Theorem gzrngunitlem 18609

Description: Lemma for gzrngunit 18610. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gzrng.1	|- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )

Assertion

Ref	Expression
gzrngunitlem	|- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 12265	. . 3 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		ax-1ne0 9578	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
3		gzsubrg 18599	. . . . . . 7 |- ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld )
4		gzrng.1	. . . . . . . 8 |- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )
5	4	subrgring 17559	. . . . . . 7 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> Z e. Ring )
6		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
7		subrgsubg 17562	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) )
8		cnfld0 18569	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
9	4, 8	subg0 16334	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) -> 0 = ( 0g ` Z ) )
10	3, 7, 9	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- 0 = ( 0g ` Z )
11		cnfld1 18570	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	4, 11	subrg1 17566	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 = ( 1r ` Z ) )
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1 = ( 1r ` Z )
14	6, 10, 13	0unit 17456	. . . . . . 7 |- ( Z e. Ring -> ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 ) )
15	3, 5, 14	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 )
16	2, 15	nemtbir 2785	. . . . 5 |- -. 0 e. (Unit ` Z )
17	4	subrgbas 17565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] = ( Base ` Z ) )
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ZZ[_i] = ( Base ` Z )
19	18, 6	unitcl 17435	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. ZZ[_i] )
20		gzabssqcl 14471	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
22		elnn0 10818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
24	23	ord 377	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
25		gzcn 14462	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
26	19, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. CC )
27	26	abscld 13279	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. RR )
28	27	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. CC )
29		sqeq0 12235	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
31	26	abs00ad 13135	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 <-> A = 0 ) )
32		eleq1 2529	. . . . . . . . 9 |- ( A = 0 -> ( A e. (Unit ` Z ) <-> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
33	32	biimpcd 224	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( A = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
34	31, 33	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
35	30, 34	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
36	24, 35	syld 44	. . . . 5 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
37	16, 36	mt3i 126	. . . 4 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN )
38	37	nnge1d 10599	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
39	1, 38	syl5eqbr 4489	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
40	26	absge0d 13287	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
41		1re 9612	. . . 4 |- 1 e. RR
42		0le1 10097	. . . 4 |- 0 <_ 1
43		le2sq 12245	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
44	41, 42, 43	mpanl12 682	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
45	27, 40, 44	syl2anc 661	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
46	39, 45	mpbird 232	1 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   abscabs 13079   ZZ[_i]cgz 14459   Basecbs 14644   ↾_s cress 14645   0gc0g 14857  SubGrpcsubg 16322   1rcur 17280   Ringcrg 17325  Unitcui 17415  SubRingcsubrg 17552  ℂ_fldccnfld 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-subrg 17554  df-cnfld 18548

This theorem is referenced by:  gzrngunit  18610