HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h0elch Structured version   Unicode version

Theorem h0elch 25849
Description: The zero subspace is a closed subspace. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
h0elch  |-  0H  e.  CH

Proof of Theorem h0elch
StepHypRef Expression
1 df-ch0 25847 . 2  |-  0H  =  { 0h }
2 hsn0elch 25842 . 2  |-  { 0h }  e.  CH
31, 2eqeltri 2551 1  |-  0H  e.  CH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   {csn 4027   0hc0v 25517   CHcch 25522   0Hc0h 25528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvmulass 25600  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his1 25675  ax-his2 25676  ax-his3 25677  ax-his4 25678
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-lm 19496  df-haus 19582  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-ims 25170  df-hnorm 25561  df-hvsub 25564  df-hlim 25565  df-sh 25800  df-ch 25815  df-ch0 25847
This theorem is referenced by:  h0elsh  25850  chintcl  25926  omlsi  25998  pjoml  26030  pjoc2  26033  chj0i  26049  chj00i  26081  chm0  26085  chne0  26088  chocin  26089  chj0  26091  chlejb1  26106  chnle  26108  ledi  26134  chsup0  26142  h1datom  26176  cmbr3  26202  cm0  26203  pjoml2  26205  cmcm  26208  cmcm3  26209  lecm  26211  qlaxr3i  26230  nonbooli  26245  pjige0  26285  pjhfo  26300  pj11  26308  ho0f  26346  pjhmop  26745  pjidmco  26776  hst0  26828  largei  26862  mdslmd1lem3  26922  mdslmd1lem4  26923  csmdsymi  26929  elat2  26935  atcveq0  26943  hatomic  26955  atcv0eq  26974  atoml2i  26978  atordi  26979  atord  26983  atcvat2  26984  chirred  26990
  Copyright terms: Public domain W3C validator