Theorem h2hcau 10481

Description: The Cauchy sequences of Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
h2hc.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
h2hc.2	|- U e. NrmCVec
h2hc.4	|- ~H = (BaseSet` U)
h2hc.3	|- D = (IndMet` U)

Assertion

Ref	Expression
h2hcau	|- Cauchy = ((Cau` D) i^i (~H ^m NN))

Proof of Theorem h2hcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f:NN-->~H /\ z e. NN) -> (f` z) e. ~H)
2	1	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((f:NN-->~H /\ z e. NN) /\ w e. NN) -> (f` z) e. ~H)
3		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f:NN-->~H /\ w e. NN) -> (f` w) e. ~H)
4	3	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((f:NN-->~H /\ z e. NN) /\ w e. NN) -> (f` w) e. ~H)
5		h2hc.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
6		h2hc.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U e. NrmCVec
7		h2hc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ~H = (BaseSet` U)
8		h2hc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D = (IndMet` U)
9	5, 6, 7, 8	h2hmetdval 10480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) -> ((f` z)D(f` w)) = (normh` ((f` z) -h (f` w))))
10	9	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) -> (((f` z)D(f` w)) < x <-> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x))
11		ibar 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) -> (((f` z)D(f` w)) < x <-> (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))
12	10, 11	bitr3d 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) -> ((normh` ((f` z) -h (f` w))) < x <-> (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))
13		df-3an 860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x) <-> (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) /\ ((f` z)D(f` w)) < x))
14	12, 13	syl6bbr 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H) -> ((normh` ((f` z) -h (f` w))) < x <-> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))
15	2, 4, 14	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f:NN-->~H /\ z e. NN) /\ w e. NN) -> ((normh` ((f` z) -h (f` w))) < x <-> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))
16	15	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f:NN-->~H /\ z e. NN) /\ w e. NN) -> (((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x) <-> ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))
17	16	ralbidva 2119	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->~H /\ z e. NN) -> (A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x) <-> A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))
18	17	ralbidva 2119	. . . . . . . . . . 11 |- (f:NN-->~H -> (A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x) <-> A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))
19	18	rexbidv 2124	. . . . . . . . . 10 |- (f:NN-->~H -> (E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))
20		1z 7368	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
21		nnuz 7608	. . . . . . . . . . 11 |- NN = (ZZ>=` 1)
22	20, 21	cau5i 8171	. . . . . . . . . 10 |- (E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)) <-> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))
23	19, 22	syl6rbbr 598	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->~H -> (E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)) <-> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)))
24	23	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->~H -> ((0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x))))
25	24	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (f:NN-->~H -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x))))
26		fssxp 4575	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->~H -> f C_ (NN X. ~H))
27		nnsscn 7111	. . . . . . . . . . 11 |- NN C_ CC
28		ssid 2634	. . . . . . . . . . 11 |- ~H C_ ~H
29		xpss12 4089	. . . . . . . . . . 11 |- ((NN C_ CC /\ ~H C_ ~H) -> (NN X. ~H) C_ (CC X. ~H))
30	27, 28, 29	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- (NN X. ~H) C_ (CC X. ~H)
31		sstr 2625	. . . . . . . . . 10 |- ((f C_ (NN X. ~H) /\ (NN X. ~H) C_ (CC X. ~H)) -> f C_ (CC X. ~H))
32	30, 31	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- (f C_ (NN X. ~H) -> f C_ (CC X. ~H))
33	26, 32	syl 12	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->~H -> f C_ (CC X. ~H))
34	33	biantrurd 796	. . . . . . 7 |- (f:NN-->~H -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))) <-> (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))))
35	25, 34	bitr3d 589	. . . . . 6 |- (f:NN-->~H -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)) <-> (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))))
36	35	pm5.32i 707	. . . . 5 |- ((f:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x))) <-> (f:NN-->~H /\ (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))))
37		ancom 482	. . . . 5 |- ((f:NN-->~H /\ (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))) <-> ((f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))) /\ f:NN-->~H))
38	36, 37	bitri 190	. . . 4 |- ((f:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x))) <-> ((f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))) /\ f:NN-->~H))
39	38	abbii 2006	. . 3 |- {f | (f:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)))} = {f | ((f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))) /\ f:NN-->~H)}
40		inab 2861	. . 3 |- ({f | (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))} i^i {f | f:NN-->~H}) = {f | ((f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x)))) /\ f:NN-->~H)}
41	39, 40	eqtr4i 1911	. 2 |- {f | (f:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)))} = ({f | (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))} i^i {f | f:NN-->~H})
42		df-hcau 10474	. 2 |- Cauchy = {f | (f:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)))}
43	8	imsmet 9656	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> D e. Met)
44	6, 43	ax-mp 7	. . . 4 |- D e. Met
45	7, 8, 6	imsbai 9654	. . . . 5 |- ~H = dom dom D
46	45	caufval 9204	. . . 4 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))})
47	44, 46	ax-mp 7	. . 3 |- (Cau` D) = {f | (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))}
48	7	hlex 9947	. . . 4 |- ~H e. _V
49		nnex 7116	. . . 4 |- NN e. _V
50	48, 49	mapval 5391	. . 3 |- (~H ^m NN) = {f | f:NN-->~H}
51	47, 50	ineq12i 2794	. 2 |- ((Cau` D) i^i (~H ^m NN)) = ({f | (f C_ (CC X. ~H) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. ZZ A.z e. ZZ A.w e. ZZ ((y <_ z /\ y <_ w) -> ((f` z) e. ~H /\ (f` w) e. ~H /\ ((f` z)D(f` w)) < x))))} i^i {f | f:NN-->~H})
52	41, 42, 51	3eqtr4i 1921	1 |- Cauchy = ((Cau` D) i^i (~H ^m NN))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  Metcme 9066  Caucca 9198  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  IndMetcims 9542  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424  normhcno 10426  Cauchyccau 10427

This theorem is referenced by:  axhcompl 10500  hilcau 10699  hhcau 10701

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-met 9070  df-cau 9201  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-hvsub 10472  df-hcau 10474

Copyright terms: Public domain