HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1did Structured version   Unicode version

Theorem h1did 26445
Description: A generating vector belongs to the 1-dimensional subspace it generates. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
h1did  |-  ( A  e.  ~H  ->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) ) )

Proof of Theorem h1did
StepHypRef Expression
1 snssi 4159 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  { A }  C_  ~H )
2 ococss 26187 . . 3  |-  ( { A }  C_  ~H  ->  { A }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { A } ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  { A }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) ) )
4 snssg 4148 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { A } ) )  <->  { A }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) ) ) )
53, 4mpbird 232 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { A }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578   ~Hchil 25812   _|_cort 25823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-hilex 25892  ax-hfvadd 25893  ax-hv0cl 25896  ax-hfvmul 25898  ax-hvmul0 25903  ax-hfi 25972  ax-his1 25975  ax-his2 25976  ax-his3 25977
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sh 26100  df-oc 26146
This theorem is referenced by:  h1dn0  26446  h1de2bi  26448  h1de2ctlem  26449  spansnid  26457
  Copyright terms: Public domain W3C validator