MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gzrngunitlem 19044
Description: Lemma for gzrngunit 19045. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1  |-  Z  =  (flds  ZZ[_i] )
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 12376 . . 3  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2 ax-1ne0 9613 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3 gzsubrg 19034 . . . . . . 7  |-  ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )
4 gzrng.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ[_i] )
54subrgring 18023 . . . . . . 7  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e.  Ring )
6 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
7 subrgsubg 18026 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ[_i]  e.  (SubGrp ` fld )
)
8 cnfld0 19004 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
94, 8subg0 16835 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubGrp ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  Z ) )
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g `  Z )
11 cnfld1 19005 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` fld )
124, 11subrg1 18030 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z ) )
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 1r `  Z )
146, 10, 130unit 17920 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 ) )
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 )
162, 15nemtbir 2721 . . . . 5  |-  -.  0  e.  (Unit `  Z )
174subrgbas 18029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ[_i]  =  ( Base `  Z ) )
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ[_i]  =  ( Base `  Z )
1918, 6unitcl 17899 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  ZZ[_i] )
20 gzabssqcl 14897 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
22 elnn0 10878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN  \/  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
2321, 22sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  \/  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
2423ord 379 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
25 gzcn 14888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  CC )
2726abscld 13510 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2827recnd 9674 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
29 sqeq0 12346 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3126abs00ad 13365 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  <->  A  =  0
) )
32 eleq1 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3332biimpcd 228 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( A  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3431, 33sylbid 219 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3530, 34sylbid 219 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3624, 35syld 45 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3716, 36mt3i 130 . . . 4  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN )
3837nnge1d 10659 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
391, 38syl5eqbr 4439 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
4026absge0d 13518 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
41 1re 9647 . . . 4  |-  1  e.  RR
42 0le1 10144 . . . 4  |-  0  <_  1
43 le2sq 12356 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( 1  <_ 
( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4441, 42, 43mpanl12 689 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
1  <_  ( abs `  A )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4527, 40, 44syl2anc 667 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1  <_  ( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4639, 45mpbird 236 1  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    <_ cle 9681   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ^cexp 12279   abscabs 13309   ZZ[_i]cgz 14885   Basecbs 15133   ↾s cress 15134   0gc0g 15350  SubGrpcsubg 16823   1rcur 17747   Ringcrg 17792  Unitcui 17879  SubRingcsubrg 18016  ℂfldccnfld 18982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-gz 14886  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-subrg 18018  df-cnfld 18983
This theorem is referenced by:  gzrngunit  19045
  Copyright terms: Public domain W3C validator