Theorem h1de2i 11109

Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector.

Hypotheses

Ref	Expression
h1de2.1	|- A e. ~H
h1de2.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
h1de2i	|- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> ((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B))

Proof of Theorem h1de2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1de2.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. ~H
2	1, 1	hicli 10581	. . . . . . . . 9 |- (B .ih B) e. CC
3		h1de2.1	. . . . . . . . 9 |- A e. ~H
4	2, 3	hvmulcli 10516	. . . . . . . 8 |- ((B .ih B) .h A) e. ~H
5	3, 1	hicli 10581	. . . . . . . . 9 |- (A .ih B) e. CC
6	5, 1	hvmulcli 10516	. . . . . . . 8 |- ((A .ih B) .h B) e. ~H
7		his2sub 10591	. . . . . . . 8 |- ((((B .ih B) .h A) e. ~H /\ ((A .ih B) .h B) e. ~H /\ B e. ~H) -> ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih B) = ((((B .ih B) .h A) .ih B) - (((A .ih B) .h B) .ih B)))
8	4, 6, 1, 7	mp3an 1191	. . . . . . 7 |- ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih B) = ((((B .ih B) .h A) .ih B) - (((A .ih B) .h B) .ih B))
9	2, 5	mulcomi 6476	. . . . . . . . 9 |- ((B .ih B) x. (A .ih B)) = ((A .ih B) x. (B .ih B))
10		ax-his3 10584	. . . . . . . . . 10 |- (((B .ih B) e. CC /\ A e. ~H /\ B e. ~H) -> (((B .ih B) .h A) .ih B) = ((B .ih B) x. (A .ih B)))
11	2, 3, 1, 10	mp3an 1191	. . . . . . . . 9 |- (((B .ih B) .h A) .ih B) = ((B .ih B) x. (A .ih B))
12		ax-his3 10584	. . . . . . . . . 10 |- (((A .ih B) e. CC /\ B e. ~H /\ B e. ~H) -> (((A .ih B) .h B) .ih B) = ((A .ih B) x. (B .ih B)))
13	5, 1, 1, 12	mp3an 1191	. . . . . . . . 9 |- (((A .ih B) .h B) .ih B) = ((A .ih B) x. (B .ih B))
14	9, 11, 13	3eqtr4i 1921	. . . . . . . 8 |- (((B .ih B) .h A) .ih B) = (((A .ih B) .h B) .ih B)
15	4, 1	hicli 10581	. . . . . . . . 9 |- (((B .ih B) .h A) .ih B) e. CC
16	6, 1	hicli 10581	. . . . . . . . 9 |- (((A .ih B) .h B) .ih B) e. CC
17	15, 16	subeq0i 6565	. . . . . . . 8 |- (((((B .ih B) .h A) .ih B) - (((A .ih B) .h B) .ih B)) = 0 <-> (((B .ih B) .h A) .ih B) = (((A .ih B) .h B) .ih B))
18	14, 17	mpbir 207	. . . . . . 7 |- ((((B .ih B) .h A) .ih B) - (((A .ih B) .h B) .ih B)) = 0
19	8, 18	eqtri 1908	. . . . . 6 |- ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih B) = 0
20	1	h1dei 11106	. . . . . . . . 9 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> (A e. ~H /\ A.x e. ~H ((B .ih x) = 0 -> (A .ih x) = 0)))
21	20, 3	mpbiran 798	. . . . . . . 8 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> A.x e. ~H ((B .ih x) = 0 -> (A .ih x) = 0))
22	4, 6	hvsubcli 10523	. . . . . . . . 9 |- (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) e. ~H
23		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) -> (B .ih x) = (B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))))
24	23	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) -> ((B .ih x) = 0 <-> (B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0))
25		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) -> (A .ih x) = (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))))
26	25	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) -> ((A .ih x) = 0 <-> (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0))
27	24, 26	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (x = (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) -> (((B .ih x) = 0 -> (A .ih x) = 0) <-> ((B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0 -> (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0)))
28	27	rcla4v 2376	. . . . . . . . 9 |- ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) e. ~H -> (A.x e. ~H ((B .ih x) = 0 -> (A .ih x) = 0) -> ((B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0 -> (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0)))
29	22, 28	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (A.x e. ~H ((B .ih x) = 0 -> (A .ih x) = 0) -> ((B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0 -> (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0))
30	21, 29	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> ((B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0 -> (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0))
31		orthcom 10607	. . . . . . . 8 |- (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) e. ~H /\ B e. ~H) -> (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih B) = 0 <-> (B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0))
32	22, 1, 31	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih B) = 0 <-> (B .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0)
33		orthcom 10607	. . . . . . . 8 |- (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) e. ~H /\ A e. ~H) -> (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih A) = 0 <-> (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0))
34	22, 3, 33	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih A) = 0 <-> (A .ih (((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B))) = 0)
35	30, 32, 34	3imtr4g 612	. . . . . 6 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> (((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih B) = 0 -> ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih A) = 0))
36	19, 35	mpi 55	. . . . 5 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih A) = 0)
37		his2sub 10591	. . . . . . 7 |- ((((B .ih B) .h A) e. ~H /\ ((A .ih B) .h B) e. ~H /\ A e. ~H) -> ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih A) = ((((B .ih B) .h A) .ih A) - (((A .ih B) .h B) .ih A)))
38	4, 6, 3, 37	mp3an 1191	. . . . . 6 |- ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih A) = ((((B .ih B) .h A) .ih A) - (((A .ih B) .h B) .ih A))
39		ax-his3 10584	. . . . . . . . 9 |- (((B .ih B) e. CC /\ A e. ~H /\ A e. ~H) -> (((B .ih B) .h A) .ih A) = ((B .ih B) x. (A .ih A)))
40	2, 3, 3, 39	mp3an 1191	. . . . . . . 8 |- (((B .ih B) .h A) .ih A) = ((B .ih B) x. (A .ih A))
41	3, 3	hicli 10581	. . . . . . . . 9 |- (A .ih A) e. CC
42	2, 41	mulcomi 6476	. . . . . . . 8 |- ((B .ih B) x. (A .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B))
43	40, 42	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- (((B .ih B) .h A) .ih A) = ((A .ih A) x. (B .ih B))
44		ax-his3 10584	. . . . . . . 8 |- (((A .ih B) e. CC /\ B e. ~H /\ A e. ~H) -> (((A .ih B) .h B) .ih A) = ((A .ih B) x. (B .ih A)))
45	5, 1, 3, 44	mp3an 1191	. . . . . . 7 |- (((A .ih B) .h B) .ih A) = ((A .ih B) x. (B .ih A))
46	43, 45	opreq12i 4894	. . . . . 6 |- ((((B .ih B) .h A) .ih A) - (((A .ih B) .h B) .ih A)) = (((A .ih A) x. (B .ih B)) - ((A .ih B) x. (B .ih A)))
47	38, 46	eqtr2i 1909	. . . . 5 |- (((A .ih A) x. (B .ih B)) - ((A .ih B) x. (B .ih A))) = ((((B .ih B) .h A) -h ((A .ih B) .h B)) .ih A)
48	36, 47	syl5eq 1940	. . . 4 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> (((A .ih A) x. (B .ih B)) - ((A .ih B) x. (B .ih A))) = 0)
49	41, 2	mulcli 6474	. . . . 5 |- ((A .ih A) x. (B .ih B)) e. CC
50	1, 3	hicli 10581	. . . . . 6 |- (B .ih A) e. CC
51	5, 50	mulcli 6474	. . . . 5 |- ((A .ih B) x. (B .ih A)) e. CC
52	49, 51	subeq0i 6565	. . . 4 |- ((((A .ih A) x. (B .ih B)) - ((A .ih B) x. (B .ih A))) = 0 <-> ((A .ih A) x. (B .ih B)) = ((A .ih B) x. (B .ih A)))
53	48, 52	sylib 215	. . 3 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> ((A .ih A) x. (B .ih B)) = ((A .ih B) x. (B .ih A)))
54	53	eqcomd 1889	. 2 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> ((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)))
55	3, 1	bcseqi 10619	. 2 |- (((A .ih B) x. (B .ih A)) = ((A .ih A) x. (B .ih B)) <-> ((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B))
56	54, 55	sylib 215	1 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> ((B .ih B) .h A) = ((A .ih B) .h B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   x. cmul 6391   - cmin 6445  ~Hchil 10420   .h csm 10422   -h cmv 10424   .ih csp 10425  _|_cort 10431

This theorem is referenced by:  h1de2bi 11110

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757

Copyright terms: Public domain