Theorem h1datom 9625

Description: A 1-dimensional subspace is an atom.

Assertion

Ref	Expression
h1datom	|- ((A e. CH /\ B e. H~) -> (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H)))

Proof of Theorem h1datom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2126	. . 3 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> (A (_ (_|_` (_|_` {B})) <-> if(A e. CH, A, 0H) (_ (_|_` (_|_` {B}))))
2		eqeq1 1518	. . . 4 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) <-> if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {B}))))
3		eqeq1 1518	. . . 4 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> (A = 0H <-> if(A e. CH, A, 0H) = 0H))
4	2, 3	orbi12d 629	. . 3 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> ((A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H) <-> (if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {B})) \/ if(A e. CH, A, 0H) = 0H)))
5	1, 4	imbi12d 628	. 2 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> ((A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H)) <-> (if(A e. CH, A, 0H) (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {B})) \/ if(A e. CH, A, 0H) = 0H))))
6		sneq 2462	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> {B} = {if(B e. H~, B, 0h)})
7	6	fveq2d 3804	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (_|_` {B}) = (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)}))
8	7	fveq2d 3804	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (_|_` (_|_` {B})) = (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)})))
9	8	sseq2d 2133	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. CH, A, 0H) (_ (_|_` (_|_` {B})) <-> if(A e. CH, A, 0H) (_ (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)}))))
10	8	eqeq2d 1523	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {B})) <-> if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)}))))
11	10	orbi1d 617	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {B})) \/ if(A e. CH, A, 0H) = 0H) <-> (if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)})) \/ if(A e. CH, A, 0H) = 0H)))
12	9, 11	imbi12d 628	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((if(A e. CH, A, 0H) (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {B})) \/ if(A e. CH, A, 0H) = 0H)) <-> (if(A e. CH, A, 0H) (_ (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)})) -> (if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)})) \/ if(A e. CH, A, 0H) = 0H))))
13		h0elch 9247	. . . 4 |- 0H e. CH
14	13	elimel 2439	. . 3 |- if(A e. CH, A, 0H) e. CH
15		ax-hv0cl 8992	. . . 4 |- 0h e. H~
16	15	elimel 2439	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0h) e. H~
17	14, 16	h1datomi 9624	. 2 |- (if(A e. CH, A, 0H) (_ (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)})) -> (if(A e. CH, A, 0H) = (_|_` (_|_` {if(B e. H~, B, 0h)})) \/ if(A e. CH, A, 0H) = 0H))
18	5, 12, 17	dedth2h 2432	1 |- ((A e. CH /\ B e. H~) -> (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H)))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990   (_ wss 2091  ifcif 2406  {csn 2454  ` cfv 3237  H~chil 8907  0hc0v 8910  CHcch 8917  _|_cort 8918  0Hc0h 8923

This theorem is referenced by:  h1da 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-reg 4677  ax-inf2 4711  ax-ac 4830  ax-hilex 8988  ax-hfvadd 8989  ax-hvcom 8990  ax-hvass 8991  ax-hv0cl 8992  ax-hvaddid 8993  ax-hfvmul 8994  ax-hvmulid 8995  ax-hvmulass 8996  ax-hvdistr1 8997  ax-hvdistr2 8998  ax-hvmul0 8999  ax-hfi 9066  ax-his1 9069  ax-his2 9070  ax-his3 9071  ax-his4 9072  ax-hcompl 9191

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-iin 2617  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-map 4411  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-sup 4658  df-r1 4729  df-rank 4730  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-3 6059  df-4 6060  df-n0 6210  df-z 6246  df-q 6336  df-fl 6363  df-ioo 6420  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-exp 6692  df-sqr 6793  df-re 6874  df-im 6875  df-cj 6876  df-abs 6877  df-clim 7098  df-sum 7103  df-top 7717  df-bases 7719  df-topgen 7720  df-cld 7783  df-ntr 7784  df-cls 7785  df-cn 7874  df-cnp 7875  df-haus 7902  df-met 7913  df-bl 7915  df-opn 7916  df-lm 8042  df-grp 8157  df-gid 8158  df-ginv 8159  df-gdiv 8160  df-abl 8219  df-vc 8284  df-nv 8330  df-va 8333  df-ba 8334  df-sm 8335  df-0v 8336  df-vs 8337  df-nm 8338  df-ims 8339  df-ip 8469  df-ph 8591  df-hnorm 8956  df-hvsub 8959  df-hlim 8960  df-hcau 8961  df-sh 9196  df-ch 9212  df-oc 9244  df-ch0 9245

Copyright terms: Public domain