MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunitlem Structured version   Unicode version

Theorem gzrngunitlem 17997
Description: Lemma for gzrngunit 17998. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1  |-  Z  =  (flds  ZZ[_i] )
Assertion
Ref Expression
gzrngunitlem  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem gzrngunitlem
StepHypRef Expression
1 sq1 12072 . . 3  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2 ax-1ne0 9457 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3 gzsubrg 17987 . . . . . . 7  |-  ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )
4 gzrng.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ[_i] )
54subrgrng 16986 . . . . . . 7  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e.  Ring )
6 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
7 subrgsubg 16989 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ[_i]  e.  (SubGrp ` fld )
)
8 cnfld0 17960 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
94, 8subg0 15801 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubGrp ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  Z ) )
103, 7, 9mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g `  Z )
11 cnfld1 17961 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` fld )
124, 11subrg1 16993 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z ) )
133, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 1r `  Z )
146, 10, 130unit 16890 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 ) )
153, 5, 14mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  (Unit `  Z
)  <->  1  =  0 )
162, 15nemtbir 2777 . . . . 5  |-  -.  0  e.  (Unit `  Z )
174subrgbas 16992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ[_i]  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ[_i]  =  ( Base `  Z ) )
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ[_i]  =  ( Base `  Z )
1918, 6unitcl 16869 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  ZZ[_i] )
20 gzabssqcl 14115 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN0 )
22 elnn0 10687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  e.  NN  \/  ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  \/  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
2423ord 377 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0 ) )
25 gzcn 14106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  A  e.  CC )
2726abscld 13035 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2827recnd 9518 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
29 sqeq0 12042 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  0 ) )
3126abs00ad 12892 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  <->  A  =  0
) )
32 eleq1 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3332biimpcd 224 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( A  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3431, 33sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z ) ) )
3530, 34sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  0  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3624, 35syld 44 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( -.  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  NN  ->  0  e.  (Unit `  Z )
) )
3716, 36mt3i 126 . . . 4  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  e.  NN )
3837nnge1d 10470 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
391, 38syl5eqbr 4428 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
4026absge0d 13043 . . 3  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
41 1re 9491 . . . 4  |-  1  e.  RR
42 0le1 9969 . . . 4  |-  0  <_  1
43 le2sq 12052 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  ( 1  <_ 
( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4441, 42, 43mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
1  <_  ( abs `  A )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4527, 40, 44syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  ( 1  <_  ( abs `  A
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <_  (
( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
4639, 45mpbird 232 1  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    <_ cle 9525   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ^cexp 11977   abscabs 12836   ZZ[_i]cgz 14103   Basecbs 14287   ↾s cress 14288   0gc0g 14492  SubGrpcsubg 15789   1rcur 16720   Ringcrg 16763  Unitcui 16849  SubRingcsubrg 16979  ℂfldccnfld 17938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-gz 14104  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-subg 15792  df-cmn 16395  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-subrg 16981  df-cnfld 17939
This theorem is referenced by:  gzrngunit  17998
  Copyright terms: Public domain W3C validator