HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2ctlem Structured version   Unicode version

Theorem h1de2ctlem 24958
Description: Lemma for h1de2ci 24959. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1  |-  A  e. 
~H
h1de2.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
h1de2ctlem  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem h1de2ctlem
StepHypRef Expression
1 sneq 3887 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0h  ->  { B }  =  { 0h } )
21fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0h  ->  ( _|_ `  { B }
)  =  ( _|_ `  { 0h } ) )
32fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( B  =  0h  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h }
) ) )
43eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( B  =  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h } ) ) ) )
5 h1de2.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
~H
65elexi 2982 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
76elsnc 3901 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { 0h }  <->  A  =  0h )
8 hsn0elch 24651 . . . . . . . 8  |-  { 0h }  e.  CH
98ococi 24808 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h } ) )  =  { 0h }
109eleq2i 2507 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h }
) )  <->  A  e.  { 0h } )
11 h1de2.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
~H
12 ax-hvmul0 24412 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
0  .h  B )  =  0h )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  .h  B )  =  0h
1413eqeq2i 2453 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( 0  .h  B )  <->  A  =  0h )
157, 10, 143bitr4ri 278 . . . . 5  |-  ( A  =  ( 0  .h  B )  <->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { 0h } ) ) )
164, 15syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( B  =  0h  ->  ( A  =  ( 0  .h  B )  <->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
17 0cn 9378 . . . . 5  |-  0  e.  CC
18 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .h  B )  =  ( 0  .h  B ) )
1918eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  <->  A  =  ( 0  .h  B
) ) )
2019rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  =  ( 0  .h  B ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
2117, 20mpan 670 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0  .h  B )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
2216, 21syl6bir 229 . . 3  |-  ( B  =  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
235, 11h1de2bi 24957 . . . 4  |-  ( B  =/=  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  =  ( ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  .h  B
) ) )
24 his6 24501 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( B  .ih  B
)  =  0  <->  B  =  0h ) )
2511, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  .ih  B )  =  0  <->  B  =  0h )
2625necon3bii 2640 . . . . . . 7  |-  ( ( B  .ih  B )  =/=  0  <->  B  =/=  0h )
275, 11hicli 24483 . . . . . . . 8  |-  ( A 
.ih  B )  e.  CC
2811, 11hicli 24483 . . . . . . . 8  |-  ( B 
.ih  B )  e.  CC
2927, 28divclzi 10066 . . . . . . 7  |-  ( ( B  .ih  B )  =/=  0  ->  (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  e.  CC )
3026, 29sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  0h  ->  (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  e.  CC )
31 oveq1 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  ->  (
x  .h  B )  =  ( ( ( A  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B
) )
3231eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  <->  A  =  ( ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  .h  B
) ) )
3332rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  .ih  B )  /  ( B 
.ih  B ) )  e.  CC  /\  A  =  ( ( ( A  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B
) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
3430, 33sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( B  =/=  0h  /\  A  =  ( (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
3534ex 434 . . . 4  |-  ( B  =/=  0h  ->  ( A  =  ( (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
3623, 35sylbid 215 . . 3  |-  ( B  =/=  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
3722, 36pm2.61ine 2687 . 2  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  ->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
38 snssi 4017 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
39 occl 24707 . . . . . . . 8  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( _|_ `  { B } )  e.  CH )
4011, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  { B } )  e.  CH
4140choccli 24710 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  e. 
CH
4241chshii 24630 . . . . 5  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  e.  SH
43 h1did 24954 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~H  ->  B  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) )
4411, 43ax-mp 5 . . . . 5  |-  B  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )
45 shmulcl 24620 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  B  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) )  ->  ( x  .h  B )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) )
4642, 44, 45mp3an13 1305 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  .h  B )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) )
47 eleq1 2503 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  ( x  .h  B )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
4846, 47syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) ) )
4948rexlimiv 2835 . 2  |-  ( E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B )  ->  A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) ) )
5037, 49impbii 188 1  |-  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716    C_ wss 3328   {csn 3877   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282    / cdiv 9993   ~Hchil 24321    .h csm 24323    .ih csp 24324   0hc0v 24326   SHcsh 24330   CHcch 24331   _|_cort 24332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cc 8604  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362  ax-hilex 24401  ax-hfvadd 24402  ax-hvcom 24403  ax-hvass 24404  ax-hv0cl 24405  ax-hvaddid 24406  ax-hfvmul 24407  ax-hvmulid 24408  ax-hvmulass 24409  ax-hvdistr1 24410  ax-hvdistr2 24411  ax-hvmul0 24412  ax-hfi 24481  ax-his1 24484  ax-his2 24485  ax-his3 24486  ax-his4 24487  ax-hcompl 24604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-lm 18833  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cfil 20766  df-cau 20767  df-cmet 20768  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-subgo 23789  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-dip 24096  df-ssp 24120  df-ph 24213  df-cbn 24264  df-hnorm 24370  df-hba 24371  df-hvsub 24373  df-hlim 24374  df-hcau 24375  df-sh 24609  df-ch 24624  df-oc 24655  df-ch0 24656
This theorem is referenced by:  h1de2ci  24959
  Copyright terms: Public domain W3C validator