MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzcjcl Structured version   Unicode version

Theorem gzcjcl 14110
Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzcjcl  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  A )  e.  ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzcjcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 14106 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
21cjcld 12798 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  A )  e.  CC )
31recjd 12806 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( * `  A
) )  =  ( Re `  A ) )
4 elgz 14105 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
54simp2bi 1004 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
63, 5eqeltrd 2540 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( * `  A
) )  e.  ZZ )
71imcjd 12807 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( * `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
84simp3bi 1005 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
98znegcld 10855 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  -u ( Im
`  A )  e.  ZZ )
107, 9eqeltrd 2540 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( * `  A
) )  e.  ZZ )
11 elgz 14105 . 2  |-  ( ( * `  A )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( * `
 A )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( * `  A ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( * `  A ) )  e.  ZZ ) )
122, 6, 10, 11syl3anbrc 1172 1  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  A )  e.  ZZ[_i] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   ` cfv 5521   CCcc 9386   -ucneg 9702   ZZcz 10752   *ccj 12698   Recre 12699   Imcim 12700   ZZ[_i]cgz 14103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-z 10753  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-gz 14104
This theorem is referenced by:  mul4sqlem  14127  gzrngunit  17998
  Copyright terms: Public domain W3C validator