Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gzrngunitlem 19044
 Description: Lemma for gzrngunit 19045. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 flds
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem Unit

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 12376 . . 3
2 ax-1ne0 9613 . . . . . 6
3 gzsubrg 19034 . . . . . . 7 SubRingfld
4 gzrng.1 . . . . . . . 8 flds
54subrgring 18023 . . . . . . 7 SubRingfld
6 eqid 2453 . . . . . . . 8 Unit Unit
7 subrgsubg 18026 . . . . . . . . 9 SubRingfld SubGrpfld
8 cnfld0 19004 . . . . . . . . . 10 fld
94, 8subg0 16835 . . . . . . . . 9 SubGrpfld
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8
11 cnfld1 19005 . . . . . . . . . 10 fld
124, 11subrg1 18030 . . . . . . . . 9 SubRingfld
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8
146, 10, 130unit 17920 . . . . . . 7 Unit
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6 Unit
162, 15nemtbir 2721 . . . . 5 Unit
174subrgbas 18029 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
1918, 6unitcl 17899 . . . . . . . . 9 Unit
20 gzabssqcl 14897 . . . . . . . . 9
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 Unit
22 elnn0 10878 . . . . . . . 8
2321, 22sylib 200 . . . . . . 7 Unit
2423ord 379 . . . . . 6 Unit
25 gzcn 14888 . . . . . . . . . . 11
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 Unit
2726abscld 13510 . . . . . . . . 9 Unit
2827recnd 9674 . . . . . . . 8 Unit
29 sqeq0 12346 . . . . . . . 8
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 Unit
3126abs00ad 13365 . . . . . . . 8 Unit
32 eleq1 2519 . . . . . . . . 9 Unit Unit
3332biimpcd 228 . . . . . . . 8 Unit Unit
3431, 33sylbid 219 . . . . . . 7 Unit Unit
3530, 34sylbid 219 . . . . . 6 Unit Unit
3624, 35syld 45 . . . . 5 Unit Unit
3716, 36mt3i 130 . . . 4 Unit
3837nnge1d 10659 . . 3 Unit
391, 38syl5eqbr 4439 . 2 Unit
4026absge0d 13518 . . 3 Unit
41 1re 9647 . . . 4
42 0le1 10144 . . . 4
43 le2sq 12356 . . . 4
4441, 42, 43mpanl12 689 . . 3
4527, 40, 44syl2anc 667 . 2 Unit
4639, 45mpbird 236 1 Unit
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   class class class wbr 4405  cfv 5585  (class class class)co 6295  cc 9542  cr 9543  cc0 9544  c1 9545   cle 9681  cn 10616  c2 10666  cn0 10876  cexp 12279  cabs 13309  cgz 14885  cbs 15133   ↾s cress 15134  c0g 15350  SubGrpcsubg 16823  cur 17747  crg 17792  Unitcui 17879  SubRingcsubrg 18016  ℂfldccnfld 18982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-gz 14886  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-subrg 18018  df-cnfld 18983 This theorem is referenced by:  gzrngunit  19045
 Copyright terms: Public domain W3C validator