HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Unicode version

Theorem h2hcau 24393
Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
h2hc.2  |-  U  e.  NrmCVec
h2hc.3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
h2hc.4  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
h2hcau  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )

Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables  f 
j  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2736 . 2  |-  { f  e.  ( ~H  ^m  NN )  |  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  j )  -h  ( f `  k
) ) )  < 
x }  =  {
f  |  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  j )  -h  ( f `  k
) ) )  < 
x ) }
2 df-hcau 24387 . 2  |-  Cauchy  =  {
f  e.  ( ~H 
^m  NN )  | 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  j )  -h  (
f `  k )
) )  <  x }
3 elin 3551 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  /\  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5 h2hc.3 . . . . . . . 8  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
65hlex 24311 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  _V
7 nnex 10340 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
86, 7elmap 7253 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  f : NN --> ~H )
9 nnuz 10908 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( IndMet `  U )
125, 11imsxmet 24095 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  ~H ) )
1310, 12mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> ~H  ->  D  e.  ( *Met `  ~H ) )
14 1zzd 10689 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> ~H  ->  1  e.  ZZ )
15 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  =  ( f `
 k ) )
16 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  j  e.  NN )  ->  ( f `  j
)  =  ( f `
 j ) )
17 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> ~H  ->  f : NN --> ~H )
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 20803 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> ~H  ->  ( f  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  j ) D ( f `  k ) )  <  x ) )
19 ffvelrn 5853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  j  e.  NN )  ->  ( f `  j
)  e.  ~H )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( f `  j )  e.  ~H )
21 eluznn 10937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
22 ffvelrn 5853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ~H )
2321, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( f `  k )  e.  ~H )
2423anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( f `  k )  e.  ~H )
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 24392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  j
)  e.  ~H  /\  ( f `  k
)  e.  ~H )  ->  ( ( f `  j ) D ( f `  k ) )  =  ( normh `  ( ( f `  j )  -h  (
f `  k )
) ) )
2720, 24, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( f `
 j ) D ( f `  k
) )  =  (
normh `  ( ( f `
 j )  -h  ( f `  k
) ) ) )
2827breq1d 4314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : NN --> ~H  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( f `  j ) D ( f `  k ) )  < 
x  <->  ( normh `  (
( f `  j
)  -h  ( f `
 k ) ) )  <  x ) )
2928ralbidva 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  j ) D ( f `  k ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  j )  -h  ( f `  k
) ) )  < 
x ) )
3029rexbidva 2744 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> ~H  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( f `  j ) D ( f `  k ) )  < 
x  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  j )  -h  (
f `  k )
) )  <  x
) )
3130ralbidv 2747 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> ~H  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( f `  j ) D ( f `  k ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  j )  -h  (
f `  k )
) )  <  x
) )
3218, 31bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> ~H  ->  ( f  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  j )  -h  ( f `  k
) ) )  < 
x ) )
338, 32sylbi 195 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  j )  -h  (
f `  k )
) )  <  x
) )
3433pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( ~H 
^m  NN )  /\  f  e.  ( Cau `  D ) )  <->  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  j )  -h  (
f `  k )
) )  <  x
) )
353, 4, 343bitri 271 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( f `  j )  -h  (
f `  k )
) )  <  x
) )
3635abbi2i 2560 . 2  |-  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  =  {
f  |  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( (
f `  j )  -h  ( f `  k
) ) )  < 
x ) }
371, 2, 363eqtr4i 2473 1  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2727   E.wrex 2728   {crab 2731    i^i cin 3339   <.cop 3895   class class class wbr 4304   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   1c1 9295    < clt 9430   NNcn 10334   ZZ>=cuz 10873   RR+crp 11003   *Metcxmt 17813   Caucca 20776   NrmCVeccnv 23974   BaseSetcba 23976   IndMetcims 23981   ~Hchil 24333    +h cva 24334    .h csm 24335   normhcno 24337    -h cmv 24339   Cauchyccau 24340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-cau 20779  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-hvsub 24385  df-hcau 24387
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  24412  hhcau  24612
  Copyright terms: Public domain W3C validator