Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzrngunit Structured version   Unicode version

Theorem gzrngunit 18968
 Description: The units on are the gaussian integers with norm . (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gzrng.1 flds
Assertion
Ref Expression
gzrngunit Unit

Proof of Theorem gzrngunit
StepHypRef Expression
1 gzsubrg 18957 . . . . 5 SubRingfld
2 gzrng.1 . . . . . 6 flds
32subrgbas 17952 . . . . 5 SubRingfld
41, 3ax-mp 5 . . . 4
5 eqid 2429 . . . 4 Unit Unit
64, 5unitcl 17822 . . 3 Unit
7 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12 fld fld
8 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12
92, 7, 5, 8subrginv 17959 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld Unit fld
101, 9mpan 674 . . . . . . . . . 10 Unit fld
11 gzcn 14839 . . . . . . . . . . . 12
126, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 Unit
13 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
14 1re 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
1612abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
17 0lt1 10135 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
192gzrngunitlem 18967 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
2013, 15, 16, 18, 19ltletrd 9794 . . . . . . . . . . . . 13 Unit
2120gt0ne0d 10177 . . . . . . . . . . . 12 Unit
2212abs00ad 13332 . . . . . . . . . . . . 13 Unit
2322necon3bid 2689 . . . . . . . . . . . 12 Unit
2421, 23mpbid 213 . . . . . . . . . . 11 Unit
25 cnfldinv 18934 . . . . . . . . . . 11 fld
2612, 24, 25syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 Unit fld
2710, 26eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9 Unit
282subrgring 17946 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
305, 8unitinvcl 17837 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
3129, 30mpan 674 . . . . . . . . 9 Unit Unit
3227, 31eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8 Unit Unit
332gzrngunitlem 18967 . . . . . . . 8 Unit
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 Unit
35 1cnd 9658 . . . . . . . 8 Unit
3635, 12, 24absdivd 13495 . . . . . . 7 Unit
3734, 36breqtrd 4450 . . . . . 6 Unit
38 1div1e1 10299 . . . . . 6
39 abs1 13339 . . . . . . . 8
4039eqcomi 2442 . . . . . . 7
4140oveq1i 6315 . . . . . 6
4237, 38, 413brtr4g 4458 . . . . 5 Unit
43 lerec 10488 . . . . . 6
4416, 20, 15, 18, 43syl22anc 1265 . . . . 5 Unit
4542, 44mpbird 235 . . . 4 Unit
46 letri3 9718 . . . . 5
4716, 14, 46sylancl 666 . . . 4 Unit
4845, 19, 47mpbir2and 930 . . 3 Unit
496, 48jca 534 . 2 Unit
5011adantr 466 . . . 4
51 simpr 462 . . . . . 6
52 ax-1ne0 9607 . . . . . . 7
5352a1i 11 . . . . . 6
5451, 53eqnetrd 2724 . . . . 5
55 fveq2 5881 . . . . . . 7
56 abs0 13327 . . . . . . 7
5755, 56syl6eq 2486 . . . . . 6
5857necon3i 2671 . . . . 5
5954, 58syl 17 . . . 4
60 eldifsn 4128 . . . 4
6150, 59, 60sylanbrc 668 . . 3
62 simpl 458 . . 3
6350, 59, 25syl2anc 665 . . . . 5 fld
6450absvalsqd 13482 . . . . . . 7
6551oveq1d 6320 . . . . . . . 8
66 sq1 12366 . . . . . . . 8
6765, 66syl6eq 2486 . . . . . . 7
6864, 67eqtr3d 2472 . . . . . 6
6968oveq1d 6320 . . . . 5
7050cjcld 13238 . . . . . 6
7170, 50, 59divcan3d 10387 . . . . 5
7263, 69, 713eqtr2d 2476 . . . 4 fld
73 gzcjcl 14843 . . . . 5
7473adantr 466 . . . 4
7572, 74eqeltrd 2517 . . 3 fld
76 cnfldbas 18909 . . . . . 6 fld
77 cnfld0 18927 . . . . . 6 fld
78 cndrng 18932 . . . . . 6 fld
7976, 77, 78drngui 17916 . . . . 5 Unitfld
802, 79, 5, 7subrgunit 17961 . . . 4 SubRingfld Unit fld
811, 80ax-mp 5 . . 3 Unit fld
8261, 62, 75, 81syl3anbrc 1189 . 2 Unit
8349, 82impbii 190 1 Unit
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625   cdif 3439  csn 4002   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   cmul 9543   clt 9674   cle 9675   cdiv 10268  c2 10659  cexp 12269  ccj 13138  cabs 13276  cgz 14836  cbs 15084   ↾s cress 15085  crg 17715  Unitcui 17802  cinvr 17834  SubRingcsubrg 17939  ℂfldccnfld 18905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-gz 14837  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906 This theorem is referenced by:  zringunit  18993
 Copyright terms: Public domain W3C validator