HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1dei Structured version   Unicode version

Theorem h1dei 26585
Description: Membership in 1-dimensional subspace. (Contributed by NM, 7-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
h1deot.1  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
h1dei  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  ( A  e.  ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( ( B 
.ih  x )  =  0  ->  ( A  .ih  x )  =  0 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem h1dei
StepHypRef Expression
1 h1deot.1 . . . . 5  |-  B  e. 
~H
2 snssi 4088 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
3 occl 26339 . . . . 5  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( _|_ `  { B } )  e.  CH )
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4  |-  ( _|_ `  { B } )  e.  CH
54chssii 26266 . . 3  |-  ( _|_ `  { B } ) 
C_  ~H
6 ocel 26316 . . 3  |-  ( ( _|_ `  { B } )  C_  ~H  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  ( A  e. 
~H  /\  A. x  e.  ( _|_ `  { B } ) ( A 
.ih  x )  =  0 ) ) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  ( A  e.  ~H  /\  A. x  e.  ( _|_ `  { B } ) ( A 
.ih  x )  =  0 ) )
81h1deoi 26584 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( _|_ `  { B } )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( x 
.ih  B )  =  0 ) )
9 orthcom 26142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  B )  =  0  <->  ( B  .ih  x )  =  0 ) )
101, 9mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( x  .ih  B
)  =  0  <->  ( B  .ih  x )  =  0 ) )
1110pm5.32i 635 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( x  .ih  B )  =  0 )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( B 
.ih  x )  =  0 ) )
128, 11bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _|_ `  { B } )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( B 
.ih  x )  =  0 ) )
1312imbi1i 323 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( _|_ `  { B } )  ->  ( A  .ih  x )  =  0 )  <->  ( ( x  e.  ~H  /\  ( B  .ih  x )  =  0 )  ->  ( A  .ih  x )  =  0 ) )
14 impexp 444 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  ( B  .ih  x
)  =  0 )  ->  ( A  .ih  x )  =  0 )  <->  ( x  e. 
~H  ->  ( ( B 
.ih  x )  =  0  ->  ( A  .ih  x )  =  0 ) ) )
1513, 14bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( _|_ `  { B } )  ->  ( A  .ih  x )  =  0 )  <->  ( x  e. 
~H  ->  ( ( B 
.ih  x )  =  0  ->  ( A  .ih  x )  =  0 ) ) )
1615ralbii2 2811 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( _|_ `  { B } ) ( A  .ih  x
)  =  0  <->  A. x  e.  ~H  (
( B  .ih  x
)  =  0  -> 
( A  .ih  x
)  =  0 ) )
1716anbi2i 692 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A. x  e.  ( _|_ `  { B } ) ( A  .ih  x
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  ~H  ( ( B  .ih  x )  =  0  ->  ( A  .ih  x )  =  0 ) ) )
187, 17bitri 249 1  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  ( A  e.  ~H  /\  A. x  e.  ~H  ( ( B 
.ih  x )  =  0  ->  ( A  .ih  x )  =  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732    C_ wss 3389   {csn 3944   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   ~Hchil 25953    .ih csp 25956   CHcch 25963   _|_cort 25964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvmulass 26041  ax-hvdistr1 26042  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119  ax-hcompl 26236
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-lm 19816  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cau 21780  df-grpo 25310  df-gid 25311  df-ginv 25312  df-gdiv 25313  df-ablo 25401  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-vs 25609  df-nmcv 25610  df-ims 25611  df-dip 25728  df-hnorm 26002  df-hvsub 26005  df-hlim 26006  df-hcau 26007  df-sh 26241  df-ch 26256  df-oc 26287
This theorem is referenced by:  h1de2i  26588
  Copyright terms: Public domain W3C validator