ) D x )  <  y  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) )
3433ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( f `  k ) D x )  < 
y  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
) )
3534pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> ~H  ->  ( ( x  e.  ~H  /\ 
A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( f `  k ) D x )  < 
y )  <->  ( x  e.  ~H  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) ) )
3622, 35bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> ~H  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  <->  ( x  e.  ~H  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) ) )
3712, 36syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> ~H  ->  (
<. f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) ) )
3837pm5.32i 637 . . . . 5  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  <.
f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J
) )  <->  ( f : NN --> ~H  /\  (
x  e.  ~H  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) ) )
396, 11, 383bitrri 272 . . . 4  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\ 
A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
) )  <->  ( <. f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
40 anass 649 . . . 4  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
)  <->  ( f : NN --> ~H  /\  (
x  e.  ~H  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  k )  -h  x ) )  < 
y ) ) )
41 vex 3116 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
4241opelres 5279 . . . 4  |-  ( <.
f ,  x >.  e.  ( ( ~~> t `  J )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( <. f ,  x >.  e.  ( ~~> t `  J )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4339, 40, 423bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  k )  -h  x
) )  <  y
)  <->  <. f ,  x >.  e.  ( ( ~~> t `  J )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
444, 5, 433bitri 271 . 2  |-  ( <.
f ,  x >.  e. 
~~>v  <->  <. f ,  x >.  e.  ( ( ~~> t `  J )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
452, 3, 44eqrelriiv 5097 1  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  J
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504    |` cres 5001   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421   1c1 9494    < clt 9629   NNcn 10537   ZZ>=cuz 11083   RR+crp 11221   *Metcxmt 18214   MetOpencmopn 18219   ~~> tclm 19533   NrmCVeccnv 25250   BaseSetcba 25252   IndMetcims 25257   ~Hchil 25609    +h cva 25610    .h csm 25611   normhcno 25613    -h cmv 25615    ~~>v chli 25617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-lm 19536  df-grpo 24966  df-gid 24967  df-ginv 24968  df-gdiv 24969  df-ablo 25057  df-vc 25212  df-nv 25258  df-va 25261  df-ba 25262  df-sm 25263  df-0v 25264  df-vs 25265  df-nmcv 25266  df-ims 25267  df-hvsub 25661  df-hlim 25662
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  25688  hlimadd  25883  hhlm  25889
  Copyright terms: Public domain W3C validator