Theorem gzrngunitlem 17997

Description: Lemma for gzrngunit 17998. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gzrng.1	|- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )

Assertion

Ref	Expression
gzrngunitlem	|- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 12072	. . 3 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		ax-1ne0 9457	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
3		gzsubrg 17987	. . . . . . 7 |- ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld )
4		gzrng.1	. . . . . . . 8 |- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )
5	4	subrgrng 16986	. . . . . . 7 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> Z e. Ring )
6		eqid 2452	. . . . . . . 8 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
7		subrgsubg 16989	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) )
8		cnfld0 17960	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
9	4, 8	subg0 15801	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) -> 0 = ( 0g ` Z ) )
10	3, 7, 9	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- 0 = ( 0g ` Z )
11		cnfld1 17961	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	4, 11	subrg1 16993	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 = ( 1r ` Z ) )
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1 = ( 1r ` Z )
14	6, 10, 13	0unit 16890	. . . . . . 7 |- ( Z e. Ring -> ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 ) )
15	3, 5, 14	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 )
16	2, 15	nemtbir 2777	. . . . 5 |- -. 0 e. (Unit ` Z )
17	4	subrgbas 16992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] = ( Base ` Z ) )
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ZZ[_i] = ( Base ` Z )
19	18, 6	unitcl 16869	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. ZZ[_i] )
20		gzabssqcl 14115	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
22		elnn0 10687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
24	23	ord 377	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
25		gzcn 14106	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
26	19, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. CC )
27	26	abscld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. RR )
28	27	recnd 9518	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. CC )
29		sqeq0 12042	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
31	26	abs00ad 12892	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 <-> A = 0 ) )
32		eleq1 2524	. . . . . . . . 9 |- ( A = 0 -> ( A e. (Unit ` Z ) <-> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
33	32	biimpcd 224	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( A = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
34	31, 33	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
35	30, 34	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
36	24, 35	syld 44	. . . . 5 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
37	16, 36	mt3i 126	. . . 4 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN )
38	37	nnge1d 10470	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
39	1, 38	syl5eqbr 4428	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
40	26	absge0d 13043	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
41		1re 9491	. . . 4 |- 1 e. RR
42		0le1 9969	. . . 4 |- 0 <_ 1
43		le2sq 12052	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
44	41, 42, 43	mpanl12 682	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
45	27, 40, 44	syl2anc 661	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
46	39, 45	mpbird 232	1 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389   <_ cle 9525   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ^cexp 11977   abscabs 12836   ZZ[_i]cgz 14103   Basecbs 14287   ↾_s cress 14288   0gc0g 14492  SubGrpcsubg 15789   1rcur 16720   Ringcrg 16763  Unitcui 16849  SubRingcsubrg 16979  ℂ_fldccnfld 17938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-gz 14104  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-subg 15792  df-cmn 16395  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-subrg 16981  df-cnfld 17939

This theorem is referenced by:  gzrngunit  17998