Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Unicode version

Theorem h2hcau 26022
 Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1
h2hc.2
h2hc.3
h2hc.4
Assertion
Ref Expression
h2hcau

Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2816 . 2
2 df-hcau 26016 . 2
3 elin 3683 . . . 4
4 ancom 450 . . . 4
5 h2hc.3 . . . . . . . 8
65hlex 25940 . . . . . . 7
7 nnex 10562 . . . . . . 7
86, 7elmap 7466 . . . . . 6
9 nnuz 11141 . . . . . . . 8
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10
125, 11imsxmet 25724 . . . . . . . . 9
1310, 12mp1i 12 . . . . . . . 8
14 1zzd 10916 . . . . . . . 8
15 eqidd 2458 . . . . . . . 8
16 eqidd 2458 . . . . . . . 8
17 id 22 . . . . . . . 8
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 21844 . . . . . . 7
19 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
21 eluznn 11177 . . . . . . . . . . . . . 14
22 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
2423anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 26021 . . . . . . . . . . . 12
2720, 24, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
2827breq1d 4466 . . . . . . . . . 10
2928ralbidva 2893 . . . . . . . . 9
3029rexbidva 2965 . . . . . . . 8
3130ralbidv 2896 . . . . . . 7
3218, 31bitrd 253 . . . . . 6
338, 32sylbi 195 . . . . 5
3433pm5.32i 637 . . . 4
353, 4, 343bitri 271 . . 3
3635abbi2i 2590 . 2
371, 2, 363eqtr4i 2496 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442  wral 2807  wrex 2808  crab 2811   cin 3470  cop 4038   class class class wbr 4456  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmap 7438  c1 9510   clt 9645  cn 10556  cuz 11106  crp 11245  cxmt 18529  cca 21817  cnv 25603  cba 25605  cims 25610  chil 25962   cva 25963   csm 25964  cno 25966   cmv 25968  ccau 25969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-cau 21820  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-hvsub 26014  df-hcau 26016 This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  26041  hhcau  26241
 Copyright terms: Public domain W3C validator