Theorem gzrngunitlem 19044

Description: Lemma for gzrngunit 19045. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gzrng.1	|- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )

Assertion

Ref	Expression
gzrngunitlem	|- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 12376	. . 3 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		ax-1ne0 9613	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
3		gzsubrg 19034	. . . . . . 7 |- ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld )
4		gzrng.1	. . . . . . . 8 |- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )
5	4	subrgring 18023	. . . . . . 7 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> Z e. Ring )
6		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
7		subrgsubg 18026	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) )
8		cnfld0 19004	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
9	4, 8	subg0 16835	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) -> 0 = ( 0g ` Z ) )
10	3, 7, 9	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- 0 = ( 0g ` Z )
11		cnfld1 19005	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	4, 11	subrg1 18030	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 = ( 1r ` Z ) )
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1 = ( 1r ` Z )
14	6, 10, 13	0unit 17920	. . . . . . 7 |- ( Z e. Ring -> ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 ) )
15	3, 5, 14	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 )
16	2, 15	nemtbir 2721	. . . . 5 |- -. 0 e. (Unit ` Z )
17	4	subrgbas 18029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] = ( Base ` Z ) )
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ZZ[_i] = ( Base ` Z )
19	18, 6	unitcl 17899	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. ZZ[_i] )
20		gzabssqcl 14897	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
22		elnn0 10878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
23	21, 22	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
24	23	ord 379	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
25		gzcn 14888	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. CC )
27	26	abscld 13510	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. RR )
28	27	recnd 9674	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. CC )
29		sqeq0 12346	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
31	26	abs00ad 13365	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 <-> A = 0 ) )
32		eleq1 2519	. . . . . . . . 9 |- ( A = 0 -> ( A e. (Unit ` Z ) <-> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
33	32	biimpcd 228	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( A = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
34	31, 33	sylbid 219	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
35	30, 34	sylbid 219	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
36	24, 35	syld 45	. . . . 5 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
37	16, 36	mt3i 130	. . . 4 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN )
38	37	nnge1d 10659	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
39	1, 38	syl5eqbr 4439	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
40	26	absge0d 13518	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
41		1re 9647	. . . 4 |- 1 e. RR
42		0le1 10144	. . . 4 |- 0 <_ 1
43		le2sq 12356	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
44	41, 42, 43	mpanl12 689	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
45	27, 40, 44	syl2anc 667	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
46	39, 45	mpbird 236	1 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   <_ cle 9681   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ^cexp 12279   abscabs 13309   ZZ[_i]cgz 14885   Basecbs 15133   ↾_s cress 15134   0gc0g 15350  SubGrpcsubg 16823   1rcur 17747   Ringcrg 17792  Unitcui 17879  SubRingcsubrg 18016  ℂ_fldccnfld 18982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-gz 14886  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-subrg 18018  df-cnfld 18983

This theorem is referenced by:  gzrngunit  19045