Theorem h1de2ctlem 11111

Description: Lemma for h1de2ci 11112.

Hypotheses

Ref	Expression
h1de2.1	|- A e. ~H
h1de2.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
h1de2ctlem	|- (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> E.x e. CC A = (x .h B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem h1de2ctlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3054	. . . . . . . 8 |- (B = 0h -> {B} = {0h})
2	1	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (B = 0h -> (_|_` {B}) = (_|_` {0h}))
3	2	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (B = 0h -> (_|_` (_|_` {B})) = (_|_` (_|_` {0h})))
4	3	eleq2d 1964	. . . . 5 |- (B = 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> A e. (_|_` (_|_` {0h}))))
5		h1de2.1	. . . . . . . 8 |- A e. ~H
6	5	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- A e. _V
7	6	elsnc 3065	. . . . . 6 |- (A e. {0h} <-> A = 0h)
8		hsn0elch 10753	. . . . . . . 8 |- {0h} e. CH
9	8	ococi 10880	. . . . . . 7 |- (_|_` (_|_` {0h})) = {0h}
10	9	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (A e. (_|_` (_|_` {0h})) <-> A e. {0h})
11		h1de2.2	. . . . . . . 8 |- B e. ~H
12		ax-hvmul0 10512	. . . . . . . 8 |- (B e. ~H -> (0 .h B) = 0h)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0 .h B) = 0h
14	13	eqeq2i 1894	. . . . . 6 |- (A = (0 .h B) <-> A = 0h)
15	7, 10, 14	3bitr4ri 201	. . . . 5 |- (A = (0 .h B) <-> A e. (_|_` (_|_` {0h})))
16	4, 15	syl6rbbr 598	. . . 4 |- (B = 0h -> (A = (0 .h B) <-> A e. (_|_` (_|_` {B}))))
17		0cn 6481	. . . . 5 |- 0 e. CC
18		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (x = 0 -> (x .h B) = (0 .h B))
19	18	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (x = 0 -> (A = (x .h B) <-> A = (0 .h B)))
20	19	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((0 e. CC /\ A = (0 .h B)) -> E.x e. CC A = (x .h B))
21	17, 20	mpan 759	. . . 4 |- (A = (0 .h B) -> E.x e. CC A = (x .h B))
22	16, 21	syl6bir 232	. . 3 |- (B = 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> E.x e. CC A = (x .h B)))
23	5, 11	h1de2bi 11110	. . . 4 |- (B =/= 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)))
24		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (x = ((A .ih B) / (B .ih B)) -> (x .h B) = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B))
25	24	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (x = ((A .ih B) / (B .ih B)) -> (A = (x .h B) <-> A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)))
26	25	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((((A .ih B) / (B .ih B)) e. CC /\ A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)) -> E.x e. CC A = (x .h B))
27		his6 10598	. . . . . . . . 9 |- (B e. ~H -> ((B .ih B) = 0 <-> B = 0h))
28	11, 27	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((B .ih B) = 0 <-> B = 0h)
29	28	necon3bii 2032	. . . . . . 7 |- ((B .ih B) =/= 0 <-> B =/= 0h)
30	5, 11	hicli 10581	. . . . . . . 8 |- (A .ih B) e. CC
31	11, 11	hicli 10581	. . . . . . . 8 |- (B .ih B) e. CC
32	30, 31	divclzi 6900	. . . . . . 7 |- ((B .ih B) =/= 0 -> ((A .ih B) / (B .ih B)) e. CC)
33	29, 32	sylbir 218	. . . . . 6 |- (B =/= 0h -> ((A .ih B) / (B .ih B)) e. CC)
34	26, 33	sylan 497	. . . . 5 |- ((B =/= 0h /\ A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)) -> E.x e. CC A = (x .h B))
35	34	ex 402	. . . 4 |- (B =/= 0h -> (A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B) -> E.x e. CC A = (x .h B)))
36	23, 35	sylbid 220	. . 3 |- (B =/= 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> E.x e. CC A = (x .h B)))
37	22, 36	pm2.61ine 2089	. 2 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> E.x e. CC A = (x .h B))
38		eleq1 1957	. . . 4 |- (A = (x .h B) -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B}))))
39		h1did 11107	. . . . . 6 |- (B e. ~H -> B e. (_|_` (_|_` {B})))
40	11, 39	ax-mp 7	. . . . 5 |- B e. (_|_` (_|_` {B}))
41		snssi 3129	. . . . . . . . . 10 |- (B e. ~H -> {B} C_ ~H)
42	11, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- {B} C_ ~H
43	42	occli 10814	. . . . . . . 8 |- (_|_` {B}) e. CH
44	43	choccli 10818	. . . . . . 7 |- (_|_` (_|_` {B})) e. CH
45	44	chshii 10730	. . . . . 6 |- (_|_` (_|_` {B})) e. SH
46		shmulclOLD 10721	. . . . . 6 |- ((_|_` (_|_` {B})) e. SH -> ((x e. CC /\ B e. (_|_` (_|_` {B}))) -> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B}))))
47	45, 46	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ B e. (_|_` (_|_` {B}))) -> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B})))
48	40, 47	mpan2 760	. . . 4 |- (x e. CC -> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B})))
49	38, 48	syl5cbir 228	. . 3 |- (x e. CC -> (A = (x .h B) -> A e. (_|_` (_|_` {B}))))
50	49	r19.23aiv 2211	. 2 |- (E.x e. CC A = (x .h B) -> A e. (_|_` (_|_` {B})))
51	37, 50	impbii 174	1 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> E.x e. CC A = (x .h B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   C_ wss 2593  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   / cdiv 6447  ~Hchil 10420   .h csm 10422  0hc0v 10423   .ih csp 10425  SHcsh 10429  _|_cort 10431

This theorem is referenced by:  h1de2ci 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758

Copyright terms: Public domain