MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzsubcl Structured version   Unicode version

Theorem gzsubcl 13999
Description: The gaussian integers are closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzsubcl  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzsubcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 13991 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
2 gzcn 13991 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9655 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
) )
5 gznegcl 13994 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  -u B  e.  ZZ[_i]
)
6 gzaddcl 13996 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  -u B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  +  -u B )  e.  ZZ[_i]
)
75, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  +  -u B )  e.  ZZ[_i]
)
84, 7eqeltrrd 2516 1  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ[_i] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6089   CCcc 9278    + caddc 9283    - cmin 9593   -ucneg 9594   ZZ[_i]cgz 13988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-gz 13989
This theorem is referenced by:  mul4sqlem  14012  mul4sq  14013
  Copyright terms: Public domain W3C validator