MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gzcjcl Structured version   Unicode version

Theorem gzcjcl 14313
Description: The gaussian integers are closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
gzcjcl  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  A )  e.  ZZ[_i] )

Proof of Theorem gzcjcl
StepHypRef Expression
1 gzcn 14309 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
21cjcld 12992 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  A )  e.  CC )
31recjd 13000 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( * `  A
) )  =  ( Re `  A ) )
4 elgz 14308 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
54simp2bi 1012 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
63, 5eqeltrd 2555 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( * `  A
) )  e.  ZZ )
71imcjd 13001 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( * `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
84simp3bi 1013 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
98znegcld 10968 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  -u ( Im
`  A )  e.  ZZ )
107, 9eqeltrd 2555 . 2  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( * `  A
) )  e.  ZZ )
11 elgz 14308 . 2  |-  ( ( * `  A )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( * `
 A )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( * `  A ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( * `  A ) )  e.  ZZ ) )
122, 6, 10, 11syl3anbrc 1180 1  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( * `  A )  e.  ZZ[_i] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5588   CCcc 9490   -ucneg 9806   ZZcz 10864   *ccj 12892   Recre 12893   Imcim 12894   ZZ[_i]cgz 14306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-z 10865  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-gz 14307
This theorem is referenced by:  mul4sqlem  14330  gzrngunit  18279
  Copyright terms: Public domain W3C validator