HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2ctlem Structured version   Unicode version

Theorem h1de2ctlem 26165
Description: Lemma for h1de2ci 26166. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1  |-  A  e. 
~H
h1de2.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
h1de2ctlem  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem h1de2ctlem
StepHypRef Expression
1 sneq 4037 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0h  ->  { B }  =  { 0h } )
21fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0h  ->  ( _|_ `  { B }
)  =  ( _|_ `  { 0h } ) )
32fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( B  =  0h  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h }
) ) )
43eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( B  =  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h } ) ) ) )
5 h1de2.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
~H
65elexi 3123 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
76elsnc 4051 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { 0h }  <->  A  =  0h )
8 hsn0elch 25858 . . . . . . . 8  |-  { 0h }  e.  CH
98ococi 26015 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h } ) )  =  { 0h }
109eleq2i 2545 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h }
) )  <->  A  e.  { 0h } )
11 h1de2.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
~H
12 ax-hvmul0 25619 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
0  .h  B )  =  0h )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  .h  B )  =  0h
1413eqeq2i 2485 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( 0  .h  B )  <->  A  =  0h )
157, 10, 143bitr4ri 278 . . . . 5  |-  ( A  =  ( 0  .h  B )  <->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h } ) ) )
164, 15syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( B  =  0h  ->  ( A  =  ( 0  .h  B )  <->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
17 0cn 9587 . . . . 5  |-  0  e.  CC
18 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .h  B )  =  ( 0  .h  B ) )
1918eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  <->  A  =  ( 0  .h  B
) ) )
2019rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  =  ( 0  .h  B ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
2117, 20mpan 670 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0  .h  B )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
2216, 21syl6bir 229 . . 3  |-  ( B  =  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
235, 11h1de2bi 26164 . . . 4  |-  ( B  =/=  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  =  ( ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  .h  B
) ) )
24 his6 25708 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( B  .ih  B
)  =  0  <->  B  =  0h ) )
2511, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  .ih  B )  =  0  <->  B  =  0h )
2625necon3bii 2735 . . . . . . 7  |-  ( ( B  .ih  B )  =/=  0  <->  B  =/=  0h )
275, 11hicli 25690 . . . . . . . 8  |-  ( A 
.ih  B )  e.  CC
2811, 11hicli 25690 . . . . . . . 8  |-  ( B 
.ih  B )  e.  CC
2927, 28divclzi 10278 . . . . . . 7  |-  ( ( B  .ih  B )  =/=  0  ->  (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  e.  CC )
3026, 29sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  0h  ->  (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  e.  CC )
31 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  ->  (
x  .h  B )  =  ( ( ( A  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B
) )
3231eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  <->  A  =  ( ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  .h  B
) ) )
3332rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  .ih  B )  /  ( B 
.ih  B ) )  e.  CC  /\  A  =  ( ( ( A  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B
) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
3430, 33sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( B  =/=  0h  /\  A  =  ( (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
3534ex 434 . . . 4  |-  ( B  =/=  0h  ->  ( A  =  ( (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
3623, 35sylbid 215 . . 3  |-  ( B  =/=  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
3722, 36pm2.61ine 2780 . 2  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
38 snssi 4171 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
39 occl 25914 . . . . . . . 8  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( _|_ `  { B } )  e.  CH )
4011, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  { B } )  e.  CH
4140choccli 25917 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  e. 
CH
4241chshii 25837 . . . . 5  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  e.  SH
43 h1did 26161 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~H  ->  B  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) )
4411, 43ax-mp 5 . . . . 5  |-  B  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )
45 shmulcl 25827 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  B  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) )  ->  ( x  .h  B )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) )
4642, 44, 45mp3an13 1315 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  .h  B )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) )
47 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  ( x  .h  B )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
4846, 47syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) ) )
4948rexlimiv 2949 . 2  |-  ( E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B )  ->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) )
5037, 49impbii 188 1  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491    / cdiv 10205   ~Hchil 25528    .h csm 25530    .ih csp 25531   0hc0v 25533   SHcsh 25537   CHcch 25538   _|_cort 25539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cc 8814  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571  ax-hilex 25608  ax-hfvadd 25609  ax-hvcom 25610  ax-hvass 25611  ax-hv0cl 25612  ax-hvaddid 25613  ax-hfvmul 25614  ax-hvmulid 25615  ax-hvmulass 25616  ax-hvdistr1 25617  ax-hvdistr2 25618  ax-hvmul0 25619  ax-hfi 25688  ax-his1 25691  ax-his2 25692  ax-his3 25693  ax-his4 25694  ax-hcompl 25811
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-acn 8322  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-lm 19512  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cfil 21445  df-cau 21446  df-cmet 21447  df-grpo 24885  df-gid 24886  df-ginv 24887  df-gdiv 24888  df-ablo 24976  df-subgo 24996  df-vc 25131  df-nv 25177  df-va 25180  df-ba 25181  df-sm 25182  df-0v 25183  df-vs 25184  df-nmcv 25185  df-ims 25186  df-dip 25303  df-ssp 25327  df-ph 25420  df-cbn 25471  df-hnorm 25577  df-hba 25578  df-hvsub 25580  df-hlim 25581  df-hcau 25582  df-sh 25816  df-ch 25831  df-oc 25862  df-ch0 25863
This theorem is referenced by:  h1de2ci  26166
  Copyright terms: Public domain W3C validator