Theorem gzrngunitlem 18247

Description: Lemma for gzrngunit 18248. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gzrng.1	|- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )

Assertion

Ref	Expression
gzrngunitlem	|- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 12224	. . 3 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
2		ax-1ne0 9557	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
3		gzsubrg 18237	. . . . . . 7 |- ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld )
4		gzrng.1	. . . . . . . 8 |- Z = (ℂfld ↾s ZZ[_i] )
5	4	subrgrng 17212	. . . . . . 7 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> Z e. Ring )
6		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
7		subrgsubg 17215	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) )
8		cnfld0 18210	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
9	4, 8	subg0 15999	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubGrp ` ℂfld ) -> 0 = ( 0g ` Z ) )
10	3, 7, 9	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- 0 = ( 0g ` Z )
11		cnfld1 18211	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	4, 11	subrg1 17219	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 = ( 1r ` Z ) )
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1 = ( 1r ` Z )
14	6, 10, 13	0unit 17110	. . . . . . 7 |- ( Z e. Ring -> ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 ) )
15	3, 5, 14	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( 0 e. (Unit ` Z ) <-> 1 = 0 )
16	2, 15	nemtbir 2795	. . . . 5 |- -. 0 e. (Unit ` Z )
17	4	subrgbas 17218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ[_i] e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ[_i] = ( Base ` Z ) )
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ZZ[_i] = ( Base ` Z )
19	18, 6	unitcl 17089	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. ZZ[_i] )
20		gzabssqcl 14311	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 )
22		elnn0 10793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN \/ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
24	23	ord 377	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 ) )
25		gzcn 14302	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ[_i] -> A e. CC )
26	19, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> A e. CC )
27	26	abscld 13223	. . . . . . . . 9 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. RR )
28	27	recnd 9618	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( abs ` A ) e. CC )
29		sqeq0 12194	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` A ) = 0 ) )
31	26	abs00ad 13080	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 <-> A = 0 ) )
32		eleq1 2539	. . . . . . . . 9 |- ( A = 0 -> ( A e. (Unit ` Z ) <-> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
33	32	biimpcd 224	. . . . . . . 8 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( A = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
34	31, 33	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
35	30, 34	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = 0 -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
36	24, 35	syld 44	. . . . 5 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( -. ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN -> 0 e. (Unit ` Z ) ) )
37	16, 36	mt3i 126	. . . 4 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. NN )
38	37	nnge1d 10574	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
39	1, 38	syl5eqbr 4480	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
40	26	absge0d 13231	. . 3 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
41		1re 9591	. . . 4 |- 1 e. RR
42		0le1 10072	. . . 4 |- 0 <_ 1
43		le2sq 12204	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
44	41, 42, 43	mpanl12 682	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
45	27, 40, 44	syl2anc 661	. 2 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> ( 1 <_ ( abs ` A ) <-> ( 1 ^ 2 ) <_ ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
46	39, 45	mpbird 232	1 |- ( A e. (Unit ` Z ) -> 1 <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   <_ cle 9625   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ^cexp 12129   abscabs 13024   ZZ[_i]cgz 14299   Basecbs 14483   ↾_s cress 14484   0gc0g 14688  SubGrpcsubg 15987   1rcur 16940   Ringcrg 16983  Unitcui 17069  SubRingcsubrg 17205  ℂ_fldccnfld 18188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-gz 14300  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-subg 15990  df-cmn 16593  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-subrg 17207  df-cnfld 18189

This theorem is referenced by:  gzrngunit  18248