Theorem gzrngunitlem 17720

Description: Lemma for gzrngunit 17721. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gzrng.1	|- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )

Assertion

Ref	Expression
gzrngunitlem	|- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 11943	. . 3 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		ax-1ne0 9338	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
3		gzsubrg 17710	. . . . . . 7 |- ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld )
4		gzrng.1	. . . . . . . 8 |- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )
5	4	subrgrng 16791	. . . . . . 7 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> Z e. Ring )
6		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
7		subrgsubg 16794	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) )
8		cnfld0 17683	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
9	4, 8	subg0 15666	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) -> 0 = ( 0g ` Z ) )
10	3, 7, 9	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- 0 = ( 0g ` Z )
11		cnfld1 17684	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	4, 11	subrg1 16798	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 = ( 1r ` Z ) )
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1 = ( 1r ` Z )
14	6, 10, 13	0unit 16705	. . . . . . 7 |- ( Z e. Ring -> ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 ) )
15	3, 5, 14	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 )
16	2, 15	nemtbir 2690	. . . . 5 |- -. 0 e. (Unit ` Z )
17	4	subrgbas 16797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] = ( Base ` Z ) )
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ZZ[_i] = ( Base ` Z )
19	18, 6	unitcl 16684	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. ZZ[_i] )
20		gzabssqcl 13984	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
22		elnn0 10568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
24	23	ord 377	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
25		gzcn 13975	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
26	19, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. CC )
27	26	abscld 12905	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. RR )
28	27	recnd 9399	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. CC )
29		sqeq0 11913	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
31	26	abs00ad 12762	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 <-> A = 0 ) )
32		eleq1 2493	. . . . . . . . 9 |- ( A = 0 -> ( A e. (Unit ` Z ) <-> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
33	32	biimpcd 224	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( A = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
34	31, 33	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
35	30, 34	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
36	24, 35	syld 44	. . . . 5 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
37	16, 36	mt3i 126	. . . 4 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN )
38	37	nnge1d 10351	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
39	1, 38	syl5eqbr 4313	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
40	26	absge0d 12913	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
41		1re 9372	. . . 4 |- 1 e. RR
42		0le1 9850	. . . 4 |- 0 <_ 1
43		le2sq 11923	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
44	41, 42, 43	mpanl12 675	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
45	27, 40, 44	syl2anc 654	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
46	39, 45	mpbird 232	1 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   <_ cle 9406   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ^cexp 11848   abscabs 12706   ZZ[_i]cgz 13972   Basecbs 14156   ↾_s cress 14157   0gc0g 14360  SubGrpcsubg 15654   Ringcrg 16576   1rcur 16578  Unitcui 16664  SubRingcsubrg 16784  ℂ_fldccnfld 17661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-gz 13973  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-0g 14362  df-mnd 15397  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-subg 15657  df-cmn 16258  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-cring 16580  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-subrg 16786  df-cnfld 17662

This theorem is referenced by:  gzrngunit  17721